?

Log in

математическая всячина - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

математическая всячина [янв. 27, 2013|01:15 am]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

1. Gauss's Day of Reckoning. Историю про Гаусса, который складывал числа от 1 до 100 в семь лет, видимо, надо считать мифом. Очень жаль, я поражен и огорчен. Что-то там было, возможно, связанное с вычислением - и то, первое упоминание уже после смерти Гаусса, не факт, что достоверное. А конкретная задача с числами от 1 до 100 появляется впервые в 1938 (!!) году.

2. На первый взгляд очень интересная статья об истории пустого множества, синглетона и упорядоченной пары в теории множеств. Но собственно прочитать ее еще не успел.

3. Математический скандал: статья о том, как Эрдеш и Сельберг полу-совместно и почти одновременно нашли элементарные доказательства теоремы о распределении простых чисел, и что из этого вышло. Включает в себя подробный разбор ключевых событий лета 1948 года, по дням и иногда даже по часам.

4. Любопытное обсуждение того, как мотивировать студентам изучение комплексного анализа. Красивый пример предлагает Keith Conrad: посмотреть на радиус сходимости рядов Тейлора. Например, у функции 1/(1+x) в нуле радиус сходимости равен единице, и понятно, почему; а у функции 1/(1+x^2) он тоже равен единице, несмотря на то, что она хорошо себя ведет, гладкая на всей действительной прямой. Но вот если посмотреть на комплексную плоскость, немедленно становится ясно, откуда выскочила эта единица...

5.
On April 9, 1975, Congressman Robert Michel brandished a list of new NSF grants on the floor of the House of Representatives and selected a few that he thought might represent a waste of the taxpayers’ money. One of them (on which I happened to be one of the investigators) was called “Studies in Complex Analysis.” Michel’s comment was, ” ‘Simple Analysis’ would, hopefully, be cheaper.” I shudder to think of what might happen if certain members of the current Congress discover that the NSF is supporting research on perverse sheaves.”

6. Красивое доказательство иррациональности квадратных корней из целых чисел (не являющихся полными квадратами), приписывается Конвею. Мы доказываем, что если √n рациональное число, то оно целое число.

Сначала нам нужна элементарная (и интуитивно очевидная) лемма о дробях. Среди всех возможных представлений данного рационального числа в виде дроби A/B всегда можно выбрать такое, в котором B минимальное положительное (по сути дела, это представление - сокращенная дробь, но нам этот факт не нужен). Утверждение: если C/D другое представление того же числа, A/B = C/D, то D делится на B. Доказательство: перепишем A/B = C/D в виде D/B = C/A, и оставим у каждой дроби только дробную ее часть: d/B = c/A, где 0 <= d < B. Если d не равно 0, то отсюда следует A/B = c/d и это противоречит минимальности B; значит, d=0 и D делится нацело на B.

Теперь пусть √n = A/B, выберем такое представление, в котором B минимальное положительное. Поскольку √n = n/√n, мы видим, что A/B = n*B/A, и немедленно заключаем из вышесказанного, что A делится на B; ввиду минимальности B из этого следует B=1.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: poopoopastor
2013-01-26 11:53 pm
Пример со сходимостью ряда для \frac{1}{1+x^{2}} (именно в контексте мотивировки изучения комлексного анализа, во введении)... встречал в одном из классических советских учебников,... по-моему у Привалова....

Edited at 2013-01-26 23:53 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: certus
2013-01-27 01:11 am
С него же начинается предисловие к книге Шабата «Введение в комплексный анализ» издания 1976 года.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: xgrbml
2013-01-27 05:51 am
Да, это баян древний, известный задолго до Шабата.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avzel
2013-01-27 12:08 am
6. Да чего уж такого красивого. If \sqrt{n} = A/B with A, B positive integers then nB^2 = A^2. Every prime number p appears in the prime factorization of each of A^2 and B^2 with an even exponent, so it also appears in n with an even exponent, so n is a full square, Q.E.D.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2013-01-27 12:12 am
Это опирается на фундаментальную теорему арифметики, а док-во Конвея ее не требует.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avzel
2013-01-27 12:40 am
Зато "мое" доказательство немедленно проясняет суть дела, а "Конвеевское" (очень сомневаюсь, кстати, что это расуждение - довольно банальный вариант бесконечного спуска - не было известно намного раньше) я воспринимаю как никуда не ведущий и ничего не проясняющий трюк. Мое эстетическое чувство такие рассуждения раздражают.

Всё это дело вкуса, разумеется, спорить тут не о чем.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2013-01-27 01:01 am
Это доказательство еще любопытно тем, что оно *могло* гипотетически быть изобретено Евклидом (который знал лишь ограниченную форму фундаментальной теоремы арифметики, для бесквадратных чисел), или даже пифагорейцами (которые не знали и того).

Да, дело вкуса, конечно.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: oblomov_jerusal
2013-01-28 11:49 am
Может быть, доказательство Конвея можно обобщить на какой-то класс колец. (Оно похоже на одно из доказательств того, что кольца с валюацией нормальны.)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: certus
2013-01-27 01:33 am
Вроде бы и история про суммирование арифметической прогрессии (без указания чисел), и приписываемое Гауссу высказывание про арифметику как царицу математики впервые появляются в книге Вольфганга Сарториуса (фон Вальтерсгаузена) памяти Гаусса, изданной через год после смерти Гаусса. В предисловии к ней фон Вальтерсгаузен пишет, что у него есть надёжнейшие источники о Гауссе, на основе которых и написан биографический очерк, и он надеется с их помощью исправить некоторые не вполне верные утверждения о жизни Гаусса. Ясно, что хотелось бы подтверждения из независимых источников, но книга Сарториуса как минимум производит впечатление серьёзно подготовленной биографии и дани уважения человеку, с которым автор был дружен много лет.
(Ответить) (Thread)
From: aerffadf
2013-01-27 03:13 am
1. Эээ… а вы думали, что это не байка (как про Эйнштейна и таксиста), а достоверный факт? По-моему, понятно, что у таких историй вряд ли бывают подтверждения. Вы ж, наверное, и про Максвелла с распределением скоростей аналогичную байку помните.

6. Чем вам не нравится пифагорейское доказательство? Это ж сжатая версия Конвеевского. Пусть √n = A/B с минимальным B>0. Тогда A = B√n, A√n = nB и n = A{√n} / B{√n}. Последняя дробь равна A(√n – [√n]) / B(√n – [√n]) = (nB – A[√n]) / (A – B[√n]), то есть у неё числитель и знаменатель целые, причём знаменатель B{√n}, очевидно, меньше B, противоречие.

Edited at 2013-01-27 03:26 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: rozenfag
2013-01-27 04:01 am
4. Этот пример приводился Гельфандом в интервью "Кванту":
http://kvant.mccme.ru/1989/01/akademik_izrail_moiseevich_gel.htm, страницы 10-11.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: dmpogo
2013-01-27 04:20 am
Как мотивировать студентам изучение комплексного анализа.
посмотреть на радиус сходимости рядов Тейлора.

Для физиков - это в чем то стандартный подоход
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: nechaman
2013-01-27 07:22 am
В каждой байке есть доля чего-то там.
И вот еще байка про раби Хешейла такая же была, но более занятная, про подсчет ханукальных свечек с коламбуром. Не знаю, правда или нет, но почему именно про него рассказывают?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: worden_archives
2013-01-27 07:22 pm
Спасибо, добавлю в копилку с "пусть едят пирожные", "" "мы должны были выбрать между позором и войной..." "все, что нужно, чтобы зло восторжествовало...", "страна без народа народу без страны" и т. д. misattributions.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: localghost
2013-01-27 08:44 pm
1. Однако! Я, во-первых, помню эту историю из врезки в учебнике, а во-вторых, сам решил эту задачу примерно в таких же условиях в детском саду. Правда, всю сознательную жизнь сомневаюсь, не ошибся ли на 50 "из серединки", потому что складывал точно по сотням: 100, 99+1,..
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: burrru
2013-01-27 08:55 pm
А Гаусс, все равно, молодец:
http://burrru.livejournal.com/93250.html
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: angerona
2013-01-28 01:51 am
Про #1 -- почему байкой? Как раз наоборот, вся эта статья скорее показывает, что такое было и вполне вероятно, что Гаусс мог придумать краткое решение.

Во первых таки статья Сарториуса именно говорит про арифметическую прогрессию. Так ли важно, какие именно числа были в этой прогрессии? Во вторых, никто не утверждал, что Гаусс был первый, который придумал формулу решения суммы арифметических прогрессий (ну может какие-то варианты пересказов и утверждали, но это понятно, что это было выдумкой). В третьих варианты того, как именно Гаусс обьяснял решение -- это как раз во многих рассказах представляется не как то, что решил Гаусс, а обьяснение от рассказчкика.

Причем об авторе заметки, на которую ты ссылаешься, остается не совсем позитивное впечатление. Некоторые вещи, которые он пишет, вызывают недоумение.

Например, его самое первое "возражение" про то, что если б учитель задал такую задачу, то сам учитель должен был бы долго пыхтеть над ней, так что зачем учителю задавать. На одно это я подумала "эээ... вы о чем?" Ну то есть разве не гораздо более вероятно, что этот учитель задает такому же классу эту задачу более-менее регулярно, и прекрасно давно знает ответ (даже если предположить, что однажды он попыхтел сам его добывая самым скучнейшим способом!). И даже если учитель знает формулу, это никак не умаляет заслуги маленького Гаусса. Скорее всего учитель формулу узнал, а не придумал, а Гаусс вот раз -- и на ходу сообразил сам.

Во вторых натыкаюсь на его фразу про "стопку из ста дощечек" и тоже удивляюсь. Человек более-менее знакомый с укладом школ в то время интерпретирует фразу про "сто учеников в классе" как "сто учеников одновременно в одной комнате" (даже если их и не сто), а то же слово "класс" в фразе "дошел до высшего класса" -- как "те ученики из этих ста, кто дошли до этого уровня." Во всяком случае именно так работали классы в boarding schools в англии, в большинстве школ в Америке и т.д. Скорее всего и в континентальной европе так же. Все ученики в одной комнате, с одним учителем, но в разных классах/уровнях, и должны пройти экзамен, чтоб попасть на более высокий уровень (см., например, как описано обучение в Джейн Эир -- когда все девочки в одной комнате, но классы разные, вне зависимости от возраста причем).

В третьих -- ну и что, что другие тоже могли найти свои shortcuts?

:)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: botev
2013-01-28 06:49 am
о, а эту удивительную статью китайских физиков вы видели? http://arxiv.org/abs/1301.4733 Очень смешно
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2013-01-28 09:21 am
По-моему, кому-то просто не дают.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: botev
2013-01-28 09:27 am
э? ну да, кому-то, разумеется, не дают. не очень информативное замечание!
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2013-01-28 09:53 am
Ну, я имел в виду что-то вроде XKCD #314.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2013-01-28 09:19 am
5. - оставил там коммент, но, боюсь, через шесть лет после опубликования исходного поста его уже никто не увидит. Я несколько отошёл от правды, чтобы игра слов зазвучала по-английски. В общем, академик Крылов пишет о некоем начальнике (забыл как его имя, так и должность), который возмущался, что, дескать, орудия кораблей делают на револьверных станках. Остальным пришлось объяснять ему, что "револьверный станок" - это не "станок, на котором делают револьверы".
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: neuraum
2013-01-28 09:51 am
Тем не менее, Гаусс очевидно сильно поразил своего учителя Бюттнера. Последний заказывал для Гаусса математические книги и приложил все усилия, чтоб тот попал в гимназию, что было непросто.
(Ответить) (Thread)
From: bsharp321
2013-01-29 05:04 pm

История комплексных чисел

Про #4: Формула Кардано для уравнения х^3 = 15х + 4 дает выражение, в котором фигурирует квадратный корень отрицательного числа. Считая этот корень просто некой величиной к которой применимы обычные алгебраические правила можно преобразовать формулу и получить вещественное решение уравнения (х=4).

http://www.und.edu/instruct/lgeller/complex.html
(Ответить) (Thread)