?

Log in

No account? Create an account
о математике в школе - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

о математике в школе [мар. 20, 2008|10:42 pm]
Anatoly Vorobey
Недавно я прочитал очень, очень умное и интересное эссе о преподавании математики детям; его написал математик Пол Локхарт, который покинул академическую жизнь и преподает математику в средней школе. Надо сказать, что на фоне довольно знакомых рассуждений о том, как тут и там все плохо в школьной математике, дети растут математически неграмотные итд., его мысли очень необычны и неожиданны. Я очень, очень рекомендую всем, кто читает по-английски и кого сколько-нибудь интересует эта тема, прочитать это эссе. Я не уверен, что во всем с ним согласен - хотя нет, даже не так: уверен, что кое в чем не согласен; но его прочитать - намного интереснее, чем узнать мои мысли по этому поводу, которые придержу, пока не устоятся немного.

Lockhart's Lament (PDF). Источник - колонка Кита Девлина.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: spamsink
2008-03-20 09:22 pm
Спасибо!
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: ygam
2008-03-20 09:26 pm
Спасибо! Нужно подумать.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2008-03-20 09:30 pm
Спасибо за ссылку! Обсудим в субботу?:)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2008-03-20 09:40 pm
Давайте!
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2008-03-22 06:11 am
Мне кажется, что этот текст хорош, как агитка. При этом, данную идею стоит пропагандировать - ввиду убогости стандартного школьного (и не только) подхода к преподаванию математики, а также явной нехватки знаний населения о математике. Текст же полезен тем, что в нем хорошо вербализованы аргументы в пользу данной идеи.

А в остальном - грубовато!:) Даже если математика, это искусство (вроде музыки) - неужто гаммы учить не надо?:) Кроме того, математика - это все-таки наука.:) Одно из ее главных свойств (как самостоятельной дисциплины, так и в контексте других наук) - системность. Иначе вершиной математики было бы решение олимпиадных задач.:)

Что касается предподавания - тут тоже можно поспорить. ИМХО, если учитель хорош, то его трудно испортить плохим подходом к предмету, и наоборот.:)

В общем - жду Вашего отклика.:)
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: dmpogo
2008-03-22 07:31 pm
+9 !

Математика как искусство - идея обоснованная, но не всеохватывающая.

Сошлюсь на себя. Что мне больше всего нравилось в математике - это строгость. Я писал кипятком от доказательств (начиная с пятого класса), ощущения что вот это утверждение - абсолютно верное, и комар носа не подточит. Мне тогдашнему было бы мало интересно какую часть прямоугольника занимает треугольник, но задай "докажи площадь треугольника равна 1/2" - и я был бы готов забыть выйти во двор. Преподнеси мне математику как искусство, и у нее был бы шанс остаться там же где пение и рисование - в списке школьных кошмаров.

Вполне справедливо в результате я не математик - большинство математиков которых я знаю, действительно, больше художники чем кто либо еще. Но я стал физиком-теоретиком, и для меня математика, помимо языка - опора когда физическая интуиция, качественные рассуждения, зашли в тупик или недостаточны. Тода мы говорим "Ладно, расмотрим вопрос формально" и полагаемся на строгость математики подсказать нам результат или хотя бы дальнейший шаг.

Что порождает следующее возражение авторскому тезису. Автору в общем не интересна практическая компонента школьной математике - из соображений что большинство выпускников школы не пользуются никакими математическими знаниями в будущем. Последнее верно, но тут опускается крупная прослойка тех кто в будущем будут заниматься естественными науками или скажем инженерной деятельностью. И они ценят в математике не совсем то (или не только то) что ученые-математики. Их исследования - в другой области, и это там где они включают свое воображение, играют с новыми идеями, ошибаются и заблуждаются. А в математических знаниях и навыках они ищут опору :). И в школе их гораздо больше чем тех кто станет математиком.


(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2008-03-22 11:04 pm
Ваши доводы кажутся мне весьма разумными - несмотря на то, что сам я как раз математик.:) Несмотря на то, что я весьма непрочь похудожествовать в науке:) - мне кажется, что таблицу умножения таки желательно знать наизусть.

Школьные уроки музыки - хороши пример; он показывает, что происходит, если не ставится цели чему-то реально научить. Другой вопрос, что в школьном курсе математики изучается то, что туда "само приползло":), давно пора ревизию провести.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: ptitza
2008-03-28 12:54 am
Именно, гаммы учить для населения не надо.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2008-03-28 05:27 am
А чему учить? Сразу симфонии играть?:)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: monomyth
2008-03-20 09:38 pm
а я вот все деньги коплю на http://books.google.com/books?q=isbn+0792312570 :)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: zveriozha
2008-03-20 10:32 pm
Спасибо, очень интересный текст. Я не преподавал математику, но преподавал английский. Те идеи, которые он излагает, применимы почти ко всем предметам. Люди очень часто изучают то, что им не нужно. И таким способом, который отбивает желание что-либо учить. Но тут проблема упирается в преподавателей. Реально очень небольшой процент преподавателей (10-15% на мой взгляд) могут/хотят подходить ко всему этому творчески. Кафедры педагогики в ВУЗах - тоже отдельная тема. Они ничем не помогают, потому что на них тоже плохо учат, как учить. Замкнутый круг.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: rakshas
2008-03-20 10:48 pm
Все правда, прекрасная статья. Понятно, что со статьей невозможно согласиться полностью, но от чтения получаешь реальное удовольствие.

Небольшая история на тему.


Выпускной экзамен по геометрии у меня принимал учитель года (есть такой престижный в школьной средей всероссийский конкурс). Большой типа специалист и "звезда" нашей физ-мат гимназии.

Я прекрасно и с полным пониманием ответил, но вместо пятерки получил четверку, так как в какой-то момент увлекся и сказал: — Эта фигня равна этой фигне потому-то и потому-то.

Поставив четверку, он добавил небольшое наставление: "язык твой - враг твой" — или что-то в таком духе.

До сих пор думаю, что он мудак.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: galeolaria
2008-03-21 10:30 am
Он несомненно мудак
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: nuladno
2008-03-24 07:15 am
Mudak nesomnennyi.
On gde prepodaval - v kolonii dlya maloletnih prestupnikov?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: rakshas
2008-03-24 11:45 am
Спасибо за понимание.

К счастью, я никогда не был малолетним преступником, — нет, он преподавал в физико-математической гимназии №30 города Санкт-Петербурга.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: nuladno
2008-03-24 07:29 pm
Значит, я не въехала - поняла, что это был чей-то чужой преподаватель, увешанный регалиями. Не поверю, что одаренным матеатикам мог преподавать такой... мягко скажем, зануда. Как они его не съели в первой же четверти?
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: dmitri_pavlov
2008-03-26 02:23 am
По математике, кажется, до сих пор есть только
один учитель года — Владимир Леонидович Ильин.
И судя по тому, что мне про него рассказывали,
это для него было типично.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: rakshas
2008-03-20 11:13 pm
Мне больше всего понравился момент с доказательством прямоты угла треугольника.

Потому что когда я прочитал о повороте треугольника, я сразу стал думать о повороте в трехмерном пространстве и соответственно не понимал, как это можно так повернуть треугольник внутри круга. То есть я смотрел на это доказательство несколько секунд и думал: — эээ...

И мне потребовалось некотрое время, чтобы понять, что это просто поворот по кругу.

Это было реально забавно.

То есть решение совершенно не сложное, но не помню, чтобы мне когда-нибудь приходилось на уроках геометрии так поворачивать треугольники.
(Ответить) (Thread)
From: dmpogo
2008-03-24 01:30 am
На самом деле, этот пример иллюстрирует одну проблему с предлагаемым методом (в чем автор отдает себе отчет). Откуда в том числе и ваша заминка.

А именно, неясно в какой степени ученик сам что либо доказал. Идея была, но было ли доказательство ? Автор сам пишет, что объяснение идеи - его (ученик написал что-то более мутное), плюс в первоначальной версии отсутствовал ключевой момент - что надо показать что вторая диагональ тоже является диаметром. И похоже ученик даже не отдавал себе отчет что в том что он представил что-то отсутствует. Идея была, хорошо, но строгости мышления нет. (и то что неясно как вращать - из этого же).

Кстати строгое доказательство еще проще - из вершины (той где будет прямой угол) проведем диаметр. Из точки пересечения этого диаметра с окружностью достроим второй треугольник как в примере. Получили четырехугольник с двумя равными диагоналями. Все.


Мне это пренебрежение строгостью мышление несколько пугает. Из моего опыта
университетского преподавания физики. Даешь "исследовательскую" задачу - пользуясь доступными экспериментами, скажем, сформулируйте аргумент что, например, что то-то и то-то.

Значительная категория студентов начинает стрелять по площадям. В ответе - все что мы проходили и отдаленно по теме. Ставишь низкую оценку - жалуются -как у меня на странице 3 правильная идея, и на странице 5. То что эти идеи не выстроены в логическую цепочку, или что на каждую правильную две неправильные (которые испольозовались бы окажись ответ другой) - не понимают в чем проблема. Но интересно что когда такое проверяешь большой соблазн вчитать то чего нет - вроде тут мысль верна, и тут, может ничего ? - а встретишь поговоришь - полный разброд. Никакого помимания что необходимо, что достаточно :)








(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: rakshas
2008-03-24 02:03 am
Проблема такая безусловно возникнет. И осозновать ее надо. Какие пути решения? Ну, вот, нарпример, такие, что преподаватель будет искать недочеты и требовать доказывать до конца, разбирая все и недосказанности и "очевидные места".

На олимпиадах это тренируется, кстати. Вообще, математические олимпиады в своих лучших проявлениях чем-то близки к идеям автора.


PS. Хм, а в вашем доказательстве вроде надо еще доказать, что четырехугольник является параллелограммом.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: dmpogo
2008-03-24 03:51 am
PS. Хм, а в вашем доказательстве вроде надо еще доказать, что четырехугольник является параллелограммом.

Точнее надо бы доказать что четырехугольник с двумя равными диагоналями, пересекающимеся посередине - прямоугольник. Что я принял как очевидное, (или тривиально доказанное ранее) в том же стиле что и

But it can’t be a slanted box
because both of its diagonals are diameters of the circle, so
they’re equal, which means it must be an actual rectangle.

Но вы справедливо указываете на важную черту мат. мышления - осознание что уже дано а что еще нет.

Кстати, по моим воспоминаниям, геометрические школьные доказательства как раз осуществлялись дополнительными построениями типа обсуждаемых.






(Ответить) (Parent) (Thread)
From: dmpogo
2008-03-21 02:31 am
It is all not that simple :)
(Ответить) (Thread)
From: posic
2008-03-22 09:45 am
Можно считать математику искусством, с эстетическими критериями, и т.д. Но нельзя отрицать того огорчительного факта, что радости приобщения к этому искусству доступны лишь меньшинству людей. В геометрии, как известно, нет легких путей даже для царей. Можно играть на уроках математики в игры, но если это будут игры с математическим содержанием, то осмысленное участие в такой игре точно так же потребует умственных усилий, как и любая другая форма занятия математикой. И не у всех возникнет желание такие усилия приложить, и не всем удастся это сделать. Музыка и живопись в этом смысле гораздо демократичнее (даже самую сложную музыку может слушать каждый и какое-то впечатление да останется, но непонятная математика не дает ничего не уму, ни сердцу).

Многое зависит от квалификации учителя, разумеется, но количество талантливых учителей неизбежно ограничено. Оно вырастет, но останется ограниченным даже и в том случае, если родители начнут оплачивать и контролировать образование своих собственных детей, а не чужих, с соответствующим ростом уровня оплаты и качества контроля.

Корень проблем преподавания математики -- в попытке научить ей всех в одинаковом объеме, в концепции всеобщего обязательного образования.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: chaource
2008-03-22 10:49 pm
Я согласенъ, что математика доступна къ сожалѣнію не всѣмъ.

Примѣръ простой: вотъ урокъ начинается съ того, что мы говоримъ "Для любыхъ a,b вѣрно, что... доказательство..." И уже довольно большая часть народа засыпаетъ. Имъ, я думаю, просто не интересно доказывать какія-то абстрактныя утвержденія.
(Ответить) (Parent) (Thread)
(Удалённый комментарий)
From: posic
2008-03-23 03:06 pm
Изучение математики вовсе не устроено так, что сначало надо страдать, а потом начинаются интересные вещи. Процесс является достаточно однородным: все время трудно, и все время интересно. Действия с дробями ничуть не менее занимательны, чем все остальное в математике, да и алгоритмы операций "в столбик" вполне заслуживают внимания. Если же ребенок этих вещей не схватывает, так что ему приходится решать одинаковые упражнения тысячами, если он воспринимает это как мучение и ему прививается стойкая нелюбовь -- может быть, лучше ему заняться чем-нибудь другим?

Что значит учить считать, если операции "в столбик" сюда не включаются? Считать, это что, знать числительные до сотни на родном языке? Допустим; но этому учат в первом классе, в крайнем случае, во втором. Если вы согласны отменить обязательное преподавание математики после второго класса, то это, конечно, огромный шаг вперед.

Идея обязательного образования именно подразумевает, что всех будут учить одинаково, с минимальными вариациями. Если всех учат по-разному и в разном объеме, то кого-то, как предельный случай, не учат вообще ничему. Если последнее считают недопустимым, то появляется обязательный минимум. Школы начинают ориентироваться на достижение этого минимума во что бы то ни стало, а остальное побоку, тем более, что научить сколь угодно минимальному минимуму всех детей до единого является задачей, способной поглотить любые учительские ресурсы и все равно не быть достигнутой. Поэтому объем материала в обязательном минимуме будет повышаться, а требования к качеству его усвоения -- снижаться.

Существующая ситуация с качеством школьного преподавания является справедливой -- если, конечно, принять за данность, что меньшинство страдает по милости большинства и дети -- за грехи родителей. Нравственные люди не потерпели бы принудиловки, а безнравственные не заслуживают хорошего образования.
(Ответить) (Parent) (Thread)
(Удалённый комментарий)
From: posic
2008-03-25 05:17 pm
Я приветствовал бы переход к той системе, которую вы описываете, в особенности, если ребенок, сдавший этот минимум, мог бы идти получать профессиональное образование или работать, а не болтаться бессмысленно в школе. Однако, принять подобные предложения значит смириться с тем, что многие дети, по своим природным данным вполне способные научиться решать квадратные уравнения и рисовать график синуса, не выучатся этим вещам потому, что таков будет их выбор и/или выбор их родителей. Я не уверен, что сторонники всеобщего образования к этому готовы.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: orleanz
2008-03-22 01:38 pm
очень даже в тему:

если еще видели, обязательно посмотрите

ПРО ТОПОЛОГИЮ

http://video.google.com/videoplay?docid=-6626464599825291409
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: alexcohn
2008-03-27 09:39 am
спасибо!
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: tommi_anya
2008-03-23 03:49 am
Спасибо! Отличная статья, хотя автора определенно заносит на поворотах.:)
Жалко, что вы вывесили прям перед бойкотом, так что обсуждения почти не получилось.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: stas
2008-03-24 12:12 am
Мне кажется, автор выбирает неудачные сравнения.
Практически любую музыку я могу воспринять непосредственно - вполне возможно, что я не разберу каких-то нюансов, не зная законов формы и жанра, не пойму, почему автор выбирает именно такие ходы, не восприму аллюзий, намеков и прочих тонкостей - но многое все-же будет доступно моему восприятию совершенно непосредственно. То же и с визуальным искусством.
А как обьяснить, например, человеку без специального образования, непосредственно, что значит гипотеза Римана или какая-нибудь Hodge conjecture и как их воспринять без специальной подготовки?
Я бы, скорее, сравнил математику со, скажем, сочинением неприличных лимериков на китайском языке - для того, чтобы их сочинять, и для того, чтобы их воспринимать, нужно как минимум знать китайский и китайскую культуру настолько, чтобы понять, где же соль шутки. Разумеется, можно начать, как советует автор, с приличных стихов на английском, и, возможно, это будет полезнее, чем долбить иероглифы, которые все равно 99% учащихся забудут, но это все равно слабо поможет понимать те, китайские лимерики.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: ptitza
2008-03-28 01:23 am
Спасибо, так приятно было читать. "Трюк" с площадью треугольника - так для меня просто открытие! Так бы и сказали сразу, так нет, 35 лет пройдёт, пока узнаешь.

О гаммах в связи со статьёй. Со школы я хотела научиться играть на фоно для себя: подбирать песенки, мелодии. Но все, как попугаи: гаммы, Черни, гаммы, Черни. В 20 так говорили, и в 30, и в 40. На вопрос "а подбирать-то как?", отвечали: "Если до сих пор не подбираете по слуху, значит, не дано".

Тем не менее, мне было совершенно очевидно, что музыка - это стройная и красивая система, и поняв её простые законы, можно будет начать играть простые мелодии и без слуха, а на больше я не претендовала.

Но ни один из десятков преподавателей и музыкантов, которых я терзала, прося открыть мне законы "как подбирать", ничего сказать не мог. Гаммы, Черни, по слуху. Гаммы, Черни, по слуху. Вот это отсутствие системы, сисетемного подхода, непонимание, что делаешь - во всём, во всех предметах, о чём и пишет товарищ в статье. Тьфу.

Я уже решила, что никогда не буду играть. Но слава богу, на подходе к 50-ти, случайно обнаружила в сети гениального дядьку с учебником "Фоно -- за 10 дней". Казалось бы, невероятно, -- но я заиграла через 10 дней. Без нот, без гамм, без тональностей -- всё это идёт позднее, но просто по клавишам 1, 2, 3, 5, 7 и т.д. Ровно через 10 дней я смогла подбирать двумя руками почти все мелодии, которые хотела в ЛЮБОЙ ТОНАЛЬНОСТИ (я просто не знала, что это так называется) -- от романсов, до шлягеров, до классики - Чайковский, Сен-Санс, Бах и проч.

Конечно, далеко не так красиво, как они написаны (скажем, у Андрея Петрова "Голубые города" - там очень интересная гармония, без аккордов я бы не осилила), но для меня достаточно вечером сесть, поиграть, разрядиться. После этого курса пошёл курс "Импровизация" - заметим, опять же без гамм, практически без нот и проч. Это просто класс. Техники, конечно, никакой, но достаточно, как оказалось, для того, чтобы подыграть сыну - он играет на трубе. Подыграть "на слух", а не по нотам - "Jingle Bells", Моцарта. Не бог весть что, но тем не менее.

Это я к тому, что статью писал такой же преподаватель, как этот музыкальный гений (Нобелевку ему, чесслово), с таким же правильным, системным подоходом, когда не долбишь ноты, а понимаешь, что делаешь -- и понимаешь, что то что делаешь -- безумно красиво. Ну и простейший резльутат сразу, как в площади треугольника. А затем, конечно, можно наращивать технику, если хочется (мне не хочется). Кстати, у него и курс Черни есть, но он идёт уже после, скажем, импровизации.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: qub
2008-03-29 09:06 pm

"подкиньте дровишек"

-- ссылок, или кивордов для Гугля чтоб найти того дядьку?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: ptitza
2008-03-30 12:46 am

Re: "подкиньте дровишек"

1. Он на английском.
2. Стоит немало.
3. Не годится для тех, кто когда-либо учился музыке (у этих мозги уже навсегда повёрнуты в другую сторону - может, и лучшую, но в другую).

Если не отпугивает, кину :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: qub
2008-03-30 11:59 am

ну вы нагнали саспенсу

не отпугивает, кидайте.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: ptitza
2008-03-30 02:28 pm
Да я просто прочла, что Вы там дальше пишете. А для меня это святое. Скрашивает одинокие зимние вечера.

Вот общий каталог: http://www.playpianocatalog.com/

Вот мой первый курс, в нем отличная книжка с джазовыми песенками, которую можно начать играть через 10 дней: http://www.playpianocatalog.com/how-to-play-chord-pianoin-10-da.html

Вот мой второй курс, обалденный, т.к. не зная нот, можно начать импровизировать: http://www.playpianocatalog.com/quothow-to-make-cool-sounds-on-any-keyboardquot.html

В этом человеке удивительно сочетаются полное неумение организовывать печатный материал - и гениальное умение организовывать музыкальный. Сайт выглядит, как будто его писал идиот. А уроки за две минуты объясняют то, что мне не могли объяснить ни консерваторские, никто. Поразительно.

Писать о том, что это ерунда и фигня мне не нужно. Я неадекватно на это реагирую.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: qub
2008-03-30 05:42 pm

спасибо за ссылки

и за комментарий тоже.
берусь бережно относиться к вашим чувствам. дополнительной страховкой послужит то что в музыке я полный профан, а высказываться стараюсь о том в чем разбираюсь.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: ptitza
2008-03-30 09:58 pm
ну, если Вы такой хороший, вот Вам ещё парочку - это пример того, как он преподаёт, только сжатый и немного сложнее, т.е. где-то урок 11-й :)

http://piano-music-chords.com/Duanes-students-only/20-flowing-river-of-sound.htm - арпеджио

и ещё вот, например (взяла первые попавшиеся)

http://piano-music-chords.com/Duanes-students-only/27-walk-ups-downs.htm - переход "ступеньками" от одного аккорда к другому
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: qub
2008-03-29 09:03 pm

мне,

человеку в старших классах учившемуся математике почти по идеалу Локхарта, пафос его представляется тем не менее однобоким.

то есть конечно хорошая педагогика лучше плохой, но для признания этого факта не надо писать и читать двадцать пять страниц столь эмоционального текста.

Да, лучше холить и лелеять креативность и интуицию. Но в любом классе, даже и в матшкольном почти-по-Локхарту, ты увидишь расслоение на тех кого прет и тех кого, скажем так, не очень. Адресовать эту проблему только прекраснодушной уверенностью в том что человек от природы творческое существо и первых, которых прет, при правильном подходе должно быть сто процентов -- не получится.

Да, уроки музыки или живописи без ученического пения и рисования нелепы и унылы. Но что-то я не могу представить их себе без вполне творческого прослушивания и просматривания уже существующих артефактов. Почему изучение математических результатов других должно оказываться именно обезьянним заучиванием неинтересного, а не таким же творческим и креативным процессом как их самостоятельное переоткрытие? Таким, кстати, был мой личный перекос на многие годы - мне надолго стало легче придумывать самому, переоткрывать, чем "подчиняться чужой логике".

Да, тупые задачи на прямое применение одного и того же вдолбленного алгоритма -- практически бессмысленны. Но почему задачи не могут последовательно выявлять кучу нюансов некоего фундаментального факта? скажем, пусть формула корней квадратного уравнения будет выведена как результат учителем/в учебнике, а тот тривиальный, но достаточно далекоидущий факт что корней может быть два, один и ноль, и при каких условиях -- выяснится в задачах после.

Да, унылая нерелевантная нотация только затуманивает предмет. Но ведь релевантная и умение с ней обращаться дают мощный инструмент и благодатное поле для общих изысканий, избавляют от бесконечных недопониманий и выяснений "а, так ты ту точку имел виду, а не эту".

И так далее. Вобщем, we don't need no education, a не статья.

Есть очень меня вдохновившие заметки Звонкина и Левина, например тут, и их же книга на эту тему. Помягче, но и поточней.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: woody_alex
2008-04-05 07:31 pm

офтоп: Mathmaticious

A mathematical parody of Fergie's Fergalicious.
http://youtube.com/watch?v=6cAs1YBELmA
(Ответить) (Thread)