?

Log in

No account? Create an account
1+2+3 - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

1+2+3 [янв. 19, 2014|07:56 pm]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

Всюду в последнее время попадаются ссылки на научно-популярное видео, где объясняют зрителю, что сумма всех натуральных чисел 1+2+3+4+5+... вовсе не уходит в бесконечность, а равна на самом деле -1/12.



Даже настоящие ученые написали об этом удивительном факте - например, астроном Фил Плейт.

Пошла уже даже обратная волна (правда, поменьше первоначальной) - обеспокоенные математики стремятся разъяснить, что бесконечная сумма положительных целых чисел не может равняться отрицательной дроби, но как-то это не очень звучит убедительно.

Что на самом деле происходит? Предположим, у нас есть формула, которая выражает сумму сходящегося бесконечного ряда. Ну скажем, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... - хорошо известно, что этот ряд все время приближается к двойке, никогда не достигая ее (сумма становится один и три четвертых... один и семь восьмых... один и пятнадцать шестнадцатых....), и поэтому математики называют двойку суммой этого всего бесконечного ряда. Есть формула, которую легко вывести, что сумма сходящейся бесконечной геометрической прогрессии, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на X - в этом примере X = 1/2 - сумма всего ряда равна 1/(1-X). Если подставить вместо X 1/2, получится двойка, все сходится.

Но теперь, когда у нас есть формула 1/(1-X), мы можем применить ее, и когда X равно 3, например, т.е. каждый следующий член в три раза больше предыдущего: 1 + 3 + 9 + 27 +... Получим, что "сумма" равна -1/2. Значит ли это, что действительно, суммируя 1 + 3 + 9 + 27 + ... мы будем приближаться к минус половине? Нет, конечно. Формула для суммы геометрической прогрессии верна только когда эта сумма сходится; для X=3 мы ее применили неправомерно, как бы метафорически. По аналогии с сходящимся рядом, можно записать как бы метафорическую "сумму" расходящегося ряда 1+3+9+27+... Есть ли в этом какой-то смысл? Какой-то есть, но не прямой. В математике все настолько взаимосвязано, что даже неправомерное применение формулы скорее всего как-то связано с членами ряда, хоть суммой его результат можно назвать лишь метафорически. Если мы подробнее разберем, как получилась формула 1/(1-X), и более тщательно рассмотрим промежуточные вычисления перед ее получением, то может выйти, скажем, что мы получим что-то вроде 1/(1-X) плюс "еще что-то", так, что это "еще что-то" уходит в ноль для рядов, которые сходятся, а в рядах, которые расходятся, подавляет собой все остальное.

То есть, может быть, верно сказать что-то вроде: в сумме 1 + 3 + 9 + 27 + ... в определенном смысле "таится" минус половина, но ее вклад затмевается собственно огромными и быстро растущими членами ряда; а в сумме 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... "таится" двойка, которую не удается затмить уменьшающимся и уходящим в ноль членам ряда. Но это, конечно, не дает нам оснований утверждать, что сумма 1 + 3 + 9 + 27 + ... "на самом деле" равна -1/2.

С суммой натуральных чисел 1+2+3+... все происходит примерно так же, просто формулы там сложнее, чем 1/(1-X). Там тоже "таится" в определенном смысле -1/12, и это очень интересно, и возможно даже объясняет кое-что в физике теории струн, хоть до конца непонятно, как это в точности там работает; но называть это суммой в прямом смысле, а не в метафорическом - нонсенс.

(при этом в том видео, на которые все дают ссылки, все "объясняют" даже не в таком метафорическом духе, что я описал выше, а как бы получают это -1/12 путем манипуляции расходящихся рядов вроде 1-1+1-1+1-1+1-1... Это чистый обман народа и фричество; хорошо известно, что складывая и переставляя члены в таких рядах, можно получить любой желаемый результат, математики это учат на первом курсе университета. То есть, если в принципе -1/12 имеет некое отношение к ряду 1+2+3+..., в научно-популярным видео к нему приходят фальшивым путем, не имеющим ничего общего с реальной связью)

Более подробные объяснения есть в этом блоге, а совсем строгий математический вывод есть у Терри Тао.
СсылкаОтветить

Comments:
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>
[User Picture]From: allocco
2014-01-19 06:13 pm
Самое забавное, конечно, что эту сумму можно физически «измерить», с помощью эффекта Казимира.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: allocco
2014-01-19 06:14 pm
А, ну у Тао в блоге это написано, собственно.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: levtsn
2014-01-19 06:24 pm
нк ващще народ
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: rednyrg721
2014-01-19 06:25 pm
Фил Плейт ещё один пост написал, где объяснил свою ошибку: www.slate.com/blogs/bad_astronomy/2014/01/18/follow_up_the_infinite_series_and_the_mind_blowing_result.html
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: Алекс Сойфер
2014-01-20 02:08 am

Нет

Он не понял своей ошибки и пытается словесными выкрутасами спасти свою репутацию, чем губит ее окончательно. По-моему, он просто дурак с раздутым самомнением.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: dragon_ru
2014-01-19 06:25 pm
А нельзя ли это как-то увязать с физической интерпретацией отрицательных температур? По крайней мере, как и должно быть, для более быстро расходящихся рядов результат получается ближе к нулю. Вот только что-то не могу придумать, как в такой модели должна выглядеть операция сложения.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2014-01-19 06:33 pm
Вроде, не только поэтому. Цимес не в том, что берётся какая-то произвольная формула и применяется там, где не надо. Важнее то, что если взять любую формулу (подчиняющуюся неким требованиям "разумности"), которая даёто ответ в данном случае, то получится именно такой ответ.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: ibsorath
2014-01-19 07:15 pm
есть ответ "бесконечность" - в ТФКП например. есть ответ "плюс бесконечность" или ответ "нет суммы" в матане. есть "минус одна вторая" в другой системе. они все разумные. а какие кстати ещё есть, кроме "сумирования" по формуле прогрессии?
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: mi_b
2014-01-19 06:43 pm
Видео неправильное, потому что в таких случаях (когда объясняют нечто про сложные объекты, не определив их, а просто демонстрируя несколько приемов обращения с ними) надо, чтобы приемы были честные. Складывание со сдвигом - нечестный прием. Если можно складыванием со сдвигом получить значение S2, то почему бы не сложить S1 с собой со сдвигом и получить (неверное) S1=1?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2014-01-19 06:51 pm
Да, видео совершенно дурацкое, я хотел об этом написать, но забыл. Сейчас добавлю, спасибо.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: sergiko
2014-01-19 06:46 pm
давайте рассмотрим функции x и |x|.

Сначала заметим, что когда х-положительный, например 5, то |x|=x (и оба =5).

А потом как-бы продолжим это равенство в отрицательную область : |x|=x, откуда выведем |-5|=-5. и таким образом (тк |-5|=5) получим что -5=5. Может быть в этом тоже "таится определенный смысл и даже кое-то в физике можно этим объяснить" -)) ?.
(Ответить) (Thread)
From: huzhepidarasa
2014-01-19 07:52 pm
Тот, кто написал символ ||, видимо, умеет обращаться с отрицательными числами, так что такие рассуждения выглядят несколько натянуто.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: winpooh
2014-01-19 06:52 pm
Сумма расходящегося ряда не есть число в обычном понимании. Его нельзя просто так вот взять и сравнить с тем, что справа, без дополнительных притопов, прихлопов и определений. А так - type mismatch, compile failed.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: sleeping_death
2014-01-19 06:54 pm
а это точно "математика", не "юмор"? ))
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: janatem
2014-01-19 07:13 pm
Мне больше нравится представление этой «суммы» как значение дзета-функции в -1.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: ibsorath
2014-01-19 07:18 pm
а оно не окажется в некотором смысле эквивалентным тому, что получается по формуле прогрессии? ну то есть может быть так, что способ, которым вычисляется "значение" дзета-функции в -1 окажется тем же, что и способ "вычисления" через прогрессию?
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: jedal
2014-01-19 07:16 pm
> Это чистый обман народа и фричество; хорошо известно, что складывая и переставляя члены в таких рядах, можно получить любой желаемый результат

Все-таки когда мы не меняем порядок членов, а сдвигаем и складываем, это соответствует примерно «добавлению градуировки» — т.е. переходу от числового ряда $\sum a_n$ к степенному ряду $\sum a_n t^n$ — и манипуляциям в кольце формальных степенных рядов (умножению на $1+t^k$, типа).

Ну дальше то, о чем вы говорите (как заметил Эйлер, $\sum(-1)^n n^{-s}t^s$ — рациональная функция, у которой можно вычислить значение в единице...).
(Ответить) (Thread)
From: asox
2014-01-19 08:46 pm
Гхм.
А может проще?
Частичная сумма геометрической прогрессии n первых членов

S = b1(1 - qn) / (1 - q)

(да, я подсмотрел в википедии)
Ну а дальше видно, что если q < 1, то с увеличением n сумма стремится к конечному числу (при желании легко проделать соотв. преобразования и убедиться, что слагаемое qn / (1 - q) стремится к нулю).

А если q > 1, то сумма расходится.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: vlad_suh
2014-01-19 09:19 pm
Собственно, это q^n и есть тот "тайный" параметр, про который пишет avva. При n=+inf и q<1 он - 0.

Edited at 2014-01-19 21:19 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: glukanat
2014-01-19 08:47 pm
Два момента, если мы говорим про сумму степеней двойки (1+2+4+...), то как 2-адическое число она вполне законно равна -1, и это ничему не мешает. Хотя конечно ни в какой p-адике одну двенадцатую не получить
Второе, насколько я понимаю в теории перенормировок собственно и считают условно сходящийся ряд, потому в видео возможно и показали это процесс. Насколько физично взятие скобок именно таким образом - не знаю
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: rozenfag
2014-01-19 09:02 pm
Недавно читал стенограмму лекции Леона Тахтаджяна, там рассказывалось про эту формулу, но как-то совершенно невнятно.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: a_konst
2014-01-20 07:33 am

взгляд математика

Все это так, да не совсем так.
Во-первых, любую сумму перестановкой слагаемых можно получить не у любого расходящегося ряда, а как раз у любого сходящегося, но условно (а не абсолютно) сходящегося.

Во-вторых, в свете этого факта, понятно, что суммирование бесконечных рядов - это функция от последовательности слагаемых, очень чувствительная к перестановкам. Отсюда понятно, что переставлять слагаемые у бесконечного ряда в процессе поиска "суммы" нельзя.

В-третьих, с чего бы эта функция на бесконечных рядах должна давать что-то похожее на определение предела? Предел - хорошая штука, там где работает. Если у частичных сумм есть конечный предел - это хорошее определение суммы ряда. Если нет предела, а какое-то число, обладающее некими интуитивными свойствами "суммы", с рядом связать хочется - значит надо искать другие определения, а не предел. (Если что, я собаку сьел не одну курсовую написал на мат-мехе про обобщенные суммирования рядов)
Единственное жесткое ограничение на определение суммы бесконечного ряда - это то, что ровно этот же метод в применении к конечному ряду должен давать обычную сумму.
Как-то люди упускают, что определение через предел частичных сумм тоже условно.


Ваши возражения можно прозрачно перенести на дифференцирование не-дифференциуемых функций, в смысле обобщенных производных и распределений. Там тоже твориться мистика, для человека, привыкшего воспринимать производную как предел угла наклона касательных. Но эта техника работает, и дает адекватные результаты, строго математические.

Edited at 2014-01-20 09:29 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: ibsorath
2014-01-20 10:02 am

Re: взгляд математика

хороший комментарий, да

всё ощущение "мистики" как раз и возникает от смешивания "суммы" как некой специальной функции от последовательности слагаемых (как в суммировании по Чезаро, которое Вы напомнили выше), и суммы как предела. Люди начинают последовательно складывать 1, 2, 3, ..., видят что это даёт стремящийся к бесконечности положительный результат, а с другой стороны вроде как "сумма" (в специальном смысле) будет конечная, да ещё и возможно отрицательной - и возникает такое вот ощущение чуда. Но оно вызвано смешиванием разных смыслов слова "сумма", конечно.

Если бы в таких видео и статейках сразу говорили так: математики называют "суммой ряда" определённую функцию, которая для многих рядов совпадает с тем, к чему стремится частичная сумма ряда, но для других вовсе нет - то никакого ощущения "чудеса да и только" ни у кого бы не возникло, я думаю.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>