?

Log in

No account? Create an account
виды бесконечности - 1 - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

виды бесконечности - 1 [авг. 12, 2001|01:03 am]
Anatoly Vorobey
[Настроение |contemplativecontemplative]

Тема: "актуальная бесконечность" и "потенциальная бесконечность" в философии математики последних 100 лет, плюс применимость этих категорий в теории вычислимости.

Очень краткое пояснение: актуальная бесконечность - бесконечность завершённая, взятая в качестве единого целого; объект или понятие, заключающие в себе бесконечность других объектов или понятий. Пример: множество натуральных чисел N. Потенциальная бесконечность - бесконечность в виде процесса, который можно продолжать неопределенно долго, но никогда нельзя завершить. Пример: добавление 1+1, 2+1, 3+1, 4+1, потенциально проходящее сквозь все натуральные числа, но никогда не заканчивающее проход.

Пошёл сейчас, пошарил немного по источникам. Впервые чётко их различает Аристотель в "Физике" (не читал Физику, и оказывается, что очень зря). Аристотель отвергает актуальную бесконечность, и признаёт только потенциальную (отсюда):

В самом деле, о бытии можно говорить либо в возможности, либо в действительности, а бесконечное получается либо прибавлением , либо отнятием. Что величина не может быть бесконечной актуально, об этом уже сказано, но она может быть беспредельно делимой (так как нетрудно опровергнуть учение о неделимых линиях); остаётся, таким образом, бесконечное в возможности. [...]
Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берётся иное и иное, а взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным. Так что бесконечное не следует брать как определённый предмет, например как человека или дом, а в том смысле, как говорится о дне или состязании, бытие которых не есть какая-либо сущность, а всегда находится в возникновении и уничтожении, и хотя оно конечно, но всегда разное и разное. [...] Итак, бесконечное есть там, где, беря некоторое количество, всегда можно взять что-нибудь за ним. А где вне ничего нет -- это законченное и целое.


Это книга третья, глава шестая. А в книге восьмой, главе восьмой есть интересное решение парадокса Зенона о невозможности переместиться из точки A в точку B (так как перед этим нужно пройти полдороги до точки C, потом полдороги пути из C в B до точки D, потом полдороги пути из D в B...). Аристотель полагает, что движение сквозь бесконечное количество точек из A в B возможно лишь в том случае, если эта бесконечность остаётся потенциальной, если она не актуализируется. Как она может актуализироваться? Например, тем фактом, что при проходе сквозь точки мы останавливаемся в них на какое-то время.

Т.е. предположим, что есть две точки A и B, между которыми расстояние X метров, а бегун бежит со скоростью X метров в минуту. Если он просто будет бежать из А в B, "не обращая внимания" на серединные точки C (полпути между A и B), D (полпути между C и B), E (полпути между D и B) и т.д., то он всё нормально пробежит за минуту. Если же он будет бежать так: добежал до C за полминуты, отдохнул полминуты; добежал до D за четверть минуты, отдохнул столько же; и т.д. - тогда, хотя "формально" он двигается со скоростью "X за две минуты", он, согласно Аристотелю, никогда не достигнет B - потому что бесконечность точек никогда не сможет актуализоваться.

Это очень интересно.

Update: Найти и прочитать: J. Lear, Aristotelian infinity, Proceedings of the Aristotelian Society (n.s.), 80, 1980, pp. 187-210.
СсылкаОтветить