| Comments: | | Страница 1 из 2 | | << | [1] [2] | >> |
Почему база не идет от N=1?
![[User Picture]](http://l-userpic.livejournal.com/81048954/111931) | From: ![[info]](http://l-stat.livejournal.com/img/userinfo.gif) avva
2008-10-08 12:00 am none (UTC)
| (Link)
|
Слишком тривиально: не получается "подняться" от 1 к 2. Обратите внимание, что в шаге индукции уже доказанные неравенства применяются дважды: для предыдущей степени двойки и для 2. Так что случай N=2 необходимо держать наготове.
![[User Picture]](http://l-userpic.livejournal.com/52090761/1535259) | From: rwalk
2008-10-08 12:03 am none (UTC)
| (Link)
|
Красивое (со школьных времен), но идеологически порочное :) Проще сказать, что логарифм - вогнутая функция. Вообще львиная доля неравенств интерпретируются как выпуклость подходящих функций.
Ну, неравенство Йенсена - только одно из возможных обобщений. Есть еще неравенство Мюрхеда, которое, насколько я понимаю, через выпуклость не докажешь.
Но я согласен, что аввино д-во идеологически неправильное.
Нормально читается, хоть и давно уже всё это изучалось. Упоминание о том, что при умножении степеней степени складываются, кажется ненужным - неужели это можно забыть или не знать?
Шаг удвоения (T -> 2T) прозрачнее доказать так:
1) пусть А(...) есть ср. арифм., Г(...) -- ср. геом.;
2) из определения А и Г видно, что А(а1,...аТ,б1,...бТ) = А(А(а1,...,аТ),А(б1,...,бТ)) и аналогично для Г;
3) из определения А и Г видно, что при а1>=б1,...,аТ>=бТ будет А(а1,...,аТ)>=А(б1,...,бТ) и аналогично для Г;
4) собственно док-во удвоения:
4.1) А(а1,...аТ,б1,...бТ) = А(А(а1,...,аТ),А(б1,...,бТ)) по (2);
4.2) А(А(а1,...,аТ),А(б1,...,бТ)) >= Г(А(а1,...,аТ),А(б1,...,бТ)) по предположению индукции для 2;
4.3) Г(А(а1,...,аТ),А(б1,...,бТ)) >= Г(Г(а1,...,аТ),Г(б1,...,бТ)) по (3) и предположению индукции для T;
4.4) Г(Г(а1,...,аТ),Г(б1,...,бТ)) = Г(а1,...,аТ,б1,...,бТ) по (2);
4.5) А(а1,...аТ,б1,...бТ) >= Г(а1,...,аТ,б1,...,бТ) по (4.1)-(4.4). Quod erat demonstrandum.
From: (Anonymous)
2008-10-08 01:35 am none (UTC)
| (Link)
|
Третий этап, кажется, можно доказать проще.
1. Если a - среднее n чисел, то среднее этих же n чисел и b < a будет меньше a (справедливо и в одно действие показывается и для среднего арифметического, и для среднего геометрического, верно и если заменить "меньще" на "больше").
2. Поэтому если среднее арифметическое каких-то n чисел меньше среднего геометрического, добавим к ним число, лежащее между этими двумя средними, и получим набор n+1 чисел, у которых среднее арифметическое будет меньше среднего геометрического. Процедура повторяется, пока не получим n+m=2k.
S.
From: (Anonymous)
2008-10-08 01:45 am none (UTC)
| (Link)
|
Кажется, ерунду написал. Нужно было (?) показать, что среднее будет больше b.
From: 9000
2008-10-08 02:28 am none (UTC)
| (Link)
|
Логика введения B, которое случайно оказывается средним арифметическим, конечно, развлекает.
Теряюсь в догадках о том, как и для чего это родилось.
Мне всегда казалось, что неплохо было бы иметь такие учебники начальной математики: написанные человеческим языком и подробными внятными выкладками. Может, они и есть, но мне не попадались?
Да, и хорошо бы были хотя бы намёки на то, как доказательство работает, в смысле откуда оно взялось.
![[User Picture]](http://l-userpic.livejournal.com/1908822/544300) | From: dass
2008-10-08 02:38 am none (UTC)
| (Link)
|
Спасибо, вспомнился матан в универе
"квадрат всегда положительное число."
неотрицательное
"часто оказывается полезным в математике."
например?
"это произведение всех чисел, из которого извлечен корень той степени, сколько есть чисел"
а зачем? и почему "геометрическое"?
То есть это все знаю (или когда-то знал), и мне было интересно вспомнить это доказательство, спасибо. Но если уж пишете в тоне "Если не верите, проверьте вручную", то хорошо бы заинтересовать аудиторию чем-то кроме самого метода доказательства.
Есть две школы - "неотрицательное - положительное" и "положительное - строго положительное".
Может быть вам понравится неравенство Гёльдера и особенно та часть его доказательства (неравенство Юнга), где рисуется прямоугольник и его площадь сравнивается с суммой площадей над и под графиком интегрируемой функции (в википедии этого впрочем нет, там отсылка к выпуклости экспоненты).
офтоп: Коши в душе тоже был программистом, любил понимаешь степени двойки :)
Проблема всех таких доказательств, что они начинаются с каких-то тривиальных рассуждений о том, что такое среднее арифметическое, а потом быстро-быстро усложняются в нечитаемую и непонятную байду, которую может понять только человек, который и до этого как минимум прекрасно знал, что такое среднее арифметическое.
Никто и никогда не будет вникать в такое доказательство, не имея хорошего математического бекграунда.
Кстати, верно. Я даже знаю, где именно не имеющий бэкграунда человек потеряется: на слове индукция.
Не-е. Некрасиво. Напоминает высказывание Литлвуда о Жордане.
Еще есть красивое доказательство с помощью транснеравенства.
Это, что если мы хотим сложить поожительные числа a_1,...,a_n, взятые с положительными коэффициентами b_1,...,b_n, то максимум получится, когда к большему числу приставляется больший коэффициент.
(само по себе очевидно)
Второй шаг: заметить, что достаточно найти максимум суммы при условии, что произведение равно 1.
Третий шаг самый красивый, не буду пока рассказывать :)
Упс. Минимум суммы, а не максимум (при условии, что произведение равно 1).
Соответственно, и транснеравенство надо использовать в другую сторону: что, чтобы добиться минимума, надо к большим числам приставлять меньшие коэффициенты.
![[User Picture]](http://l-userpic.livejournal.com/7219654/459801) | From: rgu
2008-10-08 05:30 am none (UTC)
| (Link)
|
Какой Вы, Анатолий, неленивый человек.
![[User Picture]](http://l-userpic.livejournal.com/4637206/513267) | From: pbl
2008-10-08 06:29 am none (UTC)
| (Link)
|
> ...вызывают дух Тьюринга и присягают ему на верность
Кто Тьюрингу, а кто и Черчу.
Спасибо за напоминание о существовании математики :)гимнастика для мозгов поутру - полезно и приятно.
Ой-ой, есть значительно более простое и элегантаное доказательство с помощью неравенства Jensen... Приблизительно три строки.... Такое я даже студентам не показываю... А есть ещё одно среднее - 1/(1/а_1 +.... 1/а_n) вот между ним и средним арифметическим и находится среднее геометрическое... Вот это неравенство из трёх составляющих называется "неравенство средних величин"....
забыла сказать, что то среднее о котором я говорила, называется гармоническое среднее (очень надеюсь, что и по-русски это звучит именно так...) Можно, кстати, доказать с помощью множителей Лагранжа (классический пример на их использование), но это уже надо много знать.....
![[User Picture]](http://l-userpic.livejournal.com/79403802/15084369) | From: sl37
2008-10-08 06:52 am none (UTC)
| (Link)
|
Первый ваш математический пост, который мне понятен и интересен.
Кстати, разве квадрат суммы/разности не так обычно записывают?:
(A ± B)2=A2 + B2 ± 2AB
![[User Picture]](http://l-userpic.livejournal.com/41979896/2162668) | From: shurz
2008-10-09 08:23 am none (UTC)
| (Link)
|
в советской школе учили (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2
полагаю, порядок следует от раскрытия скобок (A + B)(A + B) слева направо.
Сколько текста и почти ниочём.
Кстати есть ведь куча других средних.
Но все средние (и квадратичное, и геометрическое, и гармоническое) есть частный случай общего: есть некая функция F(x). тогда мы говорим, что среднее чисел A, B, C,... - это такое число M, что:
F(M) - есть среднее арифметическое чисел F(A), F(B), F(C),...
А далее есть общий результат - если функция выпукла вниз - это среднее меньше среднего арифметического, а если выпукла вверх - больше.
То есть наоборот.
Среднее кводратичное - F(x)=x^2
Среднее геометрическое - F(x)= ln(x)
Среднее гармоническое - F(x)=1/x
Вы нигде не указывваете для какого класса чисел Вы доказываете свои неравества.
A=2i+1
B=i+1
(A-B)**2=(2i+1-i-1)**2=i**2-*=-1<0
Указывает: "для любого набора положительных чисел."
From: p_a_s_h_a
2008-10-08 08:06 am none (UTC)
О средних... | (Link)
|
В последнее время из областей практического применения математики очень актуально вычисление средневзвешенной процентной ставки...
Не знаю, насколько я попадаю в группу людей мнение которых вам было бы интересно узнать, но мне запись понятна. А вот интересна она или нет это сложный вопрос: это доказательство я впервые услышал на мат. кружке классе в 7ом. Но тогда это было жутко интересно.
Мне понравилось.
Но в любом случае, школьные 4 единицы необходимы чтобы это понять.
From: rusmanov
2008-10-08 12:37 pm none (UTC)
восприятие | (Link)
|
после школы, которую закончил в 2000 году углубленно математикой не занимался. Высшая математика на 1 курсе матмеха и дальнейшее изучение в Гуманитарном университете не в счет. Не помню, чтобы проходил это доказательство в школе. Ваша запись понятна и кажется, что можно после прочтения объяснять это доказательство другому человеку. Единственное, что заставило подумать - ввод (М-к) чисел B | Страница 1 из 2 | | << | [1] [2] | >> |
| |
, 
, 
и 
, то их среднее арифметическое равно 
. 
.
, а потом - что если оно верно для любого набора из 
чисел, то верно также для любого набора из 
чисел (это называется "шаг индукции"). И тогда из этого бы следовало, что это верно для любого количества чисел: из того, что верно для двух, следует, что верно для трех; из этого следует, что верно для четырех; из этого - что верно для пяти; и так далее до бесконечности - выходит, что верно для любого числа. Это называется "принцип математической индукции". 
чисел, будет вытекать, что оно верно и для 31 числа, и для 30, 29, 28, и так далее. Выходит, что индукция получается как бы двойная: вперед-назад. Сначала мы доказываем только для степеней двойки, "вперед", а потом от достаточно больших степеней двойки возвращаемся ко всем остальным числам, "назад".^2}{4})
вправо и сократим, то справа останется 
, а это равно ^2)
. Выходит, что наше неравенство сводится к^2)
^8}{8^8})
можно сгруппировать в две части: *(EFGH))
, и к каждой из них применить неравенство для четырех чисел, которое мы предполагаем уже доказанным:^4}{4^4})
^4}{4^4})
^4*(E%2BF%2BG%2BH)^4}{4^4*4^4})
это всего-навсего 
(при умножении степеней степени складываются! Если не верите, проверьте вручную, что 
). А числитель мы можем упростить, соединив две степени в одну, и тогда получим:*(E%2BF%2BG%2BH))^4}{4^8})
*(E%2BF%2BG%2BH) \leq\frac{(A%2BB%2BC%2BD%2BE%2BF%2BG%2BH)^2}{2^2})
^2)
и знаменатель 
в четвертую степень, и спустим знаменатель вниз, к общему знаменателю):^8}{2^8*4^8})
- вот мы и получили, что хотели:
, и обозначим их 
, и пусть ближайшая к 
. Тогда мы знаем, что для любого набора из 
чисел, так чтобы общее число было ровно B}{M})
в левой части, и множитель )
в правой части всего лишь отражают тот факт, что мы вставили 
, благо он сокращается, за пределы дроби:
, т.е. взять 
, среднее арифметическое исходных 
![[info]](http://l-stat.livejournal.com/img/openid-profile.gif){kind=small}