?

Log in

No account? Create an account
об оптимальных пожертвованиях - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

об оптимальных пожертвованиях [янв. 23, 2011|06:45 pm]
Anatoly Vorobey
Экономист Стивен Ландзбург написал несколько лет назад колонку в журнале Slate, в которой он доказывает довольно неинтуитивное, на первый взгляд, утверждение, связанное с пожертвованиями благотворительным организациям. Ландзбург пишет (англ.), что практически всегда лучше все деньги, которые вы решили пожертвовать, дать одной организации - той, которая по вашему мнению наиболее эффективна, приносит больше всего пользы.

Разделить свои деньги между несколькими организациями - хуже, принесет меньше пользы; и это верно даже в том случае, когда вы не уверены, какая из них "лучше" в этом смысле - все равно, пишет он, следует выбрать наиболее вероятную согласно той информации, что у вас есть, и весь бюджет отдать ей. Единственное исключение - когда вы жертвуете столько денег (скажем, вы Билл Гейтс), что они реально могут изменить баланс, например, решить заметную часть всей проблемы, которой занимается данная организация.

Ландзбург предлагает два доказательства своего утверждения - неформальное, и математическое (на отдельной странице, чтобы не пугать читателей так уж сразу). Но мне это математическое кажется неверным, или как минимум нерезонно упрощенным. Однако я не уверен в этом, и среди моих читателей много людей, понимающих и в математике, и в экономике куда больше меня. Я внизу попробую вкратце разобрать его так, как я понимаю, а вы поправьте меня, если не согласны, или добавьте, если видите что-то еще, ладно? Заранее большое спасибо.

Неформальное доказательство Ландзбурга можно вкратце пересказать так.
Предположим, взвесив всю известную информацию, оценив риски итд., вы ожидаете, что организация А принесет больше пользы в результате того, что вы дадите ей $100, чем организация B. Скорее всего, однако, эти $100, хоть и принесут пользу, решат только крохотную часть всей проблемы, которой занимается A; поэтому после этого пожертвования ваш анализ не должен измениться, и следующие $100 вам опять следует дать A. Эта ситуация отличается, от, скажем, выбора, какие акции покупать для инвестиции; там действительно стоит разнообразить, но это потому, что, скажем, купив какое-то количество технологических акций, вы уже решили для себя в значительной мере эту проблему, и можно теперь (анализ изменился) сбалансировать ее другим видом акций.
Более подробное объяснение см. в статье.

Меня же больше заинтересовал математический анализ. Пересказ анализа Ландзбурга:
Если все, что вы хотите добиться своими пожертвованиями - это принести как можно больше пользы, то можно описать это как стремление максимизировать некую функцию пользы
U(X+Δx, Y+Δy, Z+Δz), где - беря для примера три благотворительные организации - X, Y, Z это деньги, которые у них есть сейчас, а Δx, Δy, Δz - деньги, которые вы жертвуете. Но значение этой функции, "в случае, если ваш вклад намного меньше текущей суммы" - слова Ландзбурга - хорошо приближается выражением

(*) U(X, Y, Z) + ∂U(X)/∂x*Δx + ∂U(Y)/∂y*Δy + ∂U(Z)/∂z*Δz,

а чтобы максимизировать это значение при фиксированной сумме Δx+Δy+Δz (ваш бюджет), ясно, что нужно все деньги вложить в ту организацию, у которой больше всего частная производная в данный момент.

Кроме того, если вы не уверены в эффективности той или иной благотворительной организации, это не меняет анализ: просто считайте U не функцией пользы, а - для данного значения Δx, Δy, Δz - случайной переменной над некоторым пространством событий, выражающей известную вам информацию; и пытайтесь максимизировать матожидание E(U). В таком случае все равно E(U) окажется функцией, к которой применяется аргумент выше, и наибольшее матожиданые выходит при вкладе всех денег в одно место.


Но мне это кажется странным. Главное - непонятно, что дает Ландзбургу право предполагать (*) хорошим приближением, и почему он говорит "в случае, если ваш вклад намного меньше текущей суммы". При чем тут вообще текущая сумма (X, Y или Z)? Она играет роль точки, в которой мы считаем значение функции пользы или ее производных, но сама ее величина не играет никакой роли. Если кто-то понимает, почему малая величина Δx/X оправдывает этот анализ, объясните мне, потому что я не понимаю.

Что я понимаю - это что можно разложить по теореме Тейлора для нескольких переменных. В таком случае кроме уже приведенного в (*), величина остатка ограничена суммой слагаемых вида

∂U2(X', Y', Z')/∂x2*(Δx)2

и

∂U2(X', Y', Z')/∂x∂y*(ΔxΔy)

где X' лежит где-то между X и X+Δx, и так далее. Если эти слагаемые очень малы, то приближение хорошее. Функция пользы, скорее всего, имеет какой-то вид типа U1(X)+U2(Y)+U3(Z), предполагая, что благотворительные организации действуют в разных областях и не мешают друг другу. В таком случае смешанные производные сразу равны нулю, и нам надо минимизировать только слагаемые с вторыми производными по X, Y, Z. Если вторая производная очень близка к нулю, то даже при относительно большом Δx итд. линейное приближение все равно будет хорошим. Именно это условие, близкой к нулю второй производной, а вовсе не "ваш вклад намного меньше текущей суммы", кажется мне ключевым тут. Когда это случится? Первая производная оценивает эффективность организации в данный момент: сколько она приносит пользы на доллар. Если эффективность не меняется или почти не меняется от добавления долларов, то условие соблюдается. Это верно, например, если ваши деньги идут на приобретение чего-то (например, продуктов для нуждающихся) с каким-то фиксированным overhead'ом. Если же ваши деньги могут идти на инфраструктуру самой благотворительной организации, то они вполне могут поднять эффективность, и тогда вторая производная не будет настолько мала, чтобы игнорировать остаток. Ну и сама сумма пожертвований, если она растет, тоже увеличивает остаток.

Наверное, можно предположить, что если речь идет о благотворительных организациях, уже состоятельных и устоявшихся, то их инфраструктура уже построена, и вторая производная от их функции пользы очень близка к нулю, и тогда аргумент Ландзбурга срабатывает. А если речь идет об относительно небогатых организациях, в которых ваши деньги могут заметно изменить их эффективность, то это не так. Так что косвенным образом это коррелирует с текущим количеством денег X,Y,Z, но отношение Δx/X тут ни при чем. Так мне кажется.

Еще одна вещь остается мне тут непонятной, и она связана с неформальным аргументом Ландзбурга, и тем, почему, как он объясняет, аргумент о благотворительности не проходит, когда речь идет об инвестициях. Попросту говоря, мне непонятно, почему математический аргумент, который я разбираю выше, не работает в точности в случае акций. Там тоже можно представить себе функцию дохода U(X, Y, Z), у которой мы хотим максимизировать матожидание E(U), выбрав, сколько акций X,Y,Z покупать. Если мы не вкладываем много миллионов, состояние на бирже от одного нашего вклада не меняется, эффективность каждой компании не меняется, и вторая производная очень близка к нулю. Ландзбург пишет (неформально):
So why is charity different? Here's the reason: An investment in Microsoft can make a serious dent in the problem of adding some high-tech stocks to your portfolio; now it's time to move on to other investment goals.
Но мне это кажется нечестным: почему это я должен заранее делить свои цели на high-tech stocks и какие-то другие stocks, почему я должен заранее решить диверсифицировать? Математический анализ, на первый взгляд, показывает, что мне как раз не следует этого делать. Так может, дело совсем не в этом, а в risk aversion, в том, что я готов получить меньшее матожидание прибыли, но минимизировать риск потерять очень много денег? Мне кажется, именно это стоит за рекомендацией диверсификации инвестиций, а не то, что пишет Ландзбург - я прав?
СсылкаОтветить

Comments:
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>
[User Picture]From: gaus
2011-01-23 04:54 pm
Диверсификация портфолио - это способ получить такое же матожидание прибыли с меньшим риском. Например, итальянскому купцу лучше купить одну пятую доли в каждом из пяти кораблей с товаром, а не вложить всё в один.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2011-01-23 05:00 pm
Да, но матожидание будет таким же только в случае, если у него нет никакой причины (качество корабля, репутация капитана итд.) оценить шансы возвращения одного корабля выше, чем других.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: dragon_ru
2011-01-23 04:57 pm
Как я решил это для себя - это потому, что для инвестиций надо смотреть на величину, обратную ожидаемому изменению цены акций. Если акции компании с вероятностью 50% станут стоить 170% от первоначальной цены, а с вероятностью 50% - 50%, то мат. ожидание будет 110%, но при продолжительном инвестировании только в эту компанию ты останешься ни с чем.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: shkrobius
2011-01-23 04:59 pm
It is implicit that dX is very small and dU/dx is always nonnegative, which is a reasonable assumption for a charity, but unreasonable assumption for an investment fund (if U are the future returns at a fixed day). I think he gives a good advice, which is also obvious from the utilitarian standpoint. If U is maximum good for the maximum number of people, then it is clear that you should give money to those providing exactly this good.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2011-01-23 05:07 pm
But that's just my point: I don't understand how a very small dX (compared to what?) and nonnegative dU/dx lead to his conclusion. It seems to me that things are messier and depend on U'' - at least until we give some reasonable argument why it stays small.

E.g. consider a charity which currently is able to match any contribution with an equal grant from a wealthy donor, until $X is collected. And right now the total is at $X-100. You're clearly better off giving it $100 and the rest of the money to a slightly more efficient charity than giving all money to either. And while this situation can be encoded in a utility function U, Landsburg's analysis can't reach the optimal solution.

I agree that he probably gives a good advice in a typical situation (albeit it pains me a little to admit it, as I don't really like the conclusion), but I do want to understand whether the math is sloppy and the real math requires different assumptions, or I am off base here.

Edited at 2011-01-23 17:10 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: lucky__man
2011-01-23 05:00 pm
Математически он прав, я думаю. Если стремиться оптимизировать мат. ожидание "пользы" или "прибыли", то надо вкладывать все деньги только в один фонд.

А вот если стремиться, чтобы в самом худшем раскладе убыток был наибольшей, то тут уже надо диверсифицировать, причем довольно сильно - чтобы начал работать закон больших чисел.

Т.е. в первом случае решаем задачу E->max. А во втором случае E(worst 1% cases)->max, как-то так. Ответы разные, и соответствуют логике Ландзбурга.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2011-01-23 05:55 pm
[[убыток был наибольшей]]
Наименьший, наверное?
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: a_shen
2011-01-23 05:15 pm

по-моему,

это "рассуждение" очень выпукло показывает проблему экономической науки в целом: тривиальные математические наблюдения + спекулятивные разговоры об их связи с действительностью.

То же самое математическое рассуждение с той же степенью убедительности доказывает, что люди, подкармливающие зимой воробьёв и синиц, должны выбрать кого-то одного, или что расходы на ремонт водопровода и канализации нужно сконцетрировать на чём-то одном, и пр.

Что же касается акций, где такой количественный анализ более применим, то нас интересует не только математическое ожидание, но и другие параметры - например, вероятность разориться и пр.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2011-01-23 05:31 pm

Re: по-моему,

[[люди, подкармливающие зимой воробьёв и синиц, должны выбрать кого-то одного]]
Если они хотят спасти побольше неважно каких птиц, именно так они и дрлжны поступать.

[[расходы на ремонт водопровода и канализации нужно сконцетрировать на чём-то одном]]
Нет, потому что водопровод можно починить до конца. А вылечить всех больных до конца, или даже значительную часть, не получается.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: niobium0
2011-01-23 05:37 pm
1) приемлемая модель. большее значение X эквивалетно маленькому значению Δx и эквивалентно малому значению ∂U2(X', Y', Z')/∂x2.
2) черт его знает. например, возможно, с хайтек стоками мы не можем более предположить независимость организаций.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: spamsink
2011-01-23 05:58 pm
Мне кажется, неверна первоначальная посылка. Жертвуя, человек стремится максимизировать ощущение собственного участия в благотворительности. Для каждой отдельной организации зависимость этого ощущения от суммы нелинейная.
(Ответить) (Thread)
From: vnesov
2011-01-23 06:56 pm
Многие так и поступают, но если по неведомой причине всерьез задасться вопросом о методах максимизации количества спасенных жизней, а не о максимизации удовлетворения своих чудовищных аппетитов, то решение такое как описано в статье.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: kovalevskaya
2011-01-23 06:09 pm
"The linear approximation fails if your contributions are large relative to the initial endowments..." - это, конечно, не верно. Потому что в нуле такое линейное разложение вполне себе жизнеспособно)
Ну и вообще, если, например, функция полезности U(x,y)=Ax+By^2, то U(x+Δx,y+ Δy)=AΔx+2ByΔy+B(Δy)^2 и при этом B=A/(2y) - %epsilon, то по логике статьи мы должны бы выбрать первый фонд, поскольку A> 2By, однако на самом деле функция полезности может быть больше, если выбрать второй фонд
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: lucky__man
2011-01-23 06:29 pm
Если B зависит от y, так и частные производные тогда неправильно посчитаны, нет? Где-то внутри должна фигурировать также производная B(y) по y.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: (Anonymous)
2011-01-23 06:25 pm
It seems he might be implicitly referring to the envelope theorem.

http://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theorem
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2011-01-23 10:07 pm
Can you reconstruct the argument? I'm not really familiar with the envelope theorem, and don't see how it applies here.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2011-01-23 06:27 pm
Вот у меня тоже засвербило в тот момент, когда я прочитал про "Эта ситуация отличается, от, скажем, выбора, какие акции покупать для инвестиции". Видимо, чувство хуйни (пардон май френч) сработало.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: dimrub
2011-01-23 06:36 pm
Я тоже так решил для себя, но без математического анализа, просто решив, что у меня нет терпения и времени выяснять добросовестность множества организаций, а жертвовать пассивно по 5-10 шекелей в супере и в киоске на станции на те организации, которым удалось договориться о сотрудничестве с данным бизнесом - это, скорее всего, бросать деньги на ветер. Поэтому я нашел себе одну организацию (эзер мецион), о которых волей случая удалось что-то узнать, и жертвую только им. Пусть кто-то другой жертвует на другое благородное дело. Опять же, в gift matching они участвуют.

Единственный раз, когда я изменил этому правилу - это когда я все же пожертвовал википедии. Очень уж задрали.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: mfi
2011-01-23 10:55 pm
Дима, неправда - или Вы не в Израиле сейчас. Когда стучат детишки, которых гоняют на сбор денег из школы - десяток шкалей неизбежно уходит в их ладошки. А что делать то? :-)

П.С. А я вот от подкорма Вики удержался. Именно потому что достали.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: vnesov
2011-01-23 06:52 pm
Первая производная полезности должна оставаться более-менее постоянной на протяжении всей вкладываемой суммы, чтобы решение между организациями было одним и тем же для каждого следующего рубля (т.е. чтобы маргинальная полезность не менялась). В противном случае, другая организация может оказаться лучшей целью вложения очередного рубля.

Поэтому при распределении инвестиций, решение может поменяться, т.к. в районе нуля полезность денег сильно нелинейна в зависимости от их количества. В теории ожидаемой полезности, неприятие риска выражается в виде вогнутости функции полезности.

При пожертвовании, если предполагать, что зависимость ожидаемой пользы от количества собранных данной организацией денег становиться все более гладкой с увеличением фонда (настоящая зависимость будет весьма негладкой, но мы должны принимать решение на основании того, что мы знаем о ней, а не недоступной информации), расстояние от размера пожертвования до начала размера фонда является хорошей эвристикой для оценки линейности функции полезности на протяжении этого пожертвования. И если это условие соблюдается - все деньги идут в одну из организаций.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2011-01-23 10:51 pm
При пожертвовании, если предполагать, что зависимость ожидаемой пользы от количества собранных данной организацией денег становиться все более гладкой с увеличением фонда (настоящая зависимость будет весьма негладкой,

Что вы подразумеваете в точности под гладкостью здесь? Я не вполне понимаю этот отрывок.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: mi_b
2011-01-23 08:28 pm

я согласен с Л. (с одной оговоркой)

разница с акциями - в том, что правильная аналогия это не составление портфеля акций с нуля, а добавление еще одного цента к своему пенсионному портфелю. В первом случае инкрементальная инвестиция велика по сравнению с начальной, поэтому ситуация существенно нелинейна и аргумент Ландсбурга не работает. Во втором случае даже в случае с неопределенностью и нелинейной полезностью максимальный градиент полезности будет вдоль какой-то одной оси (с вероятностью 1) вот в charity этой оси соответствующее и надо все инвестировать.

Важное (и несколько неявное) предположение - что наша полезность получается из изменений в реальном мире, а не из нашей причастности к этим изменениям. Если важна причастность, то мы имеем ситуацию, когда X=Y=Z=0 b нужно ливерсифицировать пожертвования. Мне лично это предположения кажется рациональным, но слишком сильным.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2011-01-23 10:08 pm

Re: я согласен с Л. (с одной оговоркой)

В первом случае инкрементальная инвестиция велика по сравнению с начальной, поэтому ситуация существенно нелинейна и аргумент Ландсбурга не работает.

Вот это утверждение можно прояснить? Оно остается для меня туманным - собственно из-за ровно такого же утверждения Ландзбургда я и написал эту запись.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: (Anonymous)
2011-01-23 09:03 pm
Не знаю, сказали ли про это в комментах, но условие про небольшую сумму (относительно всех средств фонда) понятно для чего нужно - и он это явно говорит - как раз чтобы обоснованно предполагать, что отдача от инвестиций не меняется по мере того, как часть суммы распределяется. Конечно, тут предполагается, что смешанные производные и вторая производная небольшие :)

А вот все остальное ИХМО, полная лажа. Я конечно не настоящий сварщик^w экономист, но почему благотворительность мы оцениваем не так, как все остальное? Почему не считать, что благотворительные организации те же АО, только бенефициары не вкладчики а третьи лица? И почему он нигде не упоминает, что при инвестировании в акции важна оценка не только доходности, но и _риска_ ?

И пассаж про максимизацию матожидания доставляет, да. Пусть на фондовом рынке сыграет с такой стратегией, если он считает себя настолько рациональным и риск-нейтральным.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2011-01-23 09:15 pm
При инвестициях максимизируют не доход, а нечто среднее, включающее в себя как доход, так и риск. Обычно используется нечто вроде критерия Келли. Зная функцию распределения доходности, можно вычислить оптимальный процент вложения инвестиционного капитала в данную акцию. При этом оставшиеся невложенные проценты можно распределить по другим, некоррелирующим с данной акциям. Примерно так.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2011-01-23 09:44 pm
И вот ещё. Когда вкладывают в акции, то предполагают, что заработанная инвестированием прибыль увеличит инвестиционный капитал, который потом заново будет инвестироваться в новых пропорциях. А когда речь идёт о благотворительности -- то это просто разовое выкидывание денег в мусорную корзину, поэтому считать сложные проценты при этом не надо.
(Ответить) (Parent) (Thread)
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>