?

Log in

о геометрических задачах - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

о геометрических задачах [дек. 23, 2013|02:43 am]
Anatoly Vorobey
knop предлагает задачку:
В треугольнике ABC угол B = 50 градусов, угол C = 30 градусов. Внутри треугольника выбрана точка M так, что угол MBC = 20 градусов, угол MCB = 10 градусов. Докажите, что AM перпендикулярно BC.

Тригонометрические решения не интересуют. Геометрическое - чем проще, тем лучше - интересует, и очень.


У него в комментариях есть уже геометрические решения, включая довольно простое. Если хотите добавить свое, можно прямо там.

Я попытался решить, просто чтобы посмотреть, не изменилось ли мое отношение к таким задачам. Нет, не изменилось: я не люблю и не умею решать такие геометрические задачи. Причем не знаю, что тут раньше - "не люблю" или "не умею"; скорее всего, это такие курица и яйцо. У меня всегда была дырка в голове там, где у других людей расположена геометрическая интуиция. Помните шутливую разбивку математиков на алгебраистов и аналитиков согласно тому, как они едят кукурузу? В моем представлении геометры берут початок кукурузы, держат его над открытым ртом, и трясут, ожидая при этом, что зерна сами упадут в рот. Что удивительно, они действительно падают, но только у геометров.

Когда я участвовал в математических олимпиадах, геометрические задачи всегда были самой ненавистной их частью. Первым делом, получив задание, я искал геометрическую задачу и пытался понять, есть вообще хоть какой-то шанс или лучше даже не пытаться.

Однажды, когда я был не помню в каком классе, в облоно решили устроить подготовительные тренировки для призеров областной олимпиады по математики, которые должны были ехать на республиканскую. Нас собрали в флигеле одной из центральных школ города на несколько интенсивных встреч, в течение которых разные учителя-математики решали с нами задачи и учили всяким полезным трюкам. Все это было мне не очень интересно, кроме уроков с геометром, дряхлым, еле ходившим старичком с хриплым тихим голосом. Он много замечательного рассказывал о геометрии, но главное, обладал какими-то сверхъестественными способностями решать геометрические задачи с помощью дополнительных построений. Мы приходили к нему с задачами из сборника, которые он до того не видел - и через несколько секунд после взгляда на условие он говорил, что нужно провести и какую точку отметить и как из этого следует, что нужно. Мне это казалось абсолютным волшебством, магией. Никогда не видел ничего подобного ни до того, ни после. Я лучше помню этого старичка, с которым говорил всего несколько часов в жизни, чем все другие подготовки и сами олимпиады того года.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: ny_quant
2013-12-23 01:08 am
Я тоже никогда не умел решать такие задачи.

На работе есть компания не особо обремененных обязанностями "русских", которые терроризируют друг друг друга олимпиадными задачами. Недавно один из них, отчаявшись решить задачу при помощи головного мозга, написал программу, которая соединяла все точки прямыми до тех пор пока одна из них не прошле через нужное место. После этого он сумел восстановить конструктивное решение. И был страшно горд своей изобретательностью.
(Ответить) (Thread)
From: saccovanzetti
2013-12-23 03:27 am
_все_ точки?!
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: ny_quant
2013-12-23 03:45 am
Все - известные на каждом шагу точки. Каждая вновь проведенная прямая что-то еще пересекает - образуется новая точка, и т.д. Что смущает?
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: ext_2087110
2013-12-23 06:58 am
А как же всякие хитрые ходы типа:
возьмем точку симметричную данной относительно какой-то прямой, построим здесь угол равный данному, проведем окружность и т.д. и т.п. и пр.?
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: huzhepidarasa
2013-12-23 03:37 pm
может, это проективная задача была
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: ny_quant
2013-12-23 03:43 pm
Ему еще есть над чем работать.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: michk
2013-12-23 07:02 am
Жесть какая!
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2013-12-23 04:54 am
А еще в школе учат, что вектор - геометрический объект (я уже молчу о том, какое там определение дают)!:)
(Ответить) (Thread)
From: onanymous.myopenid.com
2013-12-23 08:43 am
А что плохого в этом (и в таком определении)?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2013-12-23 09:46 am
Ну, определения там обычно просто нет.:) А в самом подходе плохо то, что не все, что можно нарисовать - геометрия.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: kaathewise
2013-12-23 06:51 am
Мне из геометрических развлечений очень понравился вот этот сайт: http://sciencevsmagic.net/geo/
Ужасно рекомендую, если еще не.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2013-12-23 07:21 am
Он отличный, я его видел, оценил идею, оценил воплощение... но решать все равно не стал, ну противно и все :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2013-12-27 05:09 am
Спасибо. Прошёл-таки.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: ext_2087110
2013-12-23 06:53 am
Точно также терпеть не мог геометрические задачи в школе.
Несмотря на то, что выигрывал областные олимпиады по математике, задачи по геометрии часто мог не решить даже школьные, из учебника.
Один знакомый кандидат наук, сказал мне, что все дело в том, что все современные учебники по геометрии - шлак, и дал мне учебник Киселева. Я добросовестно прочел его - и о чудо, школьные задачи стали внезапно очень простые, и даже на олимпиадах начало иногда получаться.
Сейчас я не знаю, это был эффект плацебо, или действительно такая разница в учебниках. Я помню, что учебник Киселева мне очень понравился, но ничего такого сверхъестественного вроде бы в нем не было.

Edited at 2013-12-23 06:53 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: a_konst
2013-12-23 10:11 am
Возможно, эффект учебника есть.
Я научился решать геометрию, читая сам летом уже новый учебник Погорелова. Потом, классе в 9, мне дали таки Киселева, он мне понравился, но мою способность решать геометрию не улучшил.
Но по-настоящему (красиво) решать "школьную" геометрию я научился, к своему изумлению, курсе на 4-5 матмеха. Возможно, для этого полезен какой-то более обширный багаж математической эрудиции.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: gul_kiev
2013-12-23 07:16 am
У меня с геометрией то же самое.
Как-то на всесоюзной олимпиаде в геометрической задаче было что-то про пересечение каких-то диагоналей правильного десятиугольника, так мне пришлось её решить методом координат: выписал координаты вершин, уравнения диагоналей, нашёл точки пересечения... Получил полный балл, потому что решение совершенно верное (хотя длинное и скучное - всё-таки у 10-угольника с этим гораздо более громоздко, чем, например, у шестиугольника), и смех, когда на разборе сказали, что один из участников решил эту задачу таким методом. :)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2013-12-23 07:21 am
Вот-вот, если я видел способ решить геометрическую задачу через уравнения, то вздыхал с облегчением.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: winpooh
2013-12-23 07:54 am
Поддерживаю. Но планиметрия - это ещё детские игрушки. Вот стереометрия - точно для людей другого биологического вида...
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: a_konst
2013-12-23 11:26 am
Да ладно.
Вот изобретать механические устройства, по своей сути не-плоские, это какой-то высший пилотаж.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: pffnzrpb
2013-12-23 08:35 am
По моему, олимпиадные задачи по планиметрии очень мало имеют отношения к геометрической интуиции. Они больше про угадывание того, какое построение имел ввиду автор, методом перебора. Современная геометрия, мне кажется, интереснее современной алгебры, но олимпиадные задачки по планиметрии меньше похожи на настоящую геометрию, чем задачки на делимость на настоящую алгебру (хотя я и то, и другое почти не знаю, это на уровне ощущений).
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: winpooh
2013-12-23 11:34 am
> Они больше про угадывание того, какое построение имел ввиду автор, методом перебора.

Точно! В самом чистом виде это выражается в объёмных головоломках типа "сложи большую фигульку из многих маленьких" или "сними одну проволочную загогулину с другой". Терпеть их не могу!

Правда, настоящие хакеры решают их вот так:
http://habrahabr.ru/post/194410/
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: pffnzrpb
2013-12-23 03:45 pm
А мне понравилось снимать проволочную фигульку :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: a_konst
2013-12-23 12:32 pm
Среди олимпиадных задач по геометрии такие есть, но далеко не большинство.
По видимости олимпиадная геометрия не имеет отношения к современной глубокой геометрии, но, парадоксальным образом, способность решать олимпиадную геометрию красиво ко многим приходит вместе со знакомством с более глубокой, не-школьной, математикой.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: pffnzrpb
2013-12-23 03:38 pm
Я сужу исключительно по скромному личному опыту. Года полтора назад, отучившись пять курсов на физика, из чистого любопытства попробовал порешать задачки городской олимпиады по математике. Олимпиадной математикой я не занимался с восьмого класса, и хотел проверить, лучше или хуже у меня получится спустя столько времени. К моему удивлению, задачи пошли очень легко, гораздо проще чем в детстве. Но геометрические оказались самыми трудными. В задачах другого типа главным преимуществом меня-взрослого надо мной-ребенком было умение строго рассуждать. В геометрических же задачах единственным преимуществом была готовность перебирать большое число вариантов прежде чем какой-то даст нужный результат. В целом, именно геометрические задачи в наибольшей степени расстраивали своей искусственностью.

Я сильно подозреваю, что умение того старичка, о котором пишет Авва, заключалось в знании большого количества типов дополнительных построений, и умении выбрать из них наиболее вероятно подходящее, исходя из сходства с ранее решенными задачами. И что студенты, познакомившиеся с более глубокой геометрией, лучше решают элементарные задачи на планиметрию в основном из-за того же, из-за чего я, физик, решаю их лучше детей -- из-за большей систематичности мышления. Кроме того, на сколько я понимаю, геометры, даже современные часто вынуждены представлять в голове довольно сложные фигуры. Это тоже, конечно, помогает.

Еще хочу добавить, что решал более "естественные" задачи из элементарной геометрии. Доказывал, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке, например. Они показались гораздо интереснее олимпиадных задач.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: a_konst
2013-12-24 07:58 am
Про современные (последние лет 5) геометрические олимпиадные задачи мне обсуждать сложно, поскольку я не в теме. И вообще с олимпиадной геометрией есть проблема, что ее трудно придумать красивой. Поле перепахано, и интересные и не-искусственные сюжеты все сложнее находить. Некоторые люди, из тех, что регулярно придумывают на питерские и российские олимпиады геометрию, знаю, делают это именно так - рисуют почти случайно сложное построение, потом половину стирают, получается задача.

Так что в некоторой степени Вы правы.
Но лишь в некоторой - если бы так было дело со всеми геометрическими задачами, эта область не привлекала бы столько внимания и интереса. Канонические образцы красивых задач по планиметрии - сборники Прасолова и Шарыгина, например.

С другой стороны, даже красивую задачу можно, конечно, решить, "продолбив" перебором вариантов или счетом. Но если бы успешность решения олимпиадной геометрии состояла только в систематичности мышления и аккуратности перебора, то это было бы заметно и на других типах задач. У меня есть коллега по ЮМШ (судя по другому комментарию, Вы можете его знать - Виталий Вальтман), который просто с запредельным каким-то мастерством решает задачи по теории чисел. Очень часто я, увидев его решение, впадал в ступор - ну как это можно придумать, кроме как тупым перебором всех известных теорем и модулей? Между тем он явно не занимается таким перебором.

Дело, видимо, в том, что в какой-то области у человека вырабатывается интуиция о том, какие методы к чему могут привести в какой ситуации. Причем именно методы рассуждений, а не отдельные теоремы.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: pffnzrpb
2013-12-24 01:04 pm
Мы, видимо, разные вещи понимаем под словом "интуиция". Когда много берешь интегралов, тоже начинаешь просто "видеть", какую замену нужно сделать, чтобы интеграл взялся, или когда нужно взять по частям, или продифференцировать по параметру. Это одни сорт интуиции, тот о котором вы говорите. С другой стороны, то что я имел в виду под геометрической интуицией, это возможность что понять, до чего-то догадаться, апеллируя к неформальному чувственному образу, картинке. Это другой тип интуиции. Пуанкаре еще писал про разделение математиков на логиков и интуитов, имея в виду интуицию именно в этом смысле.

То что я пытаюсь сказать, это то, что второй, "картиночный" тип интуиции, не очень работает для планиметрии, хотя, казалось бы, она сама картиночна по своей природе. По крайней мере мне, лично, такая интуиция больше помогает в мат. анализе, чем в планиметрии.

Почему у разных людей первый тип интуиции вырабатывается на разное, и от чего это зависит, тоже, конечно, интересный вопрос.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: a_konst
2013-12-24 01:40 pm
"Когда много берешь интегралов, тоже начинаешь просто "видеть", какую замену нужно сделать, чтобы интеграл взялся, или когда нужно взять по частям, или продифференцировать по параметру"
русский солдат столько брюквы не съест!
Нее, я столько интегралов не возьму, чтобы выработалась такая же интуиция, как на планиметрию :)

Я имел ввиду как раз "картиночную" интуицию, образную, по Вашей классификации. Дело в том, что я "вижу", какой метод применить, не столько в смысле "а, тут углы, значит надо провести окружность, в которую они все будут вписаны", сколько в смысле методов типа "я хочу доказать вот эту гипотезу, но она не зависит от этого данного, значит такие попытки доказать ее бесполезны", или обобщение задачи в правильную сторону - часто более общую формулировку легче доказать.

Впрочем, действительно, в матанализе мне эта образная интуиция помогает гораздо сильнее, солидарен с Вами.

Edited at 2013-12-24 13:40 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: pffnzrpb
2013-12-24 02:30 pm
Если помогает "картиночная" интуиция в планиметрии, здорово. Для меня это неожиданность.

Рад, что мы достигли взаимопонимания)
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: sceptic_gztru
2013-12-23 09:22 am
Задача из учебника 8 класса, емнип.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: a_konst
2013-12-23 10:13 am
Сходите по ссылке и посмотрите, откуда задача. На первый взгляд не оценить сложность.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: sceptic_gztru
2013-12-23 11:01 am
А, да, прошу прощения. Я просто в прошлом году ее решал, но, наверное, ее с олимпиады принесли.

Edited at 2013-12-23 12:00 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: sceptic_gztru
2013-12-23 10:00 am
Я, кстати, наоборот, ненавидел задачи по комбинаторике или по алгебре. Какой-то перебор, где-то что-то нужно учесть, тут -- так, там -- эдак, через 5 минут уже забываешь, с чего начинал. А в геометрии все просто -- картинку нарисовал, и вперед, смотри-любуйся, решай себе на здоровье.
(Ответить) (Thread)
From: ionial
2013-12-23 11:50 am
Я эту задачку видел в усложненном варианте.
Там не предлагалось "доказать перпендикулярность", а спрашивалось - какой там угол.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: eterevsky
2013-12-23 12:21 pm
Я в школьные годы 3 раза ездил на Всероссийскую олимпиаду, и от 1-го диплома и поездок на международную меня отделяла только геометрия. Я решал почти всё: теорию чисел, комбинаторику, алгебру... Иногда, где-то 1 раз из 3-х даже геометрию. Но недостаточно часто.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2013-12-23 12:47 pm
Ах, как я вас понимаю и сочувствую :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: a_konst
2013-12-23 01:44 pm
По большому опыту обучения детей математике (в т.ч. олимпиадной, причем детей, неплохо выступающих на олимпиадах), знаю, что
1) способности решать геометрические задачи очень трудно научить. Мало кто, даже среди успешных (олимпиадно-успешных) преподавателей умеет этому учить с предсказуемым результатом ( то есть примерно в той же пропорции, как и другим темам). Некоторые дети, конечно, научаются, но полное ощущение в процессе, что это они сами, а я был ни при чем. Но некоторые, редкие, учителя умеют научить почти всех.
2) Способности научить решать геометрические задачи тоже очень трудно научиться. Я лично много раз пытался понять, как это у некоторых получается. И серии изучал, и конспекты детские, и на занятиях сидел, вроде даже замечал отличия от своего подхода - и все равно у меня не получалось (статистически значимо, понятно, что из десятка сообразительных детей один-два хорошо будут решать и геометрию, но почти любой другой олимпиадной теме можно научить почти всех способных, а не одну пятую).

В общем, мистика какая-то с этой геометрией.

Edited at 2013-12-23 13:47 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: pffnzrpb
2013-12-23 04:10 pm
Я, после этого комментария, не поленился, открыл вашу личную информацию, нашел вас в контакте, и обнаружил, что помню вас по летнему лагерю ЮМШ, восьмого класса, хотя у нас вы тогда, не преподавали. Привет))
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: begundan
2013-12-23 03:22 pm
Когда я участвовал в математических олимпиадах, геометрические задачи всегда были самой ненавистной их частью.

Забавно, у меня наоборот, я с тоской смотрел на алгебру. А программист я средний, геометрическое видение тут редко помогает.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2013-12-23 06:44 pm
Был я в своё время на сборах перед международной олимпиадой. И там нам разные странные люди читали разные странные лекции. В том числе был один дедуля, который рассказывал нам, как применять в геометрических задачах метод поворотных гомотетий. С примерами.

А на задней парте сидели мы с Серёжей Тихомировым (он на олимпиаду не попал, но на этих сборах почему-то присутствовал) и тихо угорали. Потому что за то время, пока этот дед хотя бы просто рисовал на доске нужные точки, мы тупо составляли уравнение в комплексных координатах, моментально его решали и получали ответ раньше.

Вообще, я всегда на олимпиадах решал геометрические задачи методом "всё взять и посчитать".
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: a_konst
2013-12-24 08:11 am
Это значит, что он неудачные задачи подобрал для иллюстрации метода :)
Впрочем. как раз этот метод может быть лучше всего выражен в комплексных числах. С другими так не пройдет.
Мне было бы очень интересно посмотреть, как можно просчитать в к.ч. ту задачу, которую процитировал avva.
(Ответить) (Parent) (Thread)