?

Log in

No account? Create an account
опять про квадратный корень - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

опять про квадратный корень [фев. 19, 2007|01:48 pm]
Anatoly Vorobey

Предположим, у нас есть какое-то (целое) число, например 2 или 25 или 234769 или любое другое. Обозначим его буквой N.

Может быть, оно целый квадрат, т.е. квадрат другого натурального числа, например 9 это 3 в квадрате или 25 это 5 в квадрате. Тогда его квадратный корень - это целое число, как 3 или 5 в этих примерах.

Если наше число N - не целый квадрат, то его квадратный корень не может быть целым числом. Но, может быть, его квадратный корень - какая-нибудь дробь вида 3/5 или что-нибудь такое.

И третья возможность - это что квадратный корень из N - иррациональное число, которое нельзя записать как целую дробь.

Так что всего с логической точки зрения у нас есть три возможных ситуации:
1) квадратный корень из N - целое число.
2) квадратный корень из N - дробное число.
3) квадратный корень из N - иррациональное число.

Вот простое красивое доказательство того, что вторая ситуация - "дробное число" - не может случиться на самом деле. Поэтому из этого доказательства следует, что квадратный корень из 2, из 3, из 5, из 20, и вообще из любого числа, которое не целый квадрат - иррациональные числа. Ведь если мы исключили возможность номер два, то остаются только один и три; а все эти числа - 2, 3, 5, 20 и многие другие - не целые квадраты, то номер один тоже исключается, и их квадратные могут быть только иррациональными.

Я попытаюсь написать это доказательство так, чтобы его могли понять читатели, которые не имеют никакого отношения к математике, и не учили ее со времем средней школы. Если вы такой читатель, и вам в этом доказательстве все понятно или наоборот что-то непонятно, то расскажите мне, пожалуйста, о своих впечатлениях и трудностях в комментариях.

Итак, предположим, что есть такое N, которое не является целым квадратом, и что его квадратный корень можно записать как какую-то целую дробь


      A
√N = ---
      B

(запись √N означает "квадратный корень из N")

Из всех возможных таких A/B (а их может быть много: ведь, например, 1/2 это то же самое, что 2/4 или 5/10) мы выберем такое A/B, в котором А самое меньшее по размеру ("минимальное", говорят математики). Так что никакого другого A/B с тем же значением √N, в котором А еще меньше того, что мы выбрали, быть уже не может. Например, если бы нам надо было выбирать между возможными вариантами записать A/B как 2/5, 4/10 или 20/50, то мы выберем 2/5, потому что в этом варианте A меньше всех - равно 2 - и меньше варианта уже нету.

Теперь возведем обе части в квадрат. Левая часть - квадратный корень из N - в квадрате будет просто N, а правую часть умножим саму на себя, ведь это и значит "возвести в квадрат":


     A     A
N = --- * ---
     B     B

Перевернем одну из дробей и перенесем в левую часть. Или, говоря, другими словами, умножим обе части на B/A, и тогда в левой части прибавится B/A, а в правой части оно сократится с одной из двух копий A/B.



N * B     A
-----  = --- 
  A       B

Раз эти две дроби равны, то равны по отдельности их целые части и дробные части. Что такое дробная часть той дроби, что слева от знака равенства? Это какая-то дробь


 x
---
 A

где x должно быть меньше A (иначе можно еще выделить целую часть). Соответственно дробная часть той дроби, что справа, это какое-то y/B, где y должно быть меньше B. Вместе получается


 x      y
---  = ---
 A      B

В этом равенстве мы можем перенести y влево, а A вправо, умножив сначала обе части на A, а потом поделив обе части на y:


 x         y
--- * A = --- * A 
 A         B  

Сокращаем A:

      y*A
 x = ----- 
       B

Делим на y:

 x    y*A
--- = ---
 y    y*B

и сокращаем y:

 x     A
--- = --- 
 y     B

(мы можем это сделать, только если мы точно знаем, что y не равно 0, потому что на ноль делить нельзя. Но мы это точно знаем: ведь если y равно 0, это значит, что дробная часть A/B равна 0, т.е. исходный квадратный корень A/B целое число, но мы изначально предположили, что оно не целое)

Сравнив это равенство с самым началом наших рассуждений, мы видим, что


      x
√N = ---
      y

причем, мы раньше видели, в этом равенстве x меньше нашего первоначального числительного A (потому что у нас была дробная часть x/A, в которой нельзя было выделить еще больше целой части). Но это противоречит тому, что мы написали о выборе A: А должно было быть самым меньшим из всех возможных способов представить √N в виде A/B. Исходя из этого допущения, мы тем не менее нашли какое-то еще меньшее число x, которое тоже подходит для этой цели, то есть пришли к противоречию. Раз мы неизбежно приходим к противоречию, исходя из предположения, что √N вообще можно представить как какое-то A/B, значит, это предположение неверно, и на самом деле такого не может быть. Что и требовалось доказать.

Это доказательство приводят Conway & Guy в своей "Книге чисел" (The Book of Numbers).

СсылкаОтветить

Comments:
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>
[User Picture]From: maq
2007-02-19 12:04 pm
А можно немножко не в тему спросить?
Как выглядит график функции Y = A в степени X, если A отрицательное? То есть, скажем, -2 в квадрате это 4, а в кубе уже -8. Потом опять плюс, потом опять минус. А в дробных координатах где-то не существует (если внизу дроби чётное число), а где-то существует, если нечётное. Можно где-нибудь на такой график посмотреть?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: khatul
2007-02-19 12:10 pm
См. сегодняшнее рассуждение plover.com (markdominus) о геометрическом доказательстве иррациональности √2 (на самом деле это, конечно, красивая "геометризация" арифметич. док-ва)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2007-02-19 12:25 pm
Именно оно подвигло меня на написание этой записи, косвенным путем. Сначала я хотел написать Марку письмо, и объяснить ему, что:

1) во-первых, это доказательство не придумали в 2000-м году, а оно существовало давно, в том числе в элементарных учебниках (см. например Proof 7 на этой странице).
2) во-вторых, оно действительно является очевидной геометризацией известного - хоть и далеко не так широко известного, как "стандартное" - арифметического доказательства
3) в-третьих, неверно называть его чисто геометрическим, потому что по сути своей оно содержит арифметический аргумент, апеллирующий к понятию "целое число", без которого чистая геометрия в ее древнегреческой версии вполне может обойтись
4) в-четвертых, по-видимому, неверно, что древние греки только случайно открыли "стандартное" доказательство, а не это, а это гораздо больше в их духе, потому что Марк не замечает того факта, что это доказательство глубоким образом опирается на принцип бесконечного спуска, которым, по-видимому, в явном виде древние греки не владели. Конечно, и "стандартное" доказательство на него опирается, но там эта зависимость вплетена в понятие "сокращение дробей", и необязательно понимать сам метод бесконечного спуска, достаточно "всего лишь" понимать сокращение дробей.

Но, уже начав писать письмо Марку, я передумал, потому что вспомнил, что его отношение к критике, даже вполне дружелюбной, оставляет желать лучшего, по моему опыту, и что это вероятно будет бесполезным занятием. Раз уж я вспомнил эту тему, то решил попробовать записать как можно более понятным языком доказательство Конвея. Арифметическую версию доказательства про квадратный корень из двух я уже как-то приводил несколько месяцев назад, правда, она наверняка затерялась для почти всех читателей внутри длинного и утомительного логического рассуждения.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
(Удалённый комментарий)
[User Picture]From: lean73
2007-02-19 02:37 pm
Я думаю, что вполне могу послужить подопытным кроликом, несмотря на когдатошнею степень - я честно забыла абсолютно всё.
1) мне было не очевидно, что B*N > A, и что мы можем выделить целую часть.
2) Мне были неочевидны переносы дробей - возможно и другим чайникам было бы проще если бы ты предлагал поделить и умножить обе части уровнения.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2007-02-19 05:19 pm
Большое спасибо!

1) нам не нужно отдельно доказывать, что B*N > A - если вдруг нет, то пусть x = B*N, и вся дробь и есть дробная часть.
2) сейчас попробую дописать это, правда твоя.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: pilpilon
2007-02-19 02:44 pm

nitpicking

>Из всех возможных таких A/B (а их может быть много: ведь, например, 1/2 это то же самое, что 2/4 или 5/10) мы выберем такое A/B, в котором А самое меньшее по размеру

Поскольку речь везде идет о целых, а не натуральных, такого А нет.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2007-02-19 05:20 pm

Re: nitpicking

Сознательно не хотел использовать незнакомое многим нематематическим читателям слово "натуральное", и поступился формальной корректностью.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: monomyth
2007-02-19 05:41 pm
про перенос хотел только написать, а уже исправлено :)


(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2007-02-19 07:15 pm
Все равно спасибо :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2007-02-19 06:40 pm
Признаюсь честно, я засыпаю на ходу и не осилил, начиная с того момента, когда ввели х и у. Слишком много лишних слов, которые только путают
Может потом вернусь, если вспомню
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2007-02-19 06:43 pm
Спасибо за честное мнение :) если вернетесь и осилите, расскажите, как по-вашему было бы лучше объяснить.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: dorinem
2007-02-19 08:53 pm
Спасибо, очень интересно. Получаю удовольствие от таких штучек. Собираюсь показать своим ученикам. Сама в универе хоть и училась, но из математики практически ничего. Так что если мне понятно - должно быть многим другим тоже.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: malaya_zemlya
2007-02-19 09:02 pm
Попробую вернуться мысленно в школьные годы и посмотреть с той точки зрения...

Так. Во-первых - и это моя основная проблема с традиционным изложением математики вообще - происходят какие-то манипуляции с формулами - но совсем непонятно почему именно эти, а не какие-то другие. Как автор теоремы догадался, что нужно делать именно такие заклинания? Не перебирал он же все варианты - адавай умножим на А, а давай попробуем поделить обе части на х...

Во-вторых - а это дело вкуса - мне больше нравится другое доказательство. В нем виднее, в чем, собственно, дело.

Сначала докажем что sqrt(2) иррационально
пусть (x/y)^2=2
тогда (x^2)/(y^2)=2 (по правилу умножения дробей)
следовательно x^2=2*(y^2)
разложим обе части на простые множители.
пусть в разложении x число 2 встречается m раз, а в разложении y - она встрачается n раз. Важно то, что разложение на простые множители единственно. (это проходят в школе точно)
тогда в разложении левой части двойка будет встречаться 2m раз, а в разложении правой - 2n+1 раз
Четное != нечетному. Противоречие.
Теперь, если начать обобщать с двойки на произвольное целое число, то доказательство либо проходит - тогда корень остается иррациональным, либо нет - тогда (если чуть-чуть подумать) корень оказывается целым. Дробь ну никак выйти не может.
Отсюда - если уже знать высшую математику - следует в частности, что иррациональность корня в поле напрямую связана с единственностью разложения на множители. Но это уже на любителя.

Точно знаю, что школьнику это должно быть понятно, потому что в школе я это и придумал = )(разумеется, не первым)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: moon_aka_sun
2007-02-19 09:16 pm
Где-то на этапе "Раз эти две дроби равны" хорошо было б подчеркнуть, что A>B, т.е. дроби >1 и можно выделить целую часть из A/B, а так как это равно NB/A, то можно и там выделить целую часть. А то как-то теряешься в самом конце: А что если х=А? В общем, всё как у Вирта - чем больше assert'ов, тем лучше :)
(Ответить) (Thread)
From: dmpogo
2007-02-19 11:29 pm
One more moment:

For the non-mathematician the problem should be formulated sharply and interesting.
For example, the following problems will probably not look to interesting

1) :) In some area of mathematics we have cases a),b),c) let us prove that case b) is impossible.

This looks like some technicality statement, and mathematics is so vast anyway ....

2) let us prove that sqrt(N) is irrational (baring full square).

Most of non-mathimaticians don't know what irrational means. And in mathematics there is plenty of weird terms, so what that something is called something ? And those who do remember irrational numbers,
remember first of all sqrt(2), sqrt(3) (and pi). For them it is almost a tautology that square roots are irrational !

So I would have though that formulation of the problem like

3) Let us show that \sqrt{N} cannot be represented as (irreducable) ratio n/m *)

is more interesting. Some may even be astonished (those who do not remember that there are irrational numbers).

*) Caveat about ful squares have to be introduced somehow.










(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: alogic
2007-02-20 03:35 am
Если в доказательстве больше 2-х ходов, оно начинает напоминать подозрительные манипуляции фокусника.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: 109
2007-02-20 08:50 am
аплодисменты.

мне тоже иногда приходится объяснять какие-то вещи, кажущиеся мне очевидными, гораздо подробнее, чем, казалось бы, нужно. когда я это делаю в устной форме, реакция собеседника подсказывает, когда нужно повторить, а когда можно двигаться вперёд. а когда я пишу, этого фидбэка нет, и меня всегда мучает страх "зациклиться", начать повторять одно и то же без продвижения вперёд.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: jojoza
2007-02-20 10:22 am

а зачем так сложно?

Пусть sqrt(N)=a/b, где a/b - несократимая дробь. Тогда N=a^2/b^2. Но a/b - несократимая дробь, и a^2/b^2 - тоже несократимая дробь (1). Таким образом, если корень из числа является дробью, то само это число тоже является дробью, и корень из целого числа не может являться дробным числом.

(1) представим а и b в виде произведений простых чисел. Т.к. дробь несократима, то общих членов в этих разложениях нет. Поэтому в разложениях a^2 и b^2 тоже нет общих членов.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2007-02-20 06:23 pm
Это кажется проще, но на деле пользуется единственностью разложения на простые множители, что вообще говоря намного более сложный результат, чем все "мое" доказательство.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: a_konst
2007-02-20 11:10 am
Хм, я наверное чего-то не догоняю.
Разве то, что возведение в квадрат несократимой дроби с неединичным знаменателем приведет к несократимой же дроби с неедиными знаментателем, не является достаточным рассуждением?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2007-02-20 06:22 pm
Это рассуждение опирается на единственность разложения на простые множители, и вообще говоря будет неочевидно тем, кто его как следует не усвоил.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2007-02-20 12:05 pm

Интересно,

а мировые константы иррациональны по отношению друг к другу? Не могу проверить, как придумать, ведь точных значений нет.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: jojoza
2007-02-20 06:38 pm
в физике все константы являются переменными =))
(Ответить) (Parent) (Thread)
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>