?

Log in

No account? Create an account
о геометрических задачах - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

о геометрических задачах [дек. 23, 2013|02:43 am]
Anatoly Vorobey
knop предлагает задачку:
В треугольнике ABC угол B = 50 градусов, угол C = 30 градусов. Внутри треугольника выбрана точка M так, что угол MBC = 20 градусов, угол MCB = 10 градусов. Докажите, что AM перпендикулярно BC.

Тригонометрические решения не интересуют. Геометрическое - чем проще, тем лучше - интересует, и очень.


У него в комментариях есть уже геометрические решения, включая довольно простое. Если хотите добавить свое, можно прямо там.

Я попытался решить, просто чтобы посмотреть, не изменилось ли мое отношение к таким задачам. Нет, не изменилось: я не люблю и не умею решать такие геометрические задачи. Причем не знаю, что тут раньше - "не люблю" или "не умею"; скорее всего, это такие курица и яйцо. У меня всегда была дырка в голове там, где у других людей расположена геометрическая интуиция. Помните шутливую разбивку математиков на алгебраистов и аналитиков согласно тому, как они едят кукурузу? В моем представлении геометры берут початок кукурузы, держат его над открытым ртом, и трясут, ожидая при этом, что зерна сами упадут в рот. Что удивительно, они действительно падают, но только у геометров.

Когда я участвовал в математических олимпиадах, геометрические задачи всегда были самой ненавистной их частью. Первым делом, получив задание, я искал геометрическую задачу и пытался понять, есть вообще хоть какой-то шанс или лучше даже не пытаться.

Однажды, когда я был не помню в каком классе, в облоно решили устроить подготовительные тренировки для призеров областной олимпиады по математики, которые должны были ехать на республиканскую. Нас собрали в флигеле одной из центральных школ города на несколько интенсивных встреч, в течение которых разные учителя-математики решали с нами задачи и учили всяким полезным трюкам. Все это было мне не очень интересно, кроме уроков с геометром, дряхлым, еле ходившим старичком с хриплым тихим голосом. Он много замечательного рассказывал о геометрии, но главное, обладал какими-то сверхъестественными способностями решать геометрические задачи с помощью дополнительных построений. Мы приходили к нему с задачами из сборника, которые он до того не видел - и через несколько секунд после взгляда на условие он говорил, что нужно провести и какую точку отметить и как из этого следует, что нужно. Мне это казалось абсолютным волшебством, магией. Никогда не видел ничего подобного ни до того, ни после. Я лучше помню этого старичка, с которым говорил всего несколько часов в жизни, чем все другие подготовки и сами олимпиады того года.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: ny_quant
2013-12-23 01:08 am
Я тоже никогда не умел решать такие задачи.

На работе есть компания не особо обремененных обязанностями "русских", которые терроризируют друг друг друга олимпиадными задачами. Недавно один из них, отчаявшись решить задачу при помощи головного мозга, написал программу, которая соединяла все точки прямыми до тех пор пока одна из них не прошле через нужное место. После этого он сумел восстановить конструктивное решение. И был страшно горд своей изобретательностью.
(Ответить) (Thread)
From: saccovanzetti
2013-12-23 03:27 am
_все_ точки?!
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: buddha239
2013-12-23 04:54 am
А еще в школе учат, что вектор - геометрический объект (я уже молчу о том, какое там определение дают)!:)
(Ответить) (Thread)
From: onanymous.myopenid.com
2013-12-23 08:43 am
А что плохого в этом (и в таком определении)?
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: kaathewise
2013-12-23 06:51 am
Мне из геометрических развлечений очень понравился вот этот сайт: http://sciencevsmagic.net/geo/
Ужасно рекомендую, если еще не.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2013-12-23 07:21 am
Он отличный, я его видел, оценил идею, оценил воплощение... но решать все равно не стал, ну противно и все :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: ext_2087110
2013-12-23 06:53 am
Точно также терпеть не мог геометрические задачи в школе.
Несмотря на то, что выигрывал областные олимпиады по математике, задачи по геометрии часто мог не решить даже школьные, из учебника.
Один знакомый кандидат наук, сказал мне, что все дело в том, что все современные учебники по геометрии - шлак, и дал мне учебник Киселева. Я добросовестно прочел его - и о чудо, школьные задачи стали внезапно очень простые, и даже на олимпиадах начало иногда получаться.
Сейчас я не знаю, это был эффект плацебо, или действительно такая разница в учебниках. Я помню, что учебник Киселева мне очень понравился, но ничего такого сверхъестественного вроде бы в нем не было.

Edited at 2013-12-23 06:53 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: a_konst
2013-12-23 10:11 am
Возможно, эффект учебника есть.
Я научился решать геометрию, читая сам летом уже новый учебник Погорелова. Потом, классе в 9, мне дали таки Киселева, он мне понравился, но мою способность решать геометрию не улучшил.
Но по-настоящему (красиво) решать "школьную" геометрию я научился, к своему изумлению, курсе на 4-5 матмеха. Возможно, для этого полезен какой-то более обширный багаж математической эрудиции.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: gul_kiev
2013-12-23 07:16 am
У меня с геометрией то же самое.
Как-то на всесоюзной олимпиаде в геометрической задаче было что-то про пересечение каких-то диагоналей правильного десятиугольника, так мне пришлось её решить методом координат: выписал координаты вершин, уравнения диагоналей, нашёл точки пересечения... Получил полный балл, потому что решение совершенно верное (хотя длинное и скучное - всё-таки у 10-угольника с этим гораздо более громоздко, чем, например, у шестиугольника), и смех, когда на разборе сказали, что один из участников решил эту задачу таким методом. :)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2013-12-23 07:21 am
Вот-вот, если я видел способ решить геометрическую задачу через уравнения, то вздыхал с облегчением.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: pffnzrpb
2013-12-23 08:35 am
По моему, олимпиадные задачи по планиметрии очень мало имеют отношения к геометрической интуиции. Они больше про угадывание того, какое построение имел ввиду автор, методом перебора. Современная геометрия, мне кажется, интереснее современной алгебры, но олимпиадные задачки по планиметрии меньше похожи на настоящую геометрию, чем задачки на делимость на настоящую алгебру (хотя я и то, и другое почти не знаю, это на уровне ощущений).
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: winpooh
2013-12-23 11:34 am
> Они больше про угадывание того, какое построение имел ввиду автор, методом перебора.

Точно! В самом чистом виде это выражается в объёмных головоломках типа "сложи большую фигульку из многих маленьких" или "сними одну проволочную загогулину с другой". Терпеть их не могу!

Правда, настоящие хакеры решают их вот так:
http://habrahabr.ru/post/194410/
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: sceptic_gztru
2013-12-23 09:22 am
Задача из учебника 8 класса, емнип.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: a_konst
2013-12-23 10:13 am
Сходите по ссылке и посмотрите, откуда задача. На первый взгляд не оценить сложность.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: sceptic_gztru
2013-12-23 10:00 am
Я, кстати, наоборот, ненавидел задачи по комбинаторике или по алгебре. Какой-то перебор, где-то что-то нужно учесть, тут -- так, там -- эдак, через 5 минут уже забываешь, с чего начинал. А в геометрии все просто -- картинку нарисовал, и вперед, смотри-любуйся, решай себе на здоровье.
(Ответить) (Thread)
From: ionial
2013-12-23 11:50 am
Я эту задачку видел в усложненном варианте.
Там не предлагалось "доказать перпендикулярность", а спрашивалось - какой там угол.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: eterevsky
2013-12-23 12:21 pm
Я в школьные годы 3 раза ездил на Всероссийскую олимпиаду, и от 1-го диплома и поездок на международную меня отделяла только геометрия. Я решал почти всё: теорию чисел, комбинаторику, алгебру... Иногда, где-то 1 раз из 3-х даже геометрию. Но недостаточно часто.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2013-12-23 12:47 pm
Ах, как я вас понимаю и сочувствую :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: a_konst
2013-12-23 01:44 pm
По большому опыту обучения детей математике (в т.ч. олимпиадной, причем детей, неплохо выступающих на олимпиадах), знаю, что
1) способности решать геометрические задачи очень трудно научить. Мало кто, даже среди успешных (олимпиадно-успешных) преподавателей умеет этому учить с предсказуемым результатом ( то есть примерно в той же пропорции, как и другим темам). Некоторые дети, конечно, научаются, но полное ощущение в процессе, что это они сами, а я был ни при чем. Но некоторые, редкие, учителя умеют научить почти всех.
2) Способности научить решать геометрические задачи тоже очень трудно научиться. Я лично много раз пытался понять, как это у некоторых получается. И серии изучал, и конспекты детские, и на занятиях сидел, вроде даже замечал отличия от своего подхода - и все равно у меня не получалось (статистически значимо, понятно, что из десятка сообразительных детей один-два хорошо будут решать и геометрию, но почти любой другой олимпиадной теме можно научить почти всех способных, а не одну пятую).

В общем, мистика какая-то с этой геометрией.

Edited at 2013-12-23 13:47 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: pffnzrpb
2013-12-23 04:10 pm
Я, после этого комментария, не поленился, открыл вашу личную информацию, нашел вас в контакте, и обнаружил, что помню вас по летнему лагерю ЮМШ, восьмого класса, хотя у нас вы тогда, не преподавали. Привет))
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: begundan
2013-12-23 03:22 pm
Когда я участвовал в математических олимпиадах, геометрические задачи всегда были самой ненавистной их частью.

Забавно, у меня наоборот, я с тоской смотрел на алгебру. А программист я средний, геометрическое видение тут редко помогает.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2013-12-23 06:44 pm
Был я в своё время на сборах перед международной олимпиадой. И там нам разные странные люди читали разные странные лекции. В том числе был один дедуля, который рассказывал нам, как применять в геометрических задачах метод поворотных гомотетий. С примерами.

А на задней парте сидели мы с Серёжей Тихомировым (он на олимпиаду не попал, но на этих сборах почему-то присутствовал) и тихо угорали. Потому что за то время, пока этот дед хотя бы просто рисовал на доске нужные точки, мы тупо составляли уравнение в комплексных координатах, моментально его решали и получали ответ раньше.

Вообще, я всегда на олимпиадах решал геометрические задачи методом "всё взять и посчитать".
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: a_konst
2013-12-24 08:11 am
Это значит, что он неудачные задачи подобрал для иллюстрации метода :)
Впрочем. как раз этот метод может быть лучше всего выражен в комплексных числах. С другими так не пройдет.
Мне было бы очень интересно посмотреть, как можно просчитать в к.ч. ту задачу, которую процитировал avva.
(Ответить) (Parent) (Thread)