?

Log in

о конечных полях (математическое) - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

о конечных полях (математическое) [дек. 30, 2012|05:31 pm]
Anatoly Vorobey
(вряд ли кому-то будет интересно)

Малая теорема Веддерберна гласит, что любое конечное тело является полем. Я люблю простое ее доказательство, которое пересказано вкратце в английской Википедии - там внезапно, как черт из табакерки, выскакивают круговые многочлены и комплексные корни из единицы и решают проблему.

В статье On Wedderburn's Theorem About Finite Division Algebras, вообще-то посвященной исправлению первоначального доказательства Веддерберна (в котором была дырка), нашелся любопытный список из более чем 20 разных доказательств. Среди них есть как использующие глубокие результаты, так и вполне элементарные (как, например, это доказательство Герштейна, еще более элементарное, чем вышеуказанное, но какое-то муторное и неинтересное). Может, кому-то еще понравится.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: certus
2012-12-30 03:59 pm
Просмотрел список доказательств. Похоже, доказательство Витта (то, что в Википедии приведено) самое элегантное, если речь идёт только о самой малой теореме Веддербёрна, а не о её обобщениях и связях с другими фактами.

А сам список мне напомнил другой набор замечательных доказательств одного классического результата. Наш лектор по функциональному анализу говаривал, что каждый культурный математик должен знать шесть разных по сути доказательств оного :-)

Edited at 2012-12-30 16:00 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2012-12-30 04:20 pm
Хороший набор, спасибо за ссылку :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: ygam
2012-12-30 07:20 pm
Я знал только одно, и то нестрогое. Сделаем вид, что sin x/x - многочлен с корнями k*π, где k - целое число, не равное 0. Одновременно sin x/x раскладывается в ряд Тейлора. Сличим коэффициенты x2 в этих двух представлениях.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: certus
2012-12-30 07:24 pm
Ага, это вроде бы оригинальное эйлеровское решение. В 1735 году такой уровень строгости ещё прокатывал :-)
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: bestus3
2013-09-28 11:28 am

Список доказательств малой теоремы Веддерберна

Как можно этот список просмотреть, не подскажете? Меня также интересуют всевозможные обобщения этой теоремы. Спасибо!
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: certus
2013-09-28 11:55 am

Re: Список доказательств малой теоремы Веддерберна

Ссылка на статью в посте вроде бы ещё работает; там список доказательств в конце указан (стр. 7–9).

Edited at 2013-09-28 11:56 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: lrudman
2012-12-30 04:02 pm
спасибо. мне интересно.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2012-12-30 04:34 pm
О, это тоже моё любимое доказательство. Я даже помню, откуда его узнал: из задач мелким шрифтом в "Алгебре" Бурбаки.
(Ответить) (Thread)
From: roma
2012-12-30 04:45 pm
поражает как за 100 лет изменился стандарт изложения (не в первый раз, конечно, сталкиваюсь, но каждый раз поражает).

Мне, пожалуй, больше всего нравится выводить ее из того, что подгруппа в конечной группе, пересекающая каждый класс сопряженности, равна всей группе. Это доказательство и элементарное, и проясняющее. Остальные мне известные или иллюстрируют теорию, или содержат "черта из табакерки" --
персонаж привлекательный, но у профессионалов не так популярен как его нетабакерочные собратья.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2012-12-30 07:24 pm
А какое это док-во из того списка? Артина? Или дай ссылку на какое-то его стандартное изложение? Интересно прочитать.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: roma
2012-12-30 07:43 pm
видимо, это доказательство Нетер от 1928 г. Возможно, оно есть в кинжке Серра "Topics in Galois Theory", 4.6.
Если мы знаем, что все конечные поля данного размера изоморфны, то отсюда, имея немного общей структурной теории тел, следует, что все максимальные коммутативные подполя сопряжены. А значит любой элемент сопряжен элементу из данного максимального коммутативного подполя. Теперь остается применить тот факт про подгруппу в конечной группе к мультипликативной группе тела, в которой содержится мультипликативная группа подполя.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: certus
2012-12-30 08:03 pm
Красиво.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2012-12-30 08:36 pm
Там нет, но нашел изложение во втором томе ван дер Вардена Modern Algebra, section 131. Действительно красиво. Факт из теории групп, который ты упомянул, там формулируется так: истинная подгруппа вместе со всеми своими сопряженными копиями не может целиком покрыть конечную группу (ясно, что это одно и то же, упоминаю просто потому, что эта формулировка показалось мне почти очевидной, в отличие от твоей).
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: rozenfag
2012-12-30 06:19 pm
Один из сюжетов из "Доказательств из Книги".
(Ответить) (Thread)
From: roma
2012-12-30 08:06 pm
или сюжет, иллюстрирующий, что есть много доказательств, каждое из своей книги, а Книги и нет никакой! ;)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: rozenfag
2012-12-30 10:04 pm
Скорее Книга - квантовая и может находиться в суперпозиции нескольких различных состояний :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: roma
2012-12-30 11:10 pm

все что я хотел знать о квантовании, но боялся спросить

ага. Так что постмодерн это квантовый романтизм, а Дон Жуан это квантованный Ромео!
(Ответить) (Parent) (Thread)