?

Log in

No account? Create an account
ковариантный и контравариантный (математическое) - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

ковариантный и контравариантный (математическое) [авг. 20, 2008|02:26 pm]
Anatoly Vorobey
Рисуем картинку


Начнем с поля действительных чисел R и построим над ним векторное пространство размерностью 1. В таком тривиальном векторном пространстве каждый вектор можно идентифицировать с числом. Поэтому 4, например - одновременно скаляр и вектор; будем выделять вектор жирным шрифтом: 4. Все пространство можно тоже обозначить R.

В пространстве R возьмем базис, состоящий из одного вектора e1 = 1. Как обычно, каждый вектор может быть представлен в виде линейной комбинации скаляров с векторами базиса; например, 4 = 4*e1.

Зафиксируем также какой-нибудь вектор v; например, пусть будет та же четверка - v = 4.

Теперь рассмотрим двойственное (сопряженное) пространство к R. Элементами этого пространства R* являются линейные функционалы над R, т.е. линейные функции, ставящие в соответствие каждому вектору действительное число. Если f - такой функционал, и f(1) = a, то например f(10) = f(10*1) = 10*f(1) = 10*a. Поэтому каждый такой функционал - просто умножение на какое-то действительное a, и мы его обозначим "a*", например 5* - это функция f(x) = 5*x.

Пространство R* тоже имеет размерность 1, и у него есть базис, сопряженный к выбранному нами базису e1: это такое e1, что применяя его к e1, мы получаем единицу. Ясно, что e1 = 1*, умножение на 1.

Зафиксируем также какой-нибудь вектор w* в сопряженном пространстве; например, возьмем w = 7*. Ясно, что он выражается через базис e1 следующим образом: w = 7*e1.

И наконец, между пространствами R и R* есть изоморфизм, который можно построить с помощью выбранных базисов: вектору a*e1 ставим в соответствие сопряженный вектор a*e1. Тогда, например, 10 переходит в 10*. Обозначим этот изоморфизм через Fe (потому что он, как мы увидим, зависит от выбора базиса e).

До сих пор мы отобрали пять объектов: базис R (состоит из e1 = 1), вектор в R (v = 4 ), сопряженный базис R* (состоит из e1 = 1*), сопряженный вектор в R* (w = 7*), и изоморфизм Fe (x -> x*). Еще у векторов v и w есть компоненты относительно базисов e1 и e1: это те скаляры, с помощью которых они записываются как линейная комбинация своего базиса. Это соответственно числа 4 и 7 (в трехмерном пространстве, скажем, это были бы тройки чисел, по одному на каждое измерение, но мы смотрим на очень простой одномерный пример).


Меняем точку зрения


Можно представить все это как некую статическую картинку. Теперь мы меняем точку зрения: меняем базис R на другой, и смотрим, что происходит с базисами, векторами и их компонентами.

Возьмем новый базис, состоящий из вектора f1 = 5. Любой вектор можно выразить через него: например, 10 = 2*f1, или 4 = 4/5 * f1.

Как меняются выбранные нами объекты: базис, сопряженный базис, вектор, сопряженный вектор, изоморфизм - когда мы переходим от базиса e1 к базису f1?

Ну, как меняется базис, ясно: мы сами обозначили, как: от 1 к 5. Новый базис можно выразить через старый с помощью матрицы перехода А, в которой записано строка за строкой, как выразить каждый из векторов нового базиса через векторы старого. Если бы наше пространство было например трехмерным, то A было бы матрицей 3x3; а в нашем тривиальном случае A - матрица 1x1, т.е. просто число, а именно число 5; но мы все равно напишем его так: A = {5}, чтобы подчеркнуть, что в общем случае это матрица. Итак, f1 = A * e1 - так выглядит переход от старого базиса к новому.

Как меняется при переходе к новому базису вектор v = 4? А никак не меняется! Вектор - некий определенный член векторного пространства; то, что мы сменили базис пространства, никак не влияет на вектор, он каким был, таким и остался (если представить себе вектор точкой в пространстве, то разве точка меняется от того, что мы сменим систему координат на другую? нет - она остается где была - ее координаты могут измениться, но сама точка где была, там и осталась). Правда, теперь у него другие компоненты - он по-другому выражается через векторы базиса. Раньше было v = 4*e1, а теперь v = 4/5 * f1. Раньше единственной компонентой вектора была 4, а теперь - 4/5. Вектор же как был 4, так и остался.

(предыдущий абзац иллюстрирует разницу между традиционным физическим и математическим подходом к векторам. Математик скажет так, как написано выше: вектор - неизменный абстрактный объект, компоненты которого по отношению к базису зависят от выбора базиса. Физики часто предпочитают думать по-другому: для них вектор и есть набор компонент, т.е. вектором они называют то 4, то 4/5, в зависимости от базиса (а в трехмерном пространстве это будут тройки координат, а не одно число). Физик скажет: вектор это такое число, например 4, что если я изменю базис на новый, например с 1 на 5, то оно изменится соответствующим образом с 4 на 4/5, и станет новым числом. Для математика это звучит странно: для него вектор - это отдельный объект, который не меняется, меняются только его компоненты. Это два разных способа посмотреть на одно и то же)

Смотрите: мы сменили базис с 1 на 5, т.е. умножили его на 5 (на матрицу A = {5}). А компонента вектора v от этого изменилась в обратном направлении, с 4 на 4/5, уменьшилась в пять раз. Это логично: ведь их произведение должно остаться неизменным вектором v! Это изменение в обратном направлении можно представить как умножение на обратную матрицу A-1 = {1/5}. Поэтому вектор v (как и любой другой вектор пространства R) называют контравариантным, т.е. обратным (контра) по направлению варьирования. Мы изменили (варьировали) базис в одном направлении - умножили на 5, а компоненты вектора пришлось от этого изменить в обратном направлении - умножить на 1/5.

Теперь перейдем к сопряженному пространтву и посмотрим, что изменилось там. У нового базиса f1 есть свой сопряженный базис f1 - такой, что применяя функцию f1 к вектору f1 = 5, мы должны получить единицу. Понятно, что для этого функция f1 должна быть умножением на 1/5, т.е. f1 = 1/5*. Заметьте, что базис мы изменили в одну сторону, а сопряженный базис, соответственно, меняется в обратную.

У нас был вектор в сопряженном пространстве: w = 7* = 7*e1. Сам сопряженный вектор от смены базиса, конечно, никак не изменился, но как он выражается через новый базис сопряженного пространства? Чтобы получить 7* из 1/5*, нужно умножить на 35, так что w = 35*f1. Новая компонента вектора w равна 35 - в пять раз больше старой. Разница между тем, что происходило с вектором v, очень важна! Там компонента менялась против направления варьирования базиса, а здесь - по, в ту же сторону, умножая на матрицу A. Поэтому вектор w (и вообще любой сопряженный вектор) называется ковариантным - по направлению (ко-) варьирования.

Наконец, новый базис дает нам новый изоморфизм между пространствами R и R*: любой вектор a*f1 переходит в вектор a*f1. Равен ли этот новый изоморфизм Ff предыдущему изоморфизму Fe или отличается от него? Возьмем например вектор 10; он в новом базисе выражается как 2*f1; поэтому переходит теперь в сопряженный вектор 2*f1, и получается 2/5*, умножение на 2/5. Мы видим, что изоморфизм Ff совсем не совпадает с изоморфизмом Fe, иными словами, изоморфизм, который мы можем построить с помощью выбора базиса (и соответствующего ему сопряженного базиса), весьма сильно зависит от этого базиса. Это иллюстрирует тот факт, что между пространством и сопряженным пространством, вообще говоря, нет канонического (или еще говорят: естественного) изоморфизма. Вместе с тем, есть ситуации, когда существует естественный изоморфизм, который "напрашивается" на то, чтобы его выбрать (например, в нашем примере ясно, что проще всего выбрать изоморфизм, который переводит x в x*; но это всего лишь оттого, что пример очень простой).


Итак


Подытожим: у нас было пять объектов - базис e1, вектор v, сопряженный базис e1, сопряженный вектор w, изоморфизм Fe. При переходе от базиса e1 к базису f1 умножением на матрицу A, они изменились следующим образом: базис пространства умножился на A, базис сопряженного пространства умножился в обратную сторону на A-1, вектор v не изменился, но его компоненты умножились в обратную сторону на A-1 (он контравариантный вектор); вектор w не изменился, но его компоненты умножились в "прямую" сторону на A (он ковариантный вектор). Изоморфизм изменился на совсем другой.

Выше я отметил, что физики часто предпочитают представлять векторы как наборы их компонент, а не отдельные объекты. Точно так же они любят относиться к сопряженным векторам. Вообще физики часто предпочитают не говорить о сопряженном пространстве, а просто рассматривать наборы компонент, например (в нашем одномерном случае) 4 или 7, не задумываясь о том, что 4*e1 - вектор пространства R, а 7*e1 - вектор сопряженного пространства R*. Но если мы сменим базис пространства, что физикам часто приходится делать, то компоненты-то изменятся по-разному! 4 "превратится" в 4/5, а 7 в 35, например, как в примере выше. Поэтому физик называет 4 "контравариантным вектором" а 7 "ковариантным вектором", и определяет, что это значит, следующим образом: если мы изменим базис, то 4 трансформируется в обратную сторону, а 7 - в "прямую". Это опять-таки, другой способ посмотреть на то же самое.

На первый взгляд это выглядит немножко странным волшебством: отчего бы это одно число (4) менялось в одну сторону, а другое (7) - в другую? У математика и у физика есть разные ответы на этот вопрос. Для математика это просто совершенно разные вещи: 4 - компонента вектора в одном пространстве, 7 - в другом (сопряженном); ничего удивительного нет, что когда мы меняем базисы этих пространств, числа меняются по-разному. Для физика его определение оправдано опытом. Мы замеряем какую-то физическую величину (например, приложенную силу) вдоль оси x и получаем какое-то число; вдоль оси y - другое число. А теперь мы возьмем и замерим то же самое вдоль других осей x' и y', например, повернутых на 30 градусов по часовой стрелке, или еще каких. Мы получим два других числа каких-то; как они зависят от предыдущего замера? Иногда оказывается, что зависят в "ту же сторону", в какую мы закрутили оси, а иногда - в "обратном направлении". Физик скажет, что в первом случае то, что мы измеряли, было "ковариантным вектором", а во втором - "контравариантным вектором". Математик на это все посмотрит, содрогнется в ужасе, и построит красивую модель, в которой будет ясно видно, что в первом случае мы измеряли компоненты вектора из сопряженного пространства, а во втором - из первоначального.


Предупреждение


Размышления на этим примером в пространстве из одного измерения помогли мне лучше понять казавшиеся до того запутанными термины "ковариантный" и "контравариантный". Я не знаю, почему ни один учебник линейной алгебры, из тех, что мне попадались, не рассматривает этот тривиальный пример; по-моему, это упущение. Вместе с тем, надо отметить, что некоторые аспекты этих понятий в нем оказываются чуть более упрощенными, чем хотелось бы. Для еще лучшего понимания я советую проследить за тем, что происходит при смене базиса, в двухмерном пространстве R2: взять какую-то простую, но не тривиальную, матрицу перехода A и тщательно вычислить, как выглядит контравариантный переход "в обратную сторону".
СсылкаОтветить

Comments:
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>
[User Picture]From: scau
2008-08-20 01:48 pm
спасибо, почитал с удовольствием )
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: phoonzang
2008-08-20 01:53 pm
Что будет, если мы растянем в пять раз базисный вектор в сопряженном пространстве? ;)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: moola
2008-08-20 01:57 pm
Мне помогла разобраться Scala при помощи своего ковариантного и контрвариантного наследования.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: kouzdra
2008-08-20 02:24 pm
Контравариантность subtyping'a функций по типу аргумента видимо действительно самый простой пример:

A -> B
[Error: Irreparable invalid markup ('<:>') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.]

Контравариантность subtyping'a функций по типу аргумента видимо действительно самый простой пример:

A -> B <: C -> D

iff

A :> C и B <: D

(A -> B - функция из типа А в тип B, A <: B - А есть подтип B - для простоты можно представлять просто как множества значений, соотвествущих типов, а <: как включение множеств)

К тому же он естественный - проверяется он просто (достаточно порисовать соответствующие типам множества значений), и никакой простой интерпретиции, позволяющей тут уйти от разнонаправленности стрелочек вроде бы нет. Оно по жизни такое.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: oblomov_jerusal
2008-08-20 02:26 pm
У физиков пространство обычно снабжено скалярным произведением, а между таким пространством и его дуальным пространством существует канонический изоморфизм.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: vova_belkin
2008-08-20 02:40 pm
По моему у Вас не совсем корректно вот в этом фрагменте:

"Теперь перейдем к сопряженному пространтву и посмотрим, что изменилось там. У нового базиса f1 есть свой сопряженный базис f1 - такой, что применяя функцию f1 к вектору f1 = 5, мы должны получить единицу. Понятно, что для этого функция f1 должна быть умножением на 1/5, т.е. f1 = 1/5*. Заметьте, что базис мы изменили в одну сторону, а сопряженный базис, соответственно, меняется в обратную.

У нас был вектор в сопряженном пространстве: w = 7* = 7*e1. Сам сопряженный вектор от смены базиса, конечно, никак не изменился, но как он выражается через новый базис сопряженного пространства? Чтобы получить 7* из 1/5*, нужно умножить на 35, так что w = 35*f1. "


Если Вы ввели новый базис(f1 = 5e1) и новый(!) функционал ("f1 к вектору f1 = 5, мы должны получить единицу") - то получается новое(!) сопряженное пространство.

Если честно - я немного запутался в обозначениях - но если нарисовать все на бумажке - то фокусa с w = 35*f1 не получается.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2008-08-20 02:56 pm
Сопряженное пространство - всего лишь набор всех возможных функционалов. Что бы мы ни делали с базисами, само пространство остается таким, как было. Функционалы - они и есть функционалы; и в данном случае единственно возможные функционалы - это умножение на какую-то константу.

Теперь давайте разбираться с базисами. Ключевое слово - "сопряженный базис". Вообще говоря, пространство R и сопряженное пространство R* - два разных векторных пространства, и мы могли бы выбирать в них базисы независимо друг от друга. Например, взять в одном базис 7, а в другом "умножение на 19". Никто не мешает это сделать.

Но оказывается, что заданному базису в R всегда можно сопоставить, и единственным образом, особенно удобный базис в R*, который называется сопряженным. Каждый член этого сопряженного базиса, будучи функционалом над R, обнуляет все вектора базиса в R, кроме одного, а его переводит ровно в 1. Это записывают обычно с помощью так называемой "дельты Кронекера" δi,j, которая равна 0, когда i не равно j, и 1, когда равно. Мы можем написать fi(fj) = δi,j, где с верхним индексом пишутся векторы сопряженного базиса, а с нижним - исходного. В случае с размерностью 1 есть только один вектор в каждом базисе, поэтому условие остается только одно - f1(f1) = 1.

Зачем так делают? Есть несколько причин, но самая важная - что так оказывается особенно легко описывать компоненты векторов и сопряженных векторов. Например, если вектор v = X*f1, то чему равна компонента X? Она равна в точности результату применения сопряженного вектора базиса f1 (как функционала) к v: потому что когда мы применяем f1 к X*f1, то вектора схлопываются в 1 по вышезаданному условию, и остается один коэффициент X. То же самое работает и во многих измерениях: если есть n измерений и n векторов базиса и n векторов сопряженного базиса, то каждый вектор v описывается набором из n координат по базису (x1*f1 + x2*f2+...), и каждую из этих координат, скажем x3, можно получить применением вектора сопряженного базиса f3 ко всему вектору v.


Если f1 - это вектор 5, то функционал, переводящий число 5 в единицу, это функционал "умножение на 1/5", и это и будет f1. А чтобы выразить функционал "умножение на 7" через функционал "умножение на 1/5", нужно умножить аж на 35 раз.

Так понятнее?
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2008-08-20 03:11 pm
>например, в нашем примере ясно, что проще всего выбрать изоморфизм, >который переводит x в x*; но это всего лишь оттого, что пример очень >простой

Или я чего не понял (возможно обозначений) или это не линейно (2^*(1)=1/2 \neq 2=2 1^*(1), т.е. 2^* \neq 2 1^*).


Вообще же выбор изоморфизма В с В^* это выбор (вырожденной) билинейной формы на В (то есть элемента В* tensor В*, это объяснять нужно наоборот: отображение В в В^* это элемент В* tensor В*, что по определению есть билинейная форма на В). Например Евклидова произведения (положительно определенной симметричной формы) или симплектической формы (анти-симметричной формы). В случае В=R, такая форма задается одним параметром - длиной какого-нибудь вектора (положительной или отрицательной), и вектор единичной (по модулю) длины дает выбор базиса (с точностью до +-1). Так что изоморфизма R->R* без выбора базиса (с точностью до +-1) не построишь.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: max_i_m
2008-08-20 03:12 pm
Забыл зайти.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: _glav_
2008-08-20 03:12 pm
как физик, могу сказать, что одинаково часто встречал представление вектора и как набора координат, и как неизменного объекта. Собсбтвенно, вектор совсем не обязательно представлять точкой в пространстве: обычно вектор представляется отрезком. И из такого представления "очевидно", что отрезок, равно как и точка, "не меняются" от смены системы координат: его длина и направление остаётся неизменным. Проблема возникает, когда мы переходим к тензорам, ранга больше чем 1 (или просто тензорам). Такой объект уже не "нарисуешь". Представление его "точкой" в суп-пространстве не решает проблему, т.к. просто переопределяет слова, наглядности от этого не добавляется. Поэтому, тензоры представляются как "набор чисел, которые при преобразовании системы координат преобразуются отпределённым образом".

кстати, я могу ошибаться, но необходимость различать ковариантные и контравариантные тензоры имеется только в космологии и физике высоких энергий, достаточно математизированных областей, так что некоторые их относят собственно к математике :). в обычных ситуациях "все вектора - контравариантные", такую классификацию просто не вводят: обычно, те самые индексы пишут всегда внизу, и градиент (наиболее часто возникающий ковариантный вектор) никак не выделяют.

вообще говоря, соответствие с прямыи и обратным пространством красивое, и я, кажется, действительно, его не встречал. хотя это может быть связано с физическим уклоном моего образования.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: nevsky
2008-08-20 03:28 pm
> необходимость различать ковариантные и контравариантные тензоры имеется
> только в космологии и физике высоких энергий

Скорее, в любой области физики, где возможна абстрактно-тензорная формулировка. Например, в тензорной записи уравнений Максвелла, или преобразований Лоренца в СТО, или теории упругости. Хотя все это можно, конечно, записывать и "по-простому", без тензоров.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: reut
2008-08-20 03:30 pm
с удовольствием прочла. :) уж и не вспомню, когда в последний раз читала математический текст на русском.
но я согласна, что пример с одномерным пространством чуть слишком упрощенный. т.е. меня это даже путало.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: akater
2008-08-20 03:47 pm
Да, написано хорошо. Спасибо. Я буду считать, что я всё понял про контравариантность и ковариантность.

___________________

> Математик скажет так, как написано выше: вектор -
> неизменный абстрактный объект, компоненты которого по
> отношению к базису зависят от выбора базиса. Физики
> часто предпочитают думать по-другому: для них вектор и
> есть набор компонент, т.е. вектором они называют то 4,
> то 4/5, в зависимости от базиса

Как занятно. Для меня вектор это, безусловно, набор компонент, но я так и не понял до сих пор, зачем нужны слова «при замене базиса он меняется таким-то образом» — ведь достаточно объяснить, как наборы компонент складывать и умножать их на склаяры, и получится естественное, с моей точки зрения, определение вектора. Получается, что я представляю векторы «как физик», но мне сложно завявить, что я физик, потому что я в физике ничего не понимаю.

Впрочем, ещё меньше я понимаю, зачем вообще нужны понятия ковариантности и контравариантности.
(Ответить) (Thread)
From: 9000
2008-08-20 03:56 pm
Спасибо, внятно.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: bigfoot_566
2008-08-20 07:49 pm
Учусь на физтехе, но так как действительно обычно все вектора контрвариантные, то не было повода до конца разобраться. Теперь понимаю, что если бы нам рассказывали про ко- и контрвариантные вектора "как математикам", то было бы всё гораздо понятнее.
Кажется, вы залатали хорошую брешь в моем "образовании". Спасибо!
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: falcao
2008-08-20 11:52 pm

"левая, правая где сторона" (c)

Не могу не восхититься в очередной раз прекрасным стилем изложения.

Я, кстати, никогда даже не задумывался над происхождением "ко-" и "контра-" в данном контексте -- это было усвоено как-то "догматически".

Небольшая техническая поправка: если образ координатного вектора v (столбца) есть Av, то и матрица перехода пишется по принципу "столбец за столбцом".

В этом хотя и видится некая "противоестественность", но она вызвана отходом от более естественного стандарта уже в самой записи вида f(x) вместо (x)f, что особенно ярко проявляется при рассмотрении композиции отображений.

Лучше всего было бы, конечно, писать A по строкам, но действовать на вектор-строку справа, а не на вектор-столбец слева.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: ltwood
2008-08-21 05:49 am
Про перепутанные строки и столбцы матрицы перехода A выше уже сказали (кстати, в старом учебнике Мальцева использовалась именно такая нотация: xA).

Еще одно мелкое замечание по стилю:

может быть представлен в виде линейной комбинации скаляров с векторами базиса

Все же когда говорят о линейной комбинации, имеют в виду именно линейную комбинацию векторов (с некоторыми скалярными коэффициентами), но не линейную комбинацию скаляров с векторами.

По сути разобранного примера. Когда мне как-то раз пришлось читать курс линейной алгебры, я почти дословно разбирал такой (одномерный) пример со студентами и с удивлением убедился, что даже лучшие из них легко запутываются и понимание не достигается. Потом я понял в чем дело. Вот в Вашем рассуждении самое сложное для понимания место:

если представить себе вектор точкой в пространстве, то разве точка меняется от того, что мы сменим систему координат на другую? нет - она остается где была - ее координаты могут измениться, но сама точка где была, там и осталась

Вещественная же прямая обычно реализуется в сознании как жесткая линейка с делениями, на которой нет никаких «точек», инвариантных по отношению к замене базиса (мерного отрезка, единицы измерения). Кажется именно поэтому одномерный случай оказался плохим инструментом для объяснения сути ко/контрвариантности. Потом я то же самое объяснял на примере геометрического вектора-стрелки с длиной, измеряемой то в сантиметрах, то в метрах и понимание было достигнуто.
(Ответить) (Thread)
From: vinegr
2008-08-21 09:35 am

порекомендуйте книжку, пожалуйста

Вы не посоветуете, что бы еще почитать популярного по физике, где есть интересные примеры использования аппарата тензоров?
Про ОТО у Ландау, на мой взгляд, понятнее чем у Уолда, а про теорию упругости чего-то не интересно...
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: yigal_s
2008-08-21 09:37 am
> Теперь перейдем к сопряженному пространтву и посмотрим, что изменилось там. У нового базиса f1 есть свой сопряженный базис f1 - такой, что применяя функцию f1 к вектору f1 = 5, мы должны получить единицу.

Необходимость рассмотрения именно сопряженного базиса, а не просто любого базиса в сопряженном пространстве, не раскрыта. Т.е. нераскрыто, почему умножая базисную функцию на базисный вектор (в одномерных сопряженных пространствах) мы должны получить единицу.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2008-08-21 02:38 pm
Это не то чтобы необходимость, можно независимо использовать разные базисы в этих двух пространствах, но почти всегда используют именно сопряженный базис, потому что он очень упрощает вычисления и представления элементов. Я попытался это объяснить в комментарии выше.

Обратите внимание, что если не поддерживать связь "базис - сопряженный базис" между пространствами, то вообще нет возможности говорить о ковариантности сопряженных векторов, потому что - ну изменили мы базис исходного пространства, а в сопряженном вообще ничего не изменили, так там ничего и не изменится.
(Ответить) (Parent) (Thread)
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>