?

Log in

о теореме 4n+1: попытка элементарного доказательства - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

о теореме 4n+1: попытка элементарного доказательства [мар. 18, 2009|12:15 pm]
Anatoly Vorobey
Если p - нечетное простое число (а все простые числа нечетные, кроме 2), то при делении на 4 оно может дать остаток либо 1, либо 3. Важная и красивая теорема в теории чисел, которую впервые сформулировал Ферма (но не следует путать ее с знаменитой последней теоремой Ферма), гласит, что если остаток равен 1, то такое простое число p можно представить в виде суммы квадратов. Например, 17 - простое число с остатком 1 при делении на 4, и действительно можно записать 17 = 12 + 42. Например, 41 - такое число, и можно записать 41 = 25+16 = 52 + 42.

У этой теоремы есть много доказательств, но все они не элементарны в том смысле, что их нельзя в одну минуту "на пальцах" объяснить нематематику. Одно из них, однако, выглядит особенно простым и красивым, почти "магическим", потому что его можно практически записать "в одну строку". Его можно прочитать в Википедии, например. В том виде, в каком оно представлено, нематематикам, во-первых, нелегко его понять, а во-вторых, совершенно неясно, как к такому можно придти, т.е. оно как бы висит в воздухе, взявшись "ниоткуда" (и в этом, возможно, состоит немалая часть его красоты).

Эта запись - попытка длинного и подробного "разоблачения" этого доказательства, в том смысле, что я постараюсь с помощью как можно более элементарных рассуждений - вовсе необязательно тех, которыми руководствовался придумавший это доказательство первоначально математик - придти к нему. Одна из тем, которые меня занимают - это вопрос о пользе - или, наоборот, о бесполезности - такого рода "разоблачительных" рассуждений в преподавании математики. Очень часто в математике доказательство той или иной теоремы пишется так, что "заметаются следы", т.е. все в доказательстве понятно, кроме того, как до этого дойти: почему выбрать именно такое построение, а не другое, почему подставить именно такую формулу, а не другую, итд. Мне всегда кажутся интересными попытки сделать по-другому, попытки подсказать читателю, откуда взялся тот или иной ход во время доказательства, хотя бы краткой подсказкой, а можно - как в этой записи - подробным рассмотром всего процесса. Конечно, у такого метода объяснений есть и свои недостатки - например, он очень длинен. Вместо доказательства "в одну строку" я накатал тут гигантскую запись, которая вовсе необязательно кому-то вообще будет интересна: математикам в ней все тривиально, а другим, возможно, слишком долго, занудно, и в итоге все равно малопонятно. Но я решил попробовать, в том числе и для себя, любопытства ради.

Итак, пусть p = 1+4k. Мы хотим найти такие x,y, что x2+y2 = p. Знаем ли мы что-либо о таких возможных x,y? Поскольку p - нечетное число, то один из квадратов должен быть четным, другой - нечетным. Скажем (без ограничения общности), что x2 нечетное число, y2 четное. Тогда x нечетное число, y четное, т.е. y = 2y',
и p = x2 + (2y')2 = x2 + 4y'2.

Это выражение немного похоже на 1+4k - случайно ли это? Неслучайно: если k само является квадратом, то мы можем получить значения x, y' прямо из формулы p = 1+4k: x=1, y=квадратный корень из k. Но если k не является квадратом, то 1+4k все равно можно представить в виде x2+4y'2, просто x не будет равно 1. Например, если k=10, то p = 1+4k = 41 простое число, и p = 52 + 4*22: x=5, y'=2. Нам предстоит доказать, что это всегда можно сделать, всегда найдутся такие x,y'.

Предположим, мы будем перебирать одно за другим возможные значения x (нечетного числа, как мы условились): x=1, 3, 5... Всякий раз мы можем вычислить (p-x2)/4, и если мы взяли правильное x, то это число будет равно y'2, т.е. будет квадратом, и мы сможем, взяв из него квадратный корень, найти y'. Но как доказать, что для какого-то x число (p-x2)/4 будет полным квадратом?

Что такое полный квадрат? Как, например, отличить число 16 (полный квадрат, 42), от числа 18, кроме собственного самого определения? Как их можно по-разному охарактеризовать? Есть один удобный трюк, с которым сталкивался всякий, кто просто так или от скуки умножал числа. Если мы начнем перебирать все пары множителей числа 16: 16 = 1*16, 2*8, 4*4, 8*2, 16*1 - то их будет нечетное число: их все можно объединить в симметричные пары (1*16 и 16*1, 2*8 и 8*2), кроме 4*4, которая симметрична самой себе. Если же то же самое проделать для числа 18: 18 = 1*18, 2*9, 9*2, 18*1 - то число пар будет четным, именно потому, что нет симметричной пары x*x = 18: именно потому, что 18 не является полным квадратом. То есть "полный квадрат" это то же самое, что "есть нечетное число разбивок на два множителя".

Если мы хотим в итоге доказать, что число (p-x2)/4 является полным квадратом, попробуем посмотреть на все возможные разбивки его на множители y*z, и докажем - пока непонятно, как - что таких способов есть нечетное число. Что это значит, что мы заменяем y'2 на какое-то произведение y*z? Это значит, что мы хотим рассмотреть множество всех троек ненулевых чисел (x,y,z), так, что x2+4yz = p. Если для какого-то конкретного x количество возможных троек (количество возможных пар y,z) нечетно, из вышеописанного сразу следует, что мы доказали, что хотели, потому что это только может случиться, если в одной из таких пар y=z, и y*z - полный квадрат.

Правда, мы не имеем ни малейшего понятия, как найти такой x, чтобы именно для него количество возможных пар (y,z) было нечетным. Но ведь нам достаточно всего лишь доказать, что такой x есть. Если бы его не было, тогда общее количество возможных троек (x,y,z) было бы четным - ведь это сумма числа возможных двоек (y,z) для каждого отдельного x. Поэтому если мы докажем, что общее число возможных троек (x,y,z) нечетно - это даст нам искомый результат.

Вот конкретный пример, чтобы прояснить это. Возьмем k = 10, и p = 1+4k = 41, простое число. Переберем вручную все тройки чисел x,y,z так что x2+4yz = p (и x - нечетное число):

x=1 y=1 z=10
x=1 y=2 z=5
x=1 y=5 z=2
x=1 y=10 z=1

x=3 y=1 z=8
x=3 y=2 z=4
x=3 y=4 z=2
x=3 y=8 z=1

x=5 y=1 z=4
x=5 y=2 z=2
x=5 y=4 z=1

Мы видим, что есть три блока решений, соответствующих x=1, x=3, x=5, и только в одном из них количество возможных двоек (y,z) нечетно - в последнем. Именно там мы находим решение всей задачи, потому что оно нечетно там из-за того, что у решения x=5, y=2, z=2 нет симметричной пары - оттого, что y=z, и поэтому мы можем написать x2 + 4yz = x2 + (2y)2 = 52 + 42. Общее количество всех возможных троек (x,y,z) равно 11 - нечетное число, и поэтому мы хотя бы один из блоков обязан быть нечетным и дать нам представление p в виде суммы квадратов. Если же, например, взять k = 8, p = 1+4k = 33, то число возможных троек будет четным, и будет состоять из трех четных блоков:

блок x=1: (1,1,8), (1,2,4), (1,4,2), (1,8,1)
блок x=3: (3,1,6), (3,2,3), (3,3,2), (3,6,1)
блок x=5: (5,1,2), (5,2,1)

Общее число возможных троек равно 10, так что мы не можем заключить, что есть решение - и его действительно нет - это нормально, потому что p=33 не простое число, так что теореме не противоречит.

Итак, мы свели исходную задачу к новой. Чтобы доказать, что простое число p=1+4k можно представить в виде суммы квадратов, нам достаточно показать, что число троек ненулевых чисел (x,y,z) таких, что x2 + 4yz = p - нечетно. Проще ли эта задача нашей исходной, и как подойти к ее решению?

Простой способ показать, что какое-то множество нечетного размера - найти способ разбить его на пары, и показать, что у одного члена не осталось пары. Собственно, в обратную сторону это тоже работает: если есть разбивка на пары, и только у одного нет пары - значит, всех вместе нечетное число. Мы воспользовались этим только что, по сути дела: для какого-то конкретного x мы разбили все возможные (x,y,z) на пары - например, (5,1,4) в паре с (5,4,1) - и увидели, что у кого-то нет пары только тогда, когда y=z - в нашем примере у решения (5,2,2) - и тогда все количество решений нечетное. Тот же самый подход можно попробовать применить, если мы хотим доказать, что все возможное количество троек (x,y,z) нечетно. Попробуем разбить их всех на пары, так, что только одна тройка останется без пары. Но как это сделать? Каждому (x,y,z) мы хотим поставить в соответствие какую-то другую тройку (a,b,c), причем все еще должно выполняться a2+4bc=p, т.е. это тоже должно быть законным решением. Ясно, что бесперспективно пробовать вариант x=a, т.е. варьировать только второе и третье число в тройке - потому что *такую* разбивку "по блокам" мы уже исследовали выше, она всего лишь приведет нас обратно к тому, из чего мы вышли. Поэтому можно попробовать как-то изменить x, и посмотреть, что должно случиться с y и z, чтобы тройка осталась "законной", т.е. решением уравнения x2+4yz = p.

Например, если мы напишем a = x+z, то в a2 появятся новые члены 2xz + z2, которые надо как-то "нейтрализовать" за счет изменений в втором и третьем членах тройки; но не очень понятно, как это удобно сделать, ведь второй и третий члены заранее умножаются на 4 (4yz). Ага, а что если позаботиться о том, чтобы новые члены тоже делились на 4? Например, напишем a = x+2z; тогда в a2 появятся новые члены 4z2+4xz, и чтобы их "отменить", добившись той же общей суммы p, во втором слагаемом вместо 4yz должно быть теперь 4yz - 4z2 - 4xz = 4*z*(y-z-x). Мы видим, что это легко сделать, взяв например b = z, c = y-z-x, и тогда 4bc равно именно тому, что надо; в итоге получается, что тройка (x,y,z) переходит в тройку (x+z, z, y-z-x), и все сохраняется. Правда, не всегда можно такой переход осуществить, ведь нам необходимо соблюдать условие, что все три числа положительные, Если x,y,z > 0, то x+z > 0 очевидно, но y-z-x > 0 или, что то же самое, x < y-z, неочевидно и не для всех возможных троек верно. Так что мы видим, что предлагаемая трансформация, к которой мы пришли, начиная с x -> x+2z, не всегда возможна, и требует в виде условия x < y - z. Может, когда это условие не выполняется, можно попробовать какую-то другую простую трансформацию, например, x -> x-2z или x -> -x+2y итд. - из соображений симметрии ясно, что для них всех можно будет подобрать "правильные" второй и третий члены новой тройки, но неясно, что все это даст.

Попробуем подойти к вопросу с другого конца. Мы хотим в итоге получить разбивку всех троек (x,y,z) на пары, так, что только у одной тройки нет пары - есть ли у нас на примете кандидат для такой исключительной тройки? Когда мы разбивали на пары другим способом выше (по блокам для каждого отдельного x), то "исключительной" была тройка x,y,z так что y=z; она же и давала нам искомое решение задачи. Предположим, что для будущей иной разбивки всех троек на пары, которую мы еще не определили, а только попробовали разные варианты типа x -> x+2z итд., беспарной окажется тоже очень простая тройка: только не y=z, к этому мы вряд ли можем надеяться придти таким способом (ведь это уже как бы решение задачи, а мы пытаемся решить ее обходным путем, доказав нечетность числа троек), а например x=y. Какие могут быть тройки, в которых x=y? В таком случае x2+4yz превращается в x2+4xz = x(x+4z) = p. Ага! Так как p простое число (! - принципиально важное использование этого условия!), из этого сразу следует x = 1. Поэтому такая тройка есть только одна, а именно (1,1,k), так что x2+4yz = 1+4*1*k = p.

Это вселяет надежду: если есть только одна тройка вида x=y, может быть, действительно удастся придумать такую разбивку на пары, что только она одна останется в паре сама с собой, т.е. без пары. Выше мы видели, что простые трансформации типа x -> x + 2z, где вместо 2z можно также взять 2y, а кроме того любое из двух слагаемых взять со знаком минус, приводят (после подправки второго/третьего членов) к законным тройкам. Есть ли такая трансформация, которая оставляет тройку (1,1,k) неизменной, т.е. оставляет ее без пары, а всем остальным дает в соответствие другую тройку, т.е. ставит их в пару? Мы видим, что x=y=1, и из всех манипуляций вида x+2y, x-2z, -x+2z итд. только одна дает 1: -x+2y. Попробуем так и сделать: напишем a = -x+2y, тогда a2 получает новые члены 4y2-4xy, и вместо 4yz теперь надо поставить 4y(y+z-x), чтобы их отменить. Поскольку мы хотим оставить тройку неизменной, второй член оставим как есть, b=y, а третий тогда будет c = x+z-y, и действительно он тоже для данной тройки (1,1,k) останется неизменным, потому что y=x, так что x+z-y = z.

Что мы видим? Что трансформация (x,y,z) -> (2y-x, y, x+z-y) оставляет тройку (1,1,k) неизменной, а всем остальным тройкам ставит в соответствие что-то другое, не их самих. Почему? Потому что если какую-то тройку (x,y,z) она переводит в то же самое, то 2y - x = x, т.е. x=y,
а мы уже доказали раньше, что единственная возможная тройка с x=y это и есть (1,1,k).

К сожалению, это еще не все, ведь далеко не каждую тройку можно подвергнуть этой трансформации, так что полной разбивки на пары у нас не получается. Например, 2y-x должно быть > 0, поэтому x < 2y. Также x+z-y > 0, поэтому x > y-z. Так что у нас есть два ограничения на x, чтобы эта трансформация была законной: x должен находиться в рамках между y-z и 2y. Что делать, если x меньше y-z, или больше 2y, мы пока не знаем.

С другой стороны, если x действительно находится между y-z и 2y, что мы можем сказать о тройке (a,b,c) = (2y-x, y, x+z-y)? Верно ли, что *в ней* выполняется то же условие, т.е. a находится между b-c и 2b? b-c = 2y-x-z, 2b = 2y: действительно верно, что a=2y-x находится между этими двумя границами! Раз это условие выполняется, то тройку (a,b,c) можно еще раз подвергнуть той же трансформации, т.е. составить новую законную тройку (2b-a, b, a+c-b) - что это будет за тройка? Подставив значения a=2y-x,b=y,c=x+z-y, сразу видим, что это будет опять тройка (x,y,z), с которой мы начали.

Что это все значит? Что если мы на секунду сосредоточимся только на тех тройках (x,y,z), для которых x находится между y-z и 2y, то для них мы сделали то, что хотели: мы нашли способ разбить их на пары так, что остается лишь одна беспарная тройка, и поэтому общее их число нечетно. Как мы разбили их на пары? Поставив каждой тройке (x,y,z) в соответствие тройку (2y-x, y, x+z-y), мы доказали, что "в обратную сторону" получится то же самое, и что лишь одна тройка (1,1,k) не имеет такой пары, потому что переходит сама в себя.

Для наглядности посмотрим, как это выглядит на нашем примере k=10, p = 1+4*10 = 41. У нас есть 11 возможных троек (x,y,z) перечисленных выше, но далеко не во всех из них x находится между y-z и 2y. Вот те тройки, для которых это верно: (1,1,10), (1,2,5), (3,2,4), (3,4,2), (5,4,1).
Наша трансформация (x,y,z) -> (2y-x, y, x+z-y) устанавливает между ними соответствия:

(1,1,10) -> (1,1,10)
(1,2,5) -> (3,2,4)
(3,2,4) -> (1,2,5)
(3,4,2) -> (5,4,1)
(5,4,1) -> (3,4,2)

Мы видим, что в точном соответствии с нашими выкладками, все тройки разбиваются на пары, кроме одной беспарной тройки (1,1,10), которая как раз соответствует (1,1,k). Всего выходит нечетное число троек. Если бы еще могли как-то доказать легко, что всех *оставшихся* троек - тех, для которых условие, что x лежит между y-z и 2y, не выполняется - четное число, это бы завершило всю работу, потому что мы же стремимся в конечном итоге доказать, что всех возможных троек нечетное число.

В нашем примере осталось шесть троек, для которых условие на x не выполняется:

(1,5,2)
(1,10,1)
(3,1,8)
(3,8,1)
(5,1,4)
(5,2,2)

Мы видим, что в трех из них не выполняется условие x > y-z: это тройки (1,5,2), (1,10,1), (3,8,1); еще в трех не выполняется условие x < 2y: (3,1,8), (5,1,4), (5,2,2). Эта симметрия порождает идею: что если мы можем доказать, что всего их четное число, разбив их на пары между этими двумя видами? То есть, может ли быть, что какая-то возможная трансформация троек переводит любую тройку из категории x > 2y в категорию x < y-z, и наоборот, и дает таким образом полную разбивку на пары всех оставшихся троек? Тогда их будет четное число - ведь мы разбили их на пары, без исключений. На самом деле это не совсем точно: ведь кроме возможностей x > 2y, x < y-z, есть еще "пограничные" возможности x = 2y, x = y-z. Но их мы легко можем отмести, потому что они не дают никогда законных троек (как это видно в нашем примере, скажем). Почему? Потому что если x=2y, то p = x2+4yz = 4y2 + 4yz делится на 4, а если x = y-z, то p = x2 + 4yz = (y-z)2 + 4yz = (y+z)2 квадрат числа y+z. Но p простое число (! опять используем это условие), и потому не делится на 4 и не является квадратом. Так что пограничные случаи невозможны: x либо находится в точности между y-z и 2y, либо в точности за этими пределами.

Итак, попробуем придумать такую трансформацию троек, которая переводит случай x > 2y в случай x < y-z и наоборот. Пусть x > 2y, что нам это подсказывает? Из всех возможных трансформаций вида x -> x-2y, x-2z, -x+2y итд. логично выбрать a = x-2y, потому что мы уже знаем, что это больше нуля, так что не накладывает никакого дополнительного условия. Тогда новые слагаемые в a2 выходят 4y2-4xy, и чтобы их нейтрализовать надо заменить 4yz на 4y(x+z-y). Логично, что b,c будут тогда y и x+z-y; поскольку мы знаем, что x > 2y, ясно, что x+z-y > y+z > 0, так что это законная тройка; но мы еще не решили, кто из них будет кто: мы можем решить, что b=y, c=x+z-y, а можем наоборот. Мы хотим из категории x > 2y придти в категорию x < y-z, т.е. в нашей новой тройке должно соблюдаться a < b-c, где a = x-2y, а b-c равно соответственно либо 2y-x-z, либо x+z-2y. Мы видим, что условие a < b-c точно соблюдается, когда b-c = x+z-2y, т.е. при выборе b = x+z-y, c = y.

Подытожим: мы показали, что трансформация (x,y,z) -> (x-2y, x+z-y, y) переводит каждую тройку из категории x > 2y в тройку из категории x < y-z.

А в обратную сторону? Что нужно сделать с полученной нами тройкой (a,b,c) = (x-2y, x+z-y, y), выполняющей условие a < b-c, чтобы прийти к тройке (X, Y, Z) выполняющей условие X > 2Y, да еще так удачно, чтобы "попасть" обратно в исходную тройку (x,y,z)? Если это вообще возможно, то должно быть легко подобрать. Какие из возможностей a+2c, -a+2b, -a-2c итд., примененные к a=x-2y, b=x+z-y, c=y дадут нам обратно x? Ясно, что b лучше не трогать, в нем прячется ненужный нам z, а вот a+2c как раз дает нам возможность удалить из x-2y лишние 2y и оставить x. Так что мы хотим менять (a,b,c) -> (a+2c, ..., ...); лишние слагаемые в первом квадрате выходят 4c2+4ac, и чтобы их отменить, вместо 4bc дальше должно быть 4c(b-c-a). Мы знаем, что c = y, а b-c-a = (x+z+y) - y - (x-2y) = z, так что трасформация (a,b,c) -> (a+2c, c, b-c-a) как раз даст нам, будучи примененной к (a,b,c), исходные (x,y,z). Кроме того, можно проверить, что для любой тройки (a,b,c), выполняющей условие a < b-c, тройка (a+2c, c, b-c-a) законна - потому что b-c-a > 0 - и если эту тройку обозначить (X,Y,Z), то выполняется "обратное" условие X > 2Y, потому что это всего лишь выходит a+2c > 2c.

Попробуем подытожить все доказательство. Для данного простого числа p = 4k+1 мы рассмотрели множество всех возможных троек ненулевых чисел (x,y,z), так что x2+4yz = p. Между этими тройками мы определили хитрую трансформацию, которая в общем случае выглядит так:

1) если x < y-z, то (x,y,z) -> (x+2z, z, y-z-x)
2) если x > 2y, то (x,y,z) -> (x-2y, x+z-y, y)
3) если x находится между y-z и 2y, то (x,y,z) -> (2y-x, y, x+z-y)

Мы доказали, что эти три случая исчерпывают все возможные, потому что x=2y или x=y-z невозможны; и что в каждом из этих случаев "законная" тройка переходит в другую "законную" тройку, т.е. продолжает соблюдаться x2+4yz = p, и все три числа больше нуля. Мы также доказали, что эта трансформация переводит числа из случая 1) в числа из случая 2) и наоборот, причем если выполнить ее на тройке из случая 1) или 2) два раза, то придешь туда, откуда начинал. Это значит, что она разбивает все тройки из 1) и 2) на пары троек, так что в каждой паре одна тройка из 1) а другая из 2), и следовательно, общее число троек из 1) и 2) четно.
Мы также доказали, что наша трансформация переводит тройки из случая 3) опять в случай 3), и тоже так, что если выполнить два раза, то вернешься к той тройке, с которой начал. Это значит, что все тройки из случае 3) разбиваются на пары, кроме тех, которые переводятся сами в себя. Мы доказали, что таких есть только одна - а именно тройка (1,1,k). Следовательно, в 3) есть только одна беспарная тройка, значит, всего в 3) нечетное число троек, и вместе с четным числом в 1)-2) выходит общее число всех возможных троек нечетным.

Мы видели, что если разбить все возможные тройки на блоки согласно каждому отдельному значению x, то, раз общее число всех возможных троек нечетно, то в каком-то из блоков должно быть нечетное число троек - то есть, нечетное число возможных y,z, соответствующих данному x. Поскольку каждому возможному y,z соответствует также возможное z,y, мы показали, что нечетным число возможных y,z может быть только когда эта разбивка на пары дает беспарный элемент, т.е. такая двойка y,z, для которой y=z, поэтому она в паре сама с собой. Мы видели, что в этом случае можно представить p как сумму квадратов: p = x2 + 4yz = x2 + 4y2 = x2 + (2y)2.

Что и требовалось доказать.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: potan
2009-03-18 11:21 am
Интересное доказательство существования, ни чего не говорящее о том, как искать этот объект.
Где-то здесь должна быть аксиома выбора :-).
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2009-03-18 11:41 am
Меня всегда пугали длинные доказательства, не разбитые на леммы.:)

Нормальное доказательство (т.е. то, которое мне пришло в голову:)) использует однозначность разложения в Гауссовых числах. Его можно, конечно, записать и без Гауссовых чисел; думаю, будет не очень длинно.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2009-03-18 12:16 pm
Тут цель была другая: имея перед глазами готовое доказательство (скажем, в книге "Доказательства из Книги"), понять, как его можно было придумать.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2009-03-18 12:52 pm
Мне кажется, что каждый придумывает доказательства по-своему, и передать этот опыт один-к-одному другому человеку проблематично. Кстати, в Википедии было написано, что это доказательство было придумано с помощью размышлений об эйлеровой характеристике.:)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2009-03-18 01:34 pm
Забавно про Эйлерову характеристику. Но вряд ли есть более прямая связь, чем что и там, и там речь о четности числа неподвижных точек у инволюции.

Офф: пойти, что ли, посмотреть на квадратичный закон взаимности... Вдруг и он очевиден?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2009-03-18 01:38 pm
Ну, как раз Загир - один из тех, кто пытается выявить связь между топологией и теорией чисел.:)

А закон взаимности - дело хорошее, но непростое.:)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2009-03-18 01:41 pm
Вот все говорят, что непростое. А вдруг таки врут? :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2009-03-18 02:32 pm
Вот, уже нашел забавный текст:
http://arxiv.org/abs/math.NT/0311453
Вроде, очень просто.

(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2009-03-18 03:16 pm
Я бы не сказал, что это очень простое доказательство.:)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2009-03-18 04:27 pm
Да, пожалуй. В Википедии вторым записано аналогичное:
http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_quadratic_reciprocity
Зато первым - действительно простое.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2009-03-18 04:47 pm
Собственно, именно такому меня учили и на кружке, и в университете.:) Но запомнить его сложно.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: sowa
2009-03-19 02:48 am
А вот я могу запомнить только доказательства типа последнего по ссылке - с идеалами и теорией Галуа.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2009-03-19 08:59 am
Тогда уж проще из закона взаимности Артина вывести.:)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: sowa
2009-03-19 09:25 am
Разумеется, проще сослаться на мощную теорему. Но, мне кажется, лучше привести доказательство, которое эту теорему в какой-то мере мотивирует и объясняет суть дела.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2009-03-19 09:49 am
Ну да. Просто данное доказательство я устал читать.:)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: michk
2009-03-18 12:10 pm
Мне кажется, что польза таких разоблачений огромна. Я, по крайней мере, очень плохо воспринимаю неизвесно откуда взявшиеся цепочки доказательств.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2009-03-18 12:18 pm
Здорово! Никогда не мог запомнить это доказательство, а теперь смогу.
Опечатка:
"Также x+z-y > 0, поэтому x < y-z."

(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2009-03-18 12:25 pm
исправил, спасибо.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2009-03-18 12:53 pm
Однако, у Вас хорошая память.:) А про однозначность разложения гауссовых чисел на множители - не проще запомнить?:)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2009-03-18 01:15 pm
Для этого надо знать про гауссовы числа, а заодно и уметь доказывать однозначность разложения. Высшая математика!
А для меня самым простым доказательством оказалось то, которое я сам придумал, когда надоело, что не могу вспомнить ни одного известного.
http://community.livejournal.com/ru_math/428662.html
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2009-03-18 01:32 pm
Ну, эту высшую математику таки можно заменить на "элементарные" рассуждения. Кстати, Ваше доказательство как раз близко к такой замене.:)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: mkal
2009-03-18 05:13 pm
Когда на какой-то олимпиаде мне потребовалось доказать теорему Ферма о квадратах, то было проще вспомнить эти ужасные непонятно откуда берущиеся отображения, нежели расписывать докозательство однозначности разложения гауссовых чисел.

И до сегодняшнего дня я нигде не видел, чтобы кто-то объяснял, откуда берутся эти непонятные отображения и как до этого можно было додуматься.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: spamsink
2009-03-18 04:22 pm
Это изложение, видимо, нужно по аналогии с шахматами называть "ретроградный матанализ".
Гугл такого словосочетания еще не знает.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2009-03-18 05:17 pm
интересно было бы посмотреть на голосование: какое из доказательств в википедии нравится больше.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: nikaan
2009-03-18 08:58 pm
У Маркова, если не ошибаюсь, об этом целая наука. Про всякие такие штучки для квадратичных форм.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: shmel39
2009-03-19 05:07 pm
Очень клево! Хороший способ понять доказательство. В нашем университете было что-то похожее на доказательство через гауссовы числа, только они там явно нигде не всплывали.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: travalliero
2009-03-19 06:34 pm
Вообще, идея хорошая, но этот текст не осилил.
(Ответить) (Thread)
From: uncle_zhenya
2009-03-28 09:59 am
Не осилил т.к. понимаю что для того что бы понять это на 100% да еще и воспроизвести потом необходимо понимать эту важную игру цифер, философию, логику, научные основы и т.д.
Но вот скажите мне. Это мне что то не доступно? Математика это врожденно или просто интерес приходит, ну скажем в школе, и развиваешь способность?
(Ответить) (Thread)
From: markvs
2009-03-29 12:35 pm
Вот элементарное доказательство.

www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?mode=attach&id=7076 -

Я это док-во понял, когда мне было 11 лет (кажется, оно было в книге Бермана "Число и наука о нем" , хотя я помню не точно, а книги у меня сейчас нет). Так что нет, видимо, проблем обьяснения его нематематикам. Конечно, нематематиков надо предварительно привязать к стульям, иначе больше 20 секунд математического доказательства они все равно не выдержат, какое бы элементарное оно не было.
(Ответить) (Thread)