?

Log in

No account? Create an account
силы как векторы и невекторы - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

силы как векторы и невекторы [авг. 24, 2014|09:54 am]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

В обычном изложении ньютоновской механики (в школе, в первом университетском курсе) силу обычно называют векторной величиной. Вот есть тело, на него действует сила, направление этого действия и его величину можно обозначить с помощью вектора.

Что такое вектор - в контексте обычного трехмерного эвклидового пространства, не входя в более высокие материи? С математической точки зрения это просто точка пространства, у которой есть определенные координаты. Задав другую систему координат, мы для той же точки получим другие координаты, но сама точка не изменится.

Физик нарисует стрелку в пространстве от точки A до точки B и скажет: это вектор. Его направление - от A к B, его величина - расстояние между A и B. Но на самом деле конкретные точки A,B не играют роли: эту стрелку можно двигать параллельно в пространстве куда угодно, и это останется тот же вектор. Вот я ее сдвинул так, что она теперь идет от точки C к точке D, и это все тот же вектор. Если у меня есть система координат с началом в точке O, то я всегда могу сдвинуть стрелку так, чтобы она начиналась в O, а кончалась в какой-то V, и тогда векторы OV, AB, CD - это все один и тот же вектор. С математической точки зрения этот вектор - точка V (т.е. конец стрелки, если переместить ее начало в начало координат), и его координаты - координаты точки V.

Пока мы имеем дело с телами, на которые можно смотреть как на точки с массой, нет проблемы смотреть на силу как на вектор. Вот у нас есть тело в точке A, на него действует сила, мы представляем ее в виде вектора AB. Вообще говоря верно, что это тот же вектор, что CD и OV, но нам это не мешает, мы не путаем эту силу с другой силой, которая действует на другое тело в точке C (пусть даже с той же величиной и направлением). Мы знаем, когда мы рассматриваем силы в A, а когда в C.

Но теперь предствим себе, что наши (твердые) тела имеют размер, которым нельзя пренебречь, как обычно и есть в реальной жизни. Например, представим себе стальной куб размером метр на метр на метр. Можно представить его висящим в пустом пространстве (чтобы не заниматься силой тяжести и трением), или лежащим на очень гладкой ледяной поверхности, по которой он свободно скользит без трения. Если я толкаю (прилагаю силу) в центр грани перпендикулярно, то куб начнет двигаться прямо. Если я толкну его тоже перпендикулярно его грани, но рядом с краем, он начинет и двигаться, и вращаться. Если на куб действуют одновременно много всяких сил - я толкаю его с одной стороны, вы с другой, еще с какой-то стороны он удерживается веревкой с такой-то силой, и так далее - то для того, чтобы понять движение куба, нужно для каждой силы указать не только направление и величину, но и конкретную точку приложения.

Пусть у меня есть куб (или другое твердое тело), на которое действуют какие-то силы: в точке A сила, которую описывает вектор AB, в точке C вектор CD, в точке E вектор EF. Для простоты предположим, что все силы лежат в одной плоскости (например: мы тянем и толкаем куб на льду в двух возможных направлениях и их комбинациях). Можно все эти силы "сложить" вместе так, чтобы получилась одна результирующая сила (resultant force), которая и определит движение куба. Как это сделать? Геометрически это делается так: мы сдвигаем вектор AB по его линии приложения, и вектор CD по его линии приложения, пока они не пересекутся в одной точке M, так что у нас получились вектора MA' и MD', идентичные исходным - и при этом не просто параллельные им, а даже лежащие на той же прямой. Мы складываем векторы MA' и MD' по обычному закону сложения векторов (закон параллелограмма), и получаем какой-то вектор MH. Его мы тоже теперь двигаем вместе с вектором EF по их линиям приложения, пока они не будут начинаться в одной точке, и затем складываем. Продолжаем эту процедуру, пока не добавим все силы, действующие на куб, и в итоге получим какой-то вектор KL какой-то величины, это и есть результирующая сила; продолжив KL до той точки, где он пересекается с кубом, мы увидим, в каком месте можно считать, что прилагается результирующая сила.

(я специально не упоминаю определенные сложности, которые возникают в этой процедуре, если некоторые из сил параллельны друг другу; их почти всегда можно решить, а когда нельзя, они решаются добавлением так называемой пары сил, но я не хочу углубляться сейчас в эти тонкости)

Если присмотреться, то когда мы выполняем вышеуказанную процедуру сложения сил, прилагаемых к данному телу, мы не выполняем векторное сложение. С точки зрения векторного сложения любой вектор можно двигать параллельно куда угодно, и для того, чтобы сложить AB, CD, EF достаточно, например, сдвинуть второй и третий вектор так, чтобы они тоже начинались в A, и получить какие-то AB, AD', AF', после чего обычным способом сложить все три вектора. Если мы выполним эту процедуру, мы получим некий вектор AL', который будет параллелен тому вектору KL, который мы получили раньше, и даст правильную величину и направление результирующей силы, но не ее точку приложения. В итоге мы не сможем определить таким способом, как будет двигаться куб.

(есть способ обойти эту сложность, пользуясь понятием "момент силы", о котором если вы знаете - то хорошо, но я не буду сейчас подробно говорить. Момент силы описывает то, насколько данная сила стремится вращать тело вокруг заданной точки O. Если мы выберем удобную точку O, и просуммируем моменты всех исходных сил, то получим момент результирующей силы; эта величина позволить нам понять, насколько надо сдвинуть вектор AL', чтобы получить правильную линию приложения силы KL. Но это в некотором смысле удобный "трюк", позволяющий нам складывать силы как вектора, не обращая внимания на точки приложения, а потом все "подправить").

Если мы, складывая силы описанным выше "правильным" способом - сдвигая их только вдоль их линий приложения, пока они не пересекутся - не делаем векторное сложение, то что мы на самом деле делаем? Выходит, что силы с математической точки зрения не векторы на самом деле, но что же они тогда? Когда я задал этот вопрос на физическом форуме, сначала несколько человек не поняли, о чем я вообще говорю, а потом кто-то указал мне на понятие "line vector" (не знаю, как по-русски), который является как раз вектором, "привязанным" к определенной прямой линии, которая должна быть ему параллельна: скажем, можно обозначить его парой (L, AB), где L - прямая в трехмерном пространстве, AB - обычный вектор с математической точки зрения, параллельный этой прямой, и тогда это обозначает стрелку, которая получится, если AB сдвинуть так, чтобы он лежал внутри прямой L. Эту стрелку еще можно двигать туда-сюда вдоль прямой, и это не меняет сущности "line vector"; это обстоятельство соответствует тому физическому факту, что в механике можно "двигать" вектор силы вдоль его линии приложения, не меняя ситуации.

Если поискать "line vector" в разных книгах, то это понятие находится в многих книгах о механике, написанных для инженеров, а не физиков - а также иногда для физиков, но в старых книгах, 50 и 100 лет назад. Сейчас обычно обходятся без него, и мне хотелось бы понять получше, почему и как. Верно ли будет сказать, что ньютоновская механика в ее общей формулировке по сути дела требует этого понятия, т.е. требует того, чтобы сила была не просто вектором, а вектором, привязанным к определенной прямой? Наверное, и да и нет. На практике обычно быстро вводят понятия момента сил и центра масс; с их помощью можно любую силу, приложенную к телу в какой-то точке, разбить на две составляющие - "толкающую", которую можно считать приложенной к центру масс, и "вращающую", которая описывается с помощью момента сил. И тогда мы опять можем считать тело одной лишь точкой с массой, на которую действует толкающая сила-вектор и вращающий момент. Кроме того, с принципиальной точки зрения можно всегда заявить, что твердое тело это набор частиц, которые связаны друг с другом внутренними силами. Если частицы достаточно малы, то любая сила прилагается на самом деле ко всему телу, если телом считать малую частицу, и бессмысленно говорить о приложении силы "у края" тела. Такая точка зрения неудобна для того, чтобы построить мост или подъемный кран, но ее можно считать, наверное, более фундаментальной для описания ньютоновской механики.

Наверное (?) по этим причинам, в школьных курсах физики или в университетских курсах механики для факультетов точных наук не рассматривается (по крайней мере по моему опыту) этот формализм "line vectors", и как бы не обращают особого внимания на точку/линию приложения силы, предпочитая считать тела точечными, а силы - векторами. Но мне лично кажется, что я бы лучше понимал простейшую ньютоновскую механику тел и сил, если бы мне в свое время преподавали ее, обращая внимание на эти обстоятельства. И еще - мне теперь любопытно, как обычно формулировалась ньютоновская механика, и как ее интуитивно понимали люди, до того, как в 19-м веке воцарилась атомарная теория. Кажется, если нет легкой автоматической картинки в голове "все делится на атомы и внутренние силы между ними", то неизбежно надо учитывать линии приложения сил даже в самых простых описаниях. Хотя, с другой стороны, до 19 века векторного анализа тоже не существовало, так что поди еще пойми, как они на самом деле это представляли (а хотелось бы понять!).

Поправки и замечания от знающих людей принимаются, как обычно, с благодарностью.

(P.S. я понимаю, что эта запись была бы намного более понятной, если бы в ней приводилось несколько рисунков и диаграмм, и сожалею, что у меня сейчас нет времени и сил их сделать).
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: mtsyr
2014-08-24 12:27 pm
По 2 закону Ньютона, при приложении силы изменяется (обощенный) момент системы. Если отождествлять силы, для которых скорость этого изменения совпадает, то естественно считать, что силы - это и есть элементы касательного пространства к пространству моментов, т. е. всевозможные скорости изменения моментов.

Заметим, что для твердого тела пространство моментов 6-мерно, множество пар {точка приложения;вектор} тоже 6-мерно, но оно при отождествлении схлопывается до пространства скользящих векторов, которое 5-мерно. Отсюда видно, что есть силы, не выражаемые скользящими векторами ("пары сил").

Т. е. "правильный" абстрактный взгляд - что сила - это вектор, живущий в совсем другом пространстве (касательном пространстве к кокасательному расслоению конфигурационного пространства), которое для материальной точки (и только для неё) можно отождествить с нашим обычным пространством. "Инженерный" взгляд на силу, конечно, проще: взяли и потянули, тогда это вектор плюс точка его приложения.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2014-08-24 04:32 pm
Знаете, я почти понял все, что вы написали, но только почти. Я не помню, из чего состоит пространство моментов и почему оно 6-мерно, и "касательное пространство к кокасательному расслоению" поставило меня в тупик (я знаю эти слова и помню в общих чертах очень базовую дифф. геометрию, но у меня не получается представить, как это выглядит и как относится к данному обсуждению).

Если вы можете подробнее описать/определить все пространства, о которых вы говорит (начиная с конфигурационного), и что именно являются их точками, и как именно работает эта идентификация двух 6-мерных пространств и почему при ней происходит "схлопывание", буду вам очень благодарен.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: mtsyr
2014-08-24 07:08 pm
Можно объяснить попроще. Физически, воздействие на систему описывается набором сил (вместе с точками их приложения). Эти наборы образуют векторное пространство (назовем его V): при сложении двух наборов складываются только векторы, приложенные к одинаковым точкам. Это пространство очень велико (в случае твердого тела - бесконечномерно), и естественно рассмотреть его фактор по подпространству V_0 наборов, которые ничего не делают с системой. Тут уж как повезет; например, для системы грузиков, скрепленных пружинками, V_0 будет нулевым, так что мы ничего интересного не получим.

Фактор-пространство удобно описывать, предъявляя линейное отображение из V куда-нибудь с ядром V_0. В случае твердого тела можно взять отображение, которое данному набору сопоставляет сумму всех сил из него и их момент относительно какой-нибудь точки. Интересующее нас факторпространство поэтому шестимерно. Альтернативно, можно явно построить представителя в каждом классе эквивалентности; это и есть сведение к равнодействующей и паре сил.

Если вы посмотрите, где в этой схеме скользящие векторы, то их место далеко от фундаментального: это представители некоторых конкретных типов воздействия именно в случае твердого тела, они не образуют векторного пространства и т. д и т. п.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: mtsyr
2014-08-24 08:48 pm
Теперь к вашим вопросам :). Конфигурационное пространство - просто многообразие всех возможных положений (для твердого тела 6-мерное: три степени свободы для центра, и три - для поворота вокруг центра). Скорость - это вектор в касательном пространстве к конфигурационному, а ускорение - в касательному пространстве к касательному пространству (подчиняющийся естественному ограничению). Таким образом, пространства скоростей и ускорений - тоже 6-мерны. Поскольку воздействие на систему определяется придаваемым ускорением, мы и должны были ожидать, что пространство различных воздействий будет 6-мерным.

Чтобы все это правильно работало, вместо скоростей нужно рассматривать моменты; это ведет к кокасательному расслоению вместо касательного. В случае твердого тела пространство моментов - это 6-мерное пространство, где живут пары (импульс, угловой момент); заметим, что наше фактор-пространство сил и получило описание в терминах воздействия на эту пару (а чтобы получить из нее, например, угловое ускорение, надо знать распределение масс в теле).

Что касается двух 6-мерных пространств в самом первом комментарии, то они никак не отождествляются, а совпадение их размерностей случайно. То, что многообразие скользящих векторов 5-мерно, видеть легко: расслоили 6-мерное многообразие связанных векторов на одномерные слои, а потом отождествили все точки каждого слоя.
(Ответить) (Parent) (Thread)