?

Log in

о детишках-деточках (математическое) - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

о детишках-деточках (математическое) [янв. 5, 2009|11:01 pm]
Anatoly Vorobey
Есть одна старая задачка о вероятностях, о которой я думал, что все знаю. Пару дней назад оказалось, что не все. Сначала я расскажу саму задачу и обычное ее решение, а потом - что нового я об этом узнал.

1. Вы встречаете на улице знакомого, которого не видели много лет. Он рассказывает вам, что у него двое детей (о которых вы до сих пор ничего не знали), и решает проверить ваше знание теории вероятностей: "Один из моих детей - девочка. Какова вероятность того, что другой ребенок - мальчик?"

Эта задача довольно хорошо известна. Правильный ответ на нее - вероятность того, что в семье мальчик и девочка равна 2/3, или около 67% (соответственно, вероятность того, что две девочки - 1/3). Обычный неправильный ответ - 1/2.

Вот как можно придти к правильному ответу. Поскольку мы полагаем, что вероятность рождения мальчика или девочки - "50 на 50", и между разными родами нет зависимости, есть четыре возможных варианта детей в семье: ММ, МД, ДМ, ДД, где первая буква обозначает пол первого ребенка, вторая - второго. Вероятность каждого из этих вариантов - 1/4. Нам стало известно, что в семье есть как минимум одна девочка, т.е. вариант ММ отбрасывается, а все остальные остаются возможными. Из этих трех возможных вариантов нас интересуют два (ДМ и МД), поэтому вероятность равна 2/3.

Как люди приходят к неверному решению 1/2? Обычно одним из двух путей. Во-первых, некоторые считают, что МД и ДМ следует считать одним и тем же вариантом, потому что "порядок роли не играет". Порядок детей действительно не играет роли в условии задачи, но то, что упускают эти люди - что если мы распишем всего три варианта, не учитывая порядка - т.е. "М и М", "М и Д", "Д и Д" - то у нас нет никаких оснований считать, что их вероятности равны друг другу и равны 1/3 каждая. Для того, чтобы это как понять, полезно продумать как следует, почему у нас есть такие основания считать вероятности равными в правильном решении. Некоторые знают правильное решение, но не понимают, почему ММ, МД, ДМ и ДД все равны друг другу по вероятности - им это представляется очевидным, например, потому, что ведь это "симметрично". Но из того, что мы симметрично написали четыре буквы, еще ничего не следует. Ключевую роль играет то, что рождение мальчика или девочки мы считаем равновероятным, и разные случаи рождения в одной семье - независящими друг от друга. Поэтому мы словно бы бросаем монету, на которой написано М и Д на разных сторонах, два раза. Эти предположения, на которые мы опираемся, кстати, верны лишь приблизительно, и сильно зависят от культуры (можно представить себе общество, в котором за счет абортов или искусственного оплодотворения поддерживается очень неравное соотношение мальчиков и девочек, или отношение равное, но в каждой семье пол детей чередуют от ребенка к ребенку. В таком обществе у этой задачи будет другой ответ).

Второй путь к неправильному ответу, еще более частый - понять условие так, будто оно говорит о конкретном ребенке. Например, вот всего лишь легкое изменение условий задачи, для которого правильный ответ уже - 1/2:

2. Вы встречаете на улице знакомого, которого не видели много лет. Он рассказывает вам, что у него двое детей (о которых вы до сих пор ничего не знали), и решает проверить ваше знание теории вероятностей: "Мой старший ребенок - девочка. Какова вероятность того, что второй ребенок - мальчик?"

Здесь известно, какой ребенок девочка - старший, поэтому из четырех возможностей ММ, МД, ДМ, ДД отбрасывается не одна, как раньше, а две: ММ и МД невозможны. Из оставшихся двух мы заинтересованы в одной, поэтому ответ - 1/2.

Разница между задачами, которые я обозначил 1. и 2. довольно тонка, но тем не менее важна и полностью меняет ответ. Многие люди не замечают этого, или отказываются согласиться с тем, что эти разные задачи, и настаивают на том, что исходная задача дает ответ 1/2, размышляя примерно так: "Нам сказали про одного ребенка; пол другого ребенка не зависит от пола первого, и поэтому вероятность того, что другой ребенок мальчик, равна 1/2. Какая разница, сказали нам слово "старший" или нет? Главное, что назвали пол одного ребенка, мы можем в уме отставить его в сторону и сосредоточиться на другом".

Это рассуждение звучит довольно логично, но тем не менее, оно неверно. Кстати, объяснить, почему неверно, не так-то и просто; лучше способа, чем просто подробно объяснить правильное решение, и как оно вытекает из принципов теории вероятности, я не знаю.

Ну да ладно. Теперь к новому. К немалому удивлению, я узнал, что есть способ понять условие, довольно логичный притом, который ведет опять-таки к ответу в 50% или 1/2 - на этот раз правильному. В начале этой записи я специально сформулировал задачу так, что ее можно понять и так и этак, так что правильным ответом можно считать и 2/3, и 1/2 (но не по тем, неверным, причинам, что разобраны выше).

Вот как можно объяснить разные подходы к условию задачи. То, что знакомый - которого мы можем считать представителем случайно выбранной семьи с двумя детьми - говорит нам, "среди моих детей есть девочка", можно понять двумя разными способами:

A. У нас просто появилась новая информация, а именно: вариант ММ невозможен. Это все, что мы знаем, не больше и не меньше.

B. Мы можем резонно предположить, что наш знакомый назвал пол одного из своих детей, выбрав его наугад. То, что он сказал "девочка", означает, что у него ДД или МД или ДМ; но он мог бы также сказать и "мальчик", что означало бы, что у него ММ или ДМ или МД.

На первый взгляд может показаться, что A и B - одно и то же. Но это не так. Вариант A. в точности соответствует задаче, которую я обсуждал выше, и ведет к ответу 2/3. Вариант B ведет к ответу 1/2, как я сейчас объясню.

В варианте B мы хотим узнать, какова вероятность "МД или ДМ" при условии, что знакомый сказал "девочка". Если бы у знакомого был случай ММ, он не мог бы сказать "девочка", так что этот случай мы справедливо отметаем. Если бы был ДД, то он точно сказал бы девочка. Но если у нашего знакомого МД или ДМ, то он может сказать и то, и другое, как ему вздумается. На самом деле от того, как он поступает в таких случаях, зависит ответ на наш вопрос. Резонно предположить, что в случае ДМ или МД он выбирает наугад, и в половине случаев говорит "девочка", а в половине "мальчик".

Как тогда расписать возможные случаи? Добавим еще одну букву, например МДм означает "дети - мальчик и девочка, знакомый сказал 'мальчик' ". Возможности есть такие:

ММм - 1/4 (если ММ, то всегда м)
ДДд - 1/4

МДм - 1/8 (если МД, что случается с вероятностью 1/4, то в половине случае м, в половине д)
МДд - 1/8

ДМд - 1/8 (те же соображения)
ДМм - 1/8

Нам известно, что он сказал 'д', то есть остаются только возможности ДДд (1/4), МДд (1/8), ДМд (1/8). Из них нас интересует две последние, но сумма их вероятностей равна 1/4, а сумма всех трех - 1/2, поэтому ответ - 50%.

Что здесь происходит? Из-за того, что мы интерпретируем информацию "один из детей - девочка", не как условие, которое просто задает какую-то информацию, а как некоторое событие, высказывание, которое может случиться, а может не случиться, даже если сама информация верна, вероятности меняются. Ключевым является случай, когда у знакомого есть мальчик и девочка, а он нам говорит "один из детей - мальчик"; хотя также верно то, что один из детей - девочка, этого он не говорит, поэтому такой знакомый не учитывается в подсчете по условию B. Если мы предположим на секунду, что наш знакомый почему-то предпочитает всегда сказать, что у него есть девочка, а не мальчик (если это правда), тогда ответ опять будет 2/3, потому что в случаях МД и ДМ он всегда скажет "девочка", и их условная вероятность возрастет опять до 1/4 у каждого. Но если он выбирает в таких случаях наугад, их вероятность при условии того, что он сказал "девочка", всего 1/8 у каждого, и конечный ответ - 50%.

Можно сформулировать задачу так, чтобы вариант A. и ответ 2/3 был единственно верным. Один способ - сказать просто "известно, что один из детей - девочка", вместо истории про знакомого и его слова. Другой способ, чуть более хитрый - лишить знакомого возможности выбора пола. А именно: знакомый говорит вам, что у него двое детей. Вы его спрашиваете: верно ли, что среди них есть девочка? Он отвечает: да. Какова теперь вероятность того, что это девочка и мальчик? В такой формулировке единственно верным ответом опять-таки будет 2/3.

Ссылки:

1. Я узнал об этом новом решении из блога Paul'а Buchheit'a. Пол сформулировал свое 50%-ное решение на языке "алгоритмов отброса" неверных семей при опросе большого количества случайных семей. Мне это объяснение не очень по душе, по-моему оно больше затемняет, чем объясняет; но по сути он прав.
2. Пол узнал об этом из популярного блога Джефа Этвуда, где за последние дни накопилось уже несколько тысяч комментариев на эту тему. Некоторые из них очень внятно и подробно объясняют то решение, которое я назвал "новым" (мне оно внове по крайней мере). Тем, кто заглянет в ту дискуссию, рекомендую сделак поиск на странице никнейма VoiceOfUnreason - этот комментатор очень ясно все объясняет.
3. Несколько месяцев назад я написал о том, что узнал что-то новое для себе в не менее заезженной и известной задачке - проблеме Монти Холла. Аналогий с данным случаем - сразу несколько. И то, и другое - старые задачи, на которые большинство людей интуитивно отвечают неверно; и там, и там многим очень трудно бывает понять верный ответ (в проблеме Монти Холла, пожалуй, труднее, чем в этой). И в том случае, и в этом я был уверен, что ничего нового об этой заезженной до смерти задаче я не смогу узнать. И там, и здесь оказался неправ, и верный ответ оказался не совсем верным, в зависимости от того, как поставить вопрос. И там, и здесь другой вариант ответа зависит от неизвестной дополнительной информации (здесь это - какой пол ребенка назовет знакомый, если у него МД или ДМ). Разница, пожалуй, в том, что там дополнительные соображения менее существенны и более педантичны, чем здесь.
СсылкаОтветить

Comments:
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>
From: new_user_name
2009-01-05 09:57 pm
ну это же, по сути, задача "про три двери на викторине"?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2009-01-05 10:28 pm
Нет, совсем нет. Это тоже задача, в которой часто люди путаются, но совсем другая задача.

(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: pigmeich
2009-01-05 10:14 pm
Сейчас опять холивар начнется. Как с задачей про двери Монти Холла.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2009-01-05 10:21 pm
Не, не взлетит, думаю.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: gasterea
2009-01-05 10:14 pm

офф

Название поста - шутка? Извините за занудство, но почему-то очень испугало.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2009-01-05 10:28 pm

Re: офф

Не шутка - наверное, помутилось что-то в голове, а перечитать запись я еще к тому моменту не успел, дописывал ссылки. Спасибо, исправил.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: jerom
2009-01-05 10:17 pm
Последнее рассуждение ошибочное. ½ -- это ответ на какой-то другой вопрос. Я его сейчас сформулировать не берусь, но что-то типа: "какова вероятность того, что у него мальчик и он скажет нам, что второй ребёнок - девочка".

А нужна условная вероятность: "какова вероятность того, что у него мальчик, при условии, что он уже сказал нам, что второй ребёнок - девочка".
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2009-01-05 10:27 pm
Нет, 1/2 - именно ответ на условную вероятность (хотя ваша формулировка с "второй ребенок" может привести к путанице, "один из детей" лучше). Вся суть в том, что в данной формулировке есть разница между событиями "есть девочка" и "он сказал, что есть девочка". Это два разных условия, и мы считаем условную вероятность при условии второго, а не первого.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: 1a1
2009-01-05 10:21 pm
А вот если мы знаем, что он просто сказал что у него двое детей и "Один из моих детей - девочка" (не собираясь проверять наше владение основами теор.вероятностей), то можно уверенно сделать вывод, что второй ребенок - мальчик.
:))
Т.к. при ДД он сказал бы "[обе/две] - девочки".
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2009-01-05 10:30 pm
Да, это понятно, и даже можно твердо обосновать лингвистическими соображениями :) Но мы все же предполагаем несколько идеализированного знакомого, для которого это не так.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: plotnikovp
2009-01-05 10:31 pm
"но он мог бы также сказать и "мальчик", что означало бы, что у него ММ или ДМ или МД."

Мог бы, но не сказал! Он сказал - девочка. Зачем такой вариант (мог сказать "мальчик") вообще рассматривать?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: kdv2005
2009-01-05 10:33 pm
Анатолий, очень хороший анализ, но, извините за придирку, ответ к пункту 1 в приведенной Вами формулировке
"Один из моих детей - девочка. Какова вероятность того, что второй ребенок - мальчик?"

именно что 1/2.

Для того, чтобы ответ был 2/3 формулировку нужно изменить:
"Один из моих детей - девочка. Какова вероятность того, что другой ребенок - мальчик?"
Интересно, есть ли языки, в которых слово "второй" не может иметь значения "другой", и создает ли в них эта задача столько же путаницы.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2009-01-05 10:38 pm
Забавно. Мне кажется, что "второй" в этом контексте как минимум может означать ровно то же, что "другой", но, возможно, я неправ. В любом случае, я вообще не обратил на это внимания; спасибо, сейчас исправлю!
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: dtim
2009-01-05 10:52 pm
Предположим, что знакомый не хотел проверять знание теорвера, а просто сказал, без подвоха, что один из его детей девочка. Изменится ли ответ? Я могу представить себе даже ответ "вероятность - 1" (если бы оба ребенка были девочками, знакомый так бы и сказал, что оба, а не один, его ребенка - девочки). Какой ответ будет правильным на самом деле?

Вообще, основной проблемой этой задачи, которая и ведет к путанице, мне кажется толкование вероятности как меры неопределенности. По-моему, в этом случае о вероятности вообще говорить некорректно, поскольку речь идет о конкретном ребенке, который имеет определенный пол. Спрашивать, какова вероятность того, что это мальчик, настолько же корректно, как спрашивать, с какой вероятностью Наполеон выигрывал свои сражения. Я бы еще понял, если бы мы рассматривали сразу много семей с двумя детьми, один из которых девочка, и задавались бы вопросом, какова вероятность того, что в наугад выбранной семье второй ребенок - мальчик. Но есть ли смысл говорить о вероятности события, которое случайным не является?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: dtim
2009-01-05 11:05 pm
толкование вероятности как меры неопределенности

Прошу прощения, неправильно выразился. Имел в виду "вероятности как меры нашего незнания".
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: spamsink
2009-01-05 11:03 pm
Если мне память не изменяет, и у Гарднера эта задача приведена в варианте, где рассказчик просто видит пол одного из детей, то и у него ошибка.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: deni_ok
2009-01-05 11:06 pm
Мне что-то кажется, что предположение о том, что внутри себя, перед высказыванием сообщения, знакомый ставит случайный эксперимент "выбрав пол одного из детей наугад" негодное.

Представим, что он бросает кубик и говорит "выпало число больше 1". Тогда ответ на вопрос "Какова вероятность, что оно чётное" 3/5, не так ли? Или мы должны дополнительно порассуждать "А почему он сказал 'больше 1'? А если бы 1 выпало, он бы сказал 'не больше одного'? Или, для симметрии, он говорит 'меньше 5' в половине случаев и 'больше 1' в другой?" Подобный анализ может далеко завести, и я не вижу чем он принципиально отличается от предложенного в задаче про детей.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: muchkap
2009-01-05 11:29 pm
спасибо, очень интересно!

«есть способ понять условие, довольно логичный притом» -

вот эта тема: понимание обще- и не очень -принятых условностей в формулировках задач, – очень важна.

вспомните другую задачу:

встречаются два друга-математика, между ними происходит такой диалог: «дети есть?», «да, двое», «сколько лет детям?», «дошкольники, произведение годов равно количеству цветов на этой клумбе», «э-э...», «старший весь в меня», «а-а... тогда понятно». вопрос: сколько лет детям?

считается, что эта задача имеет однозначное решение в отличие от, казалось бы, эквивалентной:

у человека двое детей разных возрастов до 6 лет включительно. вопрос: сколько лет детям?

так и в ваших примерах, если строго подходить, должно быть (?) :

А. у человека один из двух детей – девочка. вопрос: какова вероятность, что второй ребенок – мальчик?

В. человек сказал: «один из моих двух детей – девочка». вопрос: какова вероятность, что второй ребенок – мальчик?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: meshko
2009-01-06 03:44 am
у человека двое детей разных возрастов до 6 лет включительно. вопрос: сколько лет детям?

Должно быть так:

у человека двое детей разных возрастов до 6 лет включительно. произведение из возрастов -- простое или имеет ровно два простых множителя. вопрос: сколько лет детям?
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: karakal
2009-01-05 11:52 pm
МД и ДМ - разные вещи?

Так вот почему статистика часто ошибается!
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: liveuser
2009-01-06 12:05 am
> Некоторые из них очень внятно и подробно объясняют то решение, которое я назвал "новым" (мне оно внове по крайней мере).

Лет так 15 назад я встречал эту задачу в не помню какой занимательно-математической книге на русском языке. С двумя ответами - 1/2 и 1/3 - (точнее, там сказали, что задача в такой формулировке не имеет решения, поскольку имеет два ответа) и такими же объяснениями.
(Ответить) (Thread)
From: schwetz
2009-01-06 12:14 am

оффтопик про Израиль

Вот здесь интернет-голосовалка за/против Израиля.
http://www.israel-vs-palestine.com/gz/?stats
Наиболее произраильски настроены постсоветские страны - Россия, Украина, Прибалтика, Грузия. Меньше поддерживают Израиль американцы.
Европа,Канада а также страны ислама (включая "союзника" Турцию) - ненавидят Израиль
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2009-01-06 01:06 am

Re: оффтопик про Израиль

Кто-то хорошо зарабатывает на рекламе на этом сайте. В остальном - совершенно бессмысленная затея.

(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: myjj
2009-01-06 01:28 am
"можно представить себе общество, в котором за счет абортов или искусственного оплодотворения поддерживается очень неравное соотношение мальчиков и девочек, или отношение равное, но в каждой семье пол детей чередуют от ребенка к ребенку".

А чего долго представлять... В Индии в некоторых провинциях дефицит девочек составляет до 20% - у них, видите ли, первенец-девочка - плохая примета. Поэтому законом запрещено определять пол ребенка до рождения.

В Китае такой приметы нет, но, поскольку положено иметь одного ребенка, большинство родителей хотят, чтобы этот один был мальчиком. Так что да

Помимо культурных традиций есть и чисто биологческий фактор - мальчиков рождается на 5-6% больше, соотношение выравнивается (за счет детской смертности) лишь к моменту половой зрелости. Так что для более точного ответа хорошо бы учитывать еще и возраст детей :)

"отношение равное, но в каждой семье пол детей чередуют от ребенка к ребенку".

Невозможно. Если бы те же индусы заботились о поле всех последующих детей, сознательно чередуя его, то для сохранения равного отношения нужно, чтобы все успевали нарожать четное кол-во детей, что утопично.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: pilpilon
2009-01-06 07:32 am
У нас есть разумные предположения о вероятности пола ребенка ( мы наблюдали много детей, и знаем, что примерно в половине случаев рождаются мальчика).
Никаких разумных предположений о том, как именно этот знакомый выбирает, что сказать, у нас нет накаких.
Второй вариант ровно тот, что утверждает, что вероятность выпадения решки 1/3, так как монета может упасть орлом, решкой и на ребро.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: old_radist
2009-01-06 07:42 am
Интересная задача.

Мне бы хотелось поставить вопрос другим ребром.

В какой последовательности следует начинать рассуждения?
Что является "более", а что "менее" базовым знанием?
Я сразу - первым делом - сказал себе, что рождения разных детей независимы друг от друга.

Поэтому то, что один из детей девочка, по определению не может содержать никакой информации о поле какого бы то ни было другого ребенка. Следовательно, мне даже не пришло в голову начинать рассуждать в терминах ММ, ДМ и т.п., поскольку задача свелась для меня к следующей:

Вы встречаете на улице знакомого, которого не видели много лет. Он рассказывает вам, что у него один ребенок, и решает проверить ваше знание теории вероятностей: "Какова вероятность того, что ребенок - мальчик?"


(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: kuzia_aka_zmey
2009-01-06 09:23 am

Что в моих рассуждениях не так ?

Потому что к данной задаче пришли 2 варианта решения и оба дали ответ 1/2
1. Речь идет об условной вероятности а именно имеем ситуацию (модель) названный ребенок(один из моих детей) и неназванный ребенок (другой) соотвественно из множества пар(названный, неназванный) -- (ММ,МД,ДМ,ДД), соотвественно отбрасывается 2 состояния в котором назавнный ребенок мальчик и имеем для задачи равновероятностный выбор из (ДМ, ДД).
2. Это собственно вариант старого радиста (old_radist) имеем процесс рождения детей, каждое состояние которого никак не зависит от предыдущего или последующего.
и соотвественно есть 2 варианта
1. старший ребенок девочка -- пол младшего ребенка не зависит от пола старшего (в условиях задачи это не сказанено) соотвественно рождение младшего мальчика 1/2
2. младший ребенок девочка -- пол младшего ребенка не зависит от пола старшего -- соотвественно ответ тоже 1/2.
p.s. Кстати в варианте с 3мя буквами
множество всего (ММм, ДМм, ДМд,МДм,МДд,ДДд) так что 3/6 это тоже 1/2
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: captain_tylor
2009-01-06 10:30 am
Эта задача не эквивалент Монти-Холла. В Монти-Холле предполагается случайность выбора первой двери. А с детьми неизвестно, как выбирается ребенок, пол которого указывается.

Допустим, в первой задаче знакомый указывал пол именно старшего ребенка (не предупреждая об этом)? Т.е. если бы старший был мальчик, то он сказал бы "Один из моих детей - мальчик."
Тогда вероятность того, что второй - тоже мальчик, была бы, действительно, 1/2.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: cousin_it
2009-01-06 10:58 am
frequentist vs bayesianist. было давным-давно на OB: http://www.overcomingbias.com/2008/10/my-bayesian-enl.html
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2009-01-06 11:54 am
Я это тогда пропустил, но вчера перечитал, т.к. эта ссылка всплыла. Никакого отношения к freq. vs bayes, Элиэзер просто заблуждается. И тот, и другой вариант можно сформулировать в обеих системах.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: prkrust
2009-01-06 02:14 pm
Тут ошибка. В приведенной вами формулировке:
("... Он рассказывает вам, что у него двое детей... один из детей - девочка. Какова вероятность того, что другой ребенок - мальчик?") вероятность именно 1/2.
А что бы вероятность действительно была 2 к 3, задачу необходимо переформулировать так, чтобы было неизвестно точно, сколько детей - может 2, а может и больше (напр.: "мы поняли со слов знакомого, что у него есть дети (сколько не уточняли), также в разговоре стало ясно, что один ребенок - девочка. Затем речь зашла о другом ребенке и т.д.").
Только в этом случае имеет смысл отделять ДМ от МД и учитывать МД как дополнительный, 4й ряд возможностей.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: bukky_boogwin
2009-01-06 03:19 pm
Но ведь реальной-то ситуации (пусть даже с "идеальным знакомым") соответствуют вполне опреденные, могущие подтвердиться статистически вероятности, не так ли? Значит, одна из интерпретаций с подвохом. Какая? Попробуем подход, аналогичный так хорошо проявляющему себя в решении проблемы Монти Холла: пусть детей не двое, а больше.
Для случая трех детей: знакомый говорит нам, что у него две девочки, а о третьем ребенке молчит (закономерности, выявленные при такой экстраполяции, будут, очевидно, действовать и для случая двух детей, хотя экстраполироватьм можно и иначе). Первый подход: нас интересуют комбинации ДДД, МДД, ДМД и ДДМ, из них три соответствуют мальчику, одна девочке, то есть вероятность, что третий ребенок - мальчик, - 3/4. Второй подход: ДДДдд, МДДдд, ДМДдд, ДДМдд. Вероятность первой - 1/8, а с остальными сложнее: вероятности, что при комбинации МДД знакомый скажет "дд" и "мд", явно неодинаковы. Вычислим вероятность "мд" (для МДД): 1/3+((1-1/3)*1/2)=2/3; на "дд" же приходится 1/3. Вот так, в соотношении 1:2, и следует распределить соответствующую МДД 1/8 между "мд" и интересующей нас "дд". Итого вероятность МДДдд - 1/24, как и ДМДдд и ДДМдд. Cумма - 1/8+3/24=1/4, а вероятность, что оставшийся ребенок - мальчик, - 1-(1/8)/(1/4)=1/2. - то же самое, что и раньше.
Экстраполируем дальше... в итоге приходим к следующим результатам. Если число детей - n, то при первом подходе вероятность, что неупомянутый ребенок - мальчик, равна n/(n+1). При втором же... Тут все сложнее, поэтому лучше расписать подробно. Обозначим вероятность одной реальной комбинации (типа, скажем, МДД) как k (вообще-то она равна 1/2 в степени n, но, как мы увидим дальше, это не важно). Итак:
- вероятность, что не упомянутый ребенок - мальчик, составляет: 1-{вероятность, что это девочка}
- вероятность, что это девочка, составляет: {вероятность, что все дети - девочки (она равна k)}/{вероятность, что n-1 детей - девочки}
- вероятность, что n-1 детей - девочки, составляет: {вероятность того, что все дети - девочки (k)}+n{вероятность того, что n-ный ребенок - мальчик (а остальные девочки), но знакомый о нем не упомянул}
- вероятность того, что n-ный ребенок - мальчик (а остальные девочки), но знакомый о нем не упомянул, составляет: {вероятность того, что n-ный ребенок - мальчик(k)}-{вероятность того, что n-ный ребенок мальчик (а остальные девочки), и знакомый о нем упомянул}=k(1-{вероятность упомянуть мальчика, называя пол (n-1) случайно выбранных детей}
- вероятность упомянуть мальчика, называя пол (n-1) случайно выбранных детей, составляет сумму всех членов последовательности, каждый из которых имеет вид : (1-{сумма предыдущих членов последовательности})(1/(n-{число предыдущих членов последовательности})) . В последовательности - (n-1) членов (потому что таково число "попыток упомянуть мальчика", то есть число случайно выбранных детей, пол которых назван), и, как легко видеть (расписывать не буду, убедитесь сами), их сумма всегда составляет (n-1)/n.
"Собираем" наше выражение в обратном порядке:
k(1-(n-1)/n)=k/n
k+n*k/n=2k
k/2k=1/2
1-1/2=1/2
Итак: в соответствии с первым подходом при увеличении числа детей вероятность того, что единственный неупомянутый - мальчик (притом, что известно: остальные - девочки), стремится к 1. В соответствии со вторым же вне зависимости от общего числа детей, все, кроме одного, из которых - точно девочки, эта вероятность равна 1/2. Думаю, тут что-то не так :)

Предлагаю модель, которая покажет это нагляднее. Монету (идеальную, с вероятностью выпадения орла или решки 1/2) бросили, допустим, тысячу раз. 999 случайно выбранных результатов - решки. Вы готовы утверждать, что вероятность выпадения орла в оставшемся случае - 1/2? По-моему, гораздо больше...
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: ivanvr
2009-01-06 06:31 pm
>Разница между задачами, которые я обозначил 1. и 2. довольно тонка, но тем не менее важна и полностью меняет ответ.

На этом ньюансе в споре с друзьями в начале декабря я заработал $100 :-)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: newkirill
2009-01-06 10:37 pm
В проблеме Монти Холла очень хорошей помощью к пониманию является увеличение дверей от 3 до миллиона. Тогда человек быстро понимает, что вероятности распределяются как 1 к миллиону, и 1 к 999999 и признает правильность решения.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: biglebowsky
2009-01-07 04:58 am
Re: Вариант 1

Личное мнение.


Вероятность чуть-чуть менее 100%.

Отклонение от 100% возникнет из-за 1) тех людей, которые врут, и 2) тех, кто нарушая языковые нормы, способен охарактеризовать пару собственных детей "ДД" как "один из моих детей - девочка".
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2009-01-07 02:15 pm

lost in translation

"К немалому удивлению, я узнал, что есть способ понять условие, довольно логичный притом, который ведет опять-таки к ответу в 50%"

а чему здесь удивляться? вы переводите условие задачи с "человеческого" языка на математический, это почти всегда неоднозначный процесс: в обычном (не софтверном) инжиниринге, это называется моделированием. И такая уж большая разница между 1/2 и 2/3? ;) Например, если обтекание цилиндра решать с Эйлеровыми уравнениями- будет аналитический ответ, а если с уравнениями Стокса, то вообще решения нет :)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: crazy_flyer
2009-01-11 11:29 pm
Самое смешное в этой задаче , что правильный ответ ( 0,5 ) обычно возникает сразу же , причём находится он из общих соображений ( симметрия и отсутствие априорной информации ) , так что требуется большое количество ментальных усилий , чтобы убедить человека в обратном ( если это вообще удаётся ) :-)))) А потом - требуется , как Вы можете заметить , не меньшее количество усилий , чтобы наконец вернуться к истине , ха-ха ...... в данном случае , например , понадобилась куча комментов в блоге Джефа Этвуда ;-)


(Ответить) (Thread)
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>