?

Log in

No account? Create an account
мимоходом, математическое - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

мимоходом, математическое [сент. 7, 2009|04:53 am]
Anatoly Vorobey
Доказать, что любая норма, соблюдающая тождество параллелограмма, порождена скалярным произведением, оказалось не так легко, как я думал. То есть это утверждение маскируется под совершенно очевидное, но потом оказывается, что надо немного поработать.

Интересно, какие есть интересные примеры обратного: когда утверждение кажется глубоким и нетривиальным, а потом неожиданно поддается практически тривиальному доказательству.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: akuklev
2009-09-07 02:18 am
Однажды, дико скучая на уроке геометрии в седьмом классе, я совершенно случайно доказал это дело, экспериментируя с нормами. Вначале, конечно, для действительного случая. Потом дома обобщил для комплексного. Я не стал бы назвать нетривиальным доказательство, которое не слишком выдающийся семиклассник может доказать в ходе игровых экспериментов от скуки.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2009-09-07 02:32 am
По-моему, неважно, как его называть. Мне показалось забавным несовпадение между ожиданием - того, что оно будет настолько же немедленным, как, скажем, вывод неравенства треугольника из Коши-Шварца - и реальностью, в которой пришлось что-то писать и думать, и даже немало.

В седьмом классе, думаю, я ничего не знал про строгое определение и свойства непрерывности, так что доказать его не смог бы при всем желании.

Edited at 2009-09-07 02:32 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: akater
2009-09-07 02:49 am
> Интересно, какие есть интересные примеры обратного

Бесконечность множества простых чисел.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: peysakhovich
2009-09-07 04:05 am
А называется всё это теоремой фон Неймана—Йордана =)

А эквивалентность любых двух норм в конечномерном пространстве считается глубоким и нетривиальным? :)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: kovalevskaya
2009-09-07 06:12 am
То, что линейный оператор в нормированном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда ограничен)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: captain_solo
2009-09-07 06:26 am

непрерывная недифференцируемая фунуция на отрезке
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: alex_levit
2009-09-07 06:33 am
Среди частей, на которые разбивают плоскость n прямых общего положения, найдется не менее n-2 треугольников. Проблема, если не ошибаюсь, была открытой лет сто. Допускает доказательство в несколько строчек.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2009-09-07 07:37 am
И с тех пор служит олимпиадной задачей. А что, сто лет назад ее кто-то в явном виде формулировал как недоказанную гипотезу?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2009-09-07 07:36 am
На моей памяти случилось такое с теоремой Шпернера о максимальной антицепи в частичном порядке подмножеств n-множества (что максимум это средний слой). в 70х годах ей придумали тривиальное доказательство.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: alex_levit
2009-09-07 08:07 am
Про треугольники была статья в Кванте. Проблему поставили в 1870, а решили только в 1979. Проблема Сильвестра (дано конечное множество точек на плоскости; если не все они лежат на одной прямой, то найдется прямая на которой лежат ровно две точки) оказалась попроще. Ее поставили в 1893, а доказательство опубликовали в 40-х. Тоже вполне олимпиадная задачка.
Ну и самый известный пример -- теорема Ферма. Есть совсем простое доказательство, но к сожалению окно для ввода мало.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2009-09-07 08:29 am
О, спасибо за идеальный пример проблемы Сильвестра. Самому не пришло в голову.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2009-09-07 08:35 am
История с Сильвестром продолжалась еще долго; последний штрих so far - 2003 год:
The Sylvester-Chvatal Theorem
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: etre_moral
2009-09-07 11:43 am
Какое док-во Вы имеете в виду, вывод из неравенства Ямамото (и ещё двух авторов, фамилии которых я забыл)?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2009-09-07 11:48 am
Я тоже забыл; LYM-inequality.
Именно это доказательство совсем пальцевое:
"Тривиально сосчитать, сколько макс. цепей проходит через каждый элемент. Минимум этой
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2009-09-07 11:49 am
функции достигается в середке; тоже тривиально. Отсюда сразу оценка Шпернера.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: etre_moral
2009-09-07 11:51 am
Да, конечно.

Благодаря Вашей аббревиатуре я вспомнил: Любель-Мешалкин-Ямамото :-)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: stranger_p_a
2009-09-07 07:49 am
Теорема о том, что любой сходящийся ряд можно так перераспределить, что он будет сходиться к произвольному заранее заданному числу (в т.ч. плюс-минус бесконечности). Если не ошибаюсь, это теорема Римана.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: etre_moral
2009-09-07 11:44 am
любой неабсолютно сходящийся
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: stranger_p_a
2009-09-07 12:23 pm
Конечно, спасибо, - в формулировке теоремы пропущено слово "условно" :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2009-09-07 11:23 am
Еще пример: трансцендентные числа до и после Кантора.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: dimmik
2009-09-07 11:27 am
Доказать что любое простое число представимо в виде a^b + b^a
(Ответить) (Thread)
From: myckolah
2009-09-07 02:56 pm
Причём, a=1? :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: dimmik
2009-09-07 03:53 pm
а и бэ натуральные ;)
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: myckolah
2009-09-07 04:35 pm
ну, я же и говорю, если a положить равным 1, то b необходимо будет натуральным (и равным p-1)
:)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: cousin_it
2009-09-07 03:13 pm
Вы, конечно, видели уже, но для дискуссии будет полезна ссылка на пост Ааронсона "Sidesplitting proofs".
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2009-09-08 12:52 pm
Ничего, я уже успел забыть об этом. Спасибо, там есть несколько хороших примеров.
(Ответить) (Parent) (Thread)