?

Log in

о тривиальном - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

о тривиальном [янв. 11, 2015|02:33 pm]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

(математическое)

Когда я пытаюсь понять какой-то математический материал, мне часто помогает прием, который можно назвать "подробный разбор тривиального примера".

Скажем, когда я старался уложить в голове ковариантные и контравариантные векторы, математический и физический взгляд на них, я подробно разобрал тривиальный пример в одном измерении, чтобы увидеть, что в какую сторону и как изменяется при смене базиса (даже написал об этом запись как-то).

Если бы я преподавал мат. анализ студентам, то наверное попросил бы их проработать правило сложной функции (chain rule) на тривиальном примере, что-то вроде g(x) = (3x)^2 в точке x=4. Преимущество тривиального примера в том, что можно параллельно просто раскрыть скобки, взять производную напрямую, и проверить, что результат сходится. Это сразу дает обратную связь изучающему: правильно ли понял все формулы и как их применять; если сошлось, то приятно, если не сошлось, то отлично, важная информация, вскрылось ключевое непонимание чего-то. Сравните это со статьей в википедии, где предлагается разбор примера g(x) = (3x^2-5x)^7.

Третий пример: сейчас я читаю учебник дифференциальной геометрии и разбираюсь в дифференциальных формах, внешних производных, теореме Стокса на многообразиях итд. Чтобы проверить, что я хорошо понимаю определение касательного пространства, 1-формы на нем, интеграла от n-формы итд., я проверяю себя на тривиальном примере - многообразии R^2, у которого в точке (0,0) я рассматриваю две карты в атласе: скажем, (x,y)->(2x,3y) и еще одна в таком же духе, но с другими коэффициентами. Это достаточно для того, чтобы сделать дифференциалы нетривиальными и показать мне, как меняются, скажем, компоненты дифференциальных форм или базисные векторы касательного пространства при переходе от карты к карте. Когда в учебнике написано, что интегрируют n-формы, а не гладкие функции на многообразии, потому что иначе интеграл менялся бы в зависимости от выбранной карты, я могу это сразу наглядно проверить в моем тривиальном примере, и это укрепляет понимание в голове.

Если бы я писал математические учебники, то постоянно бы в них использовал разборы тривиальных примеров. Меж тем, в тех учебниках, что я читал, мне такие разборы почти никогда не попадались, причем даже в учебниках, которые особенно хорошо с моей точки зрения объясняют какую-то тему. Можно придумать несколько объяснений их отсутствия:

1. Большинство читателей хорошо понимают материал и так, этот прием им просто не нужен.
2. У меня нетипично устроены мозги в том смысле, что подробный разбор тривиального примера помогает мне что-то понять, но большинству читателей он будет только мешать и раздражать своей тривиальностью.
3. Авторы книг не видят нужды в таком разборе, потому что недооценивают, насколько тяжело читателю привыкнуть и освоиться с новыми для него понятиями. Или им жаль тратить место в книге на подробный разбор тривиальностей и они предпочитают демонстрировать новые понятия и техники на чем-то более серьезном и нетривиальном.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: galija
2015-01-11 12:43 pm
я так когда-то неплохо сдала американский экзамен по теории вероятности, подставляя в каждую задачу тривиальный пример ))
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: orleanz
2015-01-11 12:43 pm
Ваш пойнт можно развить еще дальше - в наше время, когда учебники можно читать на компьютерах/планшетах/ридерах, явно напрашивается, даже можно сказать, ВОПИЕТ идея сделать подачу материала много-уровневой. Скажем, основной уровень, как сейчас, плюс еще уровень детальнейшей иллюстрации на простых примерах, спрятанный "под кат" (expandable section). Причем, трудоемкую задачу написания детального уровня автор учебника может возложить на своих аспирантов. И это это детальный уровень изложения (в "схлопнутом виде") вообще никому не будет будет мешать, но зато кому-то - очень помогать. Почему такого нет до сих пор? Инерция, ужасающая инерция издательского дела... Ландау писал учебник на бумаге, значит, ТАК НАДО и так будет еще сто лет.



Edited at 2015-01-11 12:44 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2015-01-11 06:23 pm
Да, мне тоже так кажется. Глупо приспосабливать учебник только под один тип читателей (тех, кому не нужны тривиальные примеры - или тех, кому они очень интересны),
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: mr_k_bx
2015-01-12 02:37 am
лайк.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: pennanth
2015-01-12 06:11 am
Подобная идея приходила в голову и мне. Однако ж попытка написать что-нибудь в таком духе показала, что объем работы возрастает сильно (причем речь идет о документации к не очень сложной программе). Да и мнение автора и читателей о количестве информации "до ката" и "под катом" часто не совпадало (помимо прочих разногласий). В итоге, получается 2 документа: краткий курс и ПСС дайджест и детализированная спецификация.

Возможно, что параллельное чтение 2 книг на одну тему (общий и подробный курсы) позволит добиться похожего результата с "ручной" интерактивностью.

P.S. Кстати, учебник матанализа Фихтенгольца написан с той же идеей "ступенчатой детализации", нет?
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: ionial
2015-01-12 08:42 pm
Так написаны Фихтенгольц и Смирнов - крупный шрифт и мелкий шрифт.

Еще в версте есть вариант "талмудический" - где в центре страницы крупным шрифтом идет текст, а обрамляют его 2 или три рамки комментариев, каждая последующая шрифтом помельче.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: krimsky
2015-01-11 12:51 pm
3. Авторы книг недооценивают насколько тяжело читателю.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2015-01-11 06:26 pm
Есть ряд ситуаций, когда читатель предпочел бы увидеть книжку потоньше. Например, если читатель - не очень старательный студент, который хочет "выучить" материал к экзамену.:) Выше orleanz предлагает весьма симпатичную мне идею регулируемого читателем учебника.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: os80
2015-02-04 11:12 pm
Однако толстый учебник, который можно "просто читать" предпочтительнее тонкого, который надо прорабатывать.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: gray_bird
2015-01-11 12:52 pm

Есть четвертый вариант, авторы боятся писать примеры "понятные каждому дураку".
Есть иррациональное опасение, что это принижает важность предмета их деятельности.

(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: _arty
2015-01-11 12:55 pm
я сейчас учу немецкий, и сталкиваюсь с аналогичной проблемой: примеры, предложенные для подробного разбора одного правила, содержат слишком много подробностей, отсылающих к другим правилам и исключениям. Эта мешанина путает и отвлекает от того, что важно в текущий момент. По моим ощущениям, многие учителя и авторы даже не задумываются об этом.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: aviaangel
2015-01-11 12:56 pm
Программист хоть куда юнит-тест привнесет.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: gdt
2015-01-11 01:08 pm
вот! :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: _glav_
2015-01-11 12:56 pm
Смутно помню ощущение от книжек "по информатике", что в них часто присутствовали тривиальные примеры, и благодаря этому ничего понятно не было. Потому что тривиальные примеры были очевидны и так, и новые понятия никак не использовались для понимания этих примеров. Зато когда сразу за тривиальным примером шла реальная задача, не было понятно, как к ней подступиться, т.к. связь теории с практикой не образовалась.

Для понимания нового материала примеры непременно необходимы. Вопрос в том, будет ли данный конкретный пример иллюстративный для данного конкретного ученика.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: utnapishti
2015-01-11 01:00 pm
(Не помню, говорили ли мы с тобой об этой книге)
Есть учебник комплексного анализа, в котором почти всё объясняется визуально и на тривиальных (насколько возможно) примерах: Tristan Needham. Visual Complex Analysis. (Эту книгу легко найти в интернете.) (Мне сейчас желательно хоть слегка разобраться в основных результатах комплексного анализа; думаю, что эта книга - мой единственный шанс.)

По поводу твоего вопроса - я тоже его себе задавал, и мне кажется, что ответ скорее 3.


А к тому, почему при смене координат умножают не на матрицу перехода, а на обратную, у меня был ещё более тривиальный (но в некотором смысле и более общий, т. к. это даже не "линейный оператор") одномерный пример: двигаем линейку на 1 направо; логично описать преобразование как +1; тем не менее, координаты векторов меняются на -1.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: Boris Sivko
2015-01-11 01:00 pm
Одним из вариантов является то, что редакторы форсируют уменьшение объема материала.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: gdt
2015-01-11 01:06 pm
По-моему, разбор "тривиальных примеров" не надо давать в учебнике, а стоит давать в качестве самостоятельного упражнения. Весь смысл в том, что вы сами проходите этой дорожкой, эффект другой, если вы просто читаете. Пример на то и тривиальный, что его можно самостоятельно разобрать "вручную" и лучше прочувствовать, что представляет из себя то или иное понятие.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: alaev
2015-01-11 06:50 pm
Собственно, обучение на мехмате, например, и состоит из теории и решения задач разной степени сложности. Но в сами учебники простые задачи не принято почему-то помещать.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: click0
2015-01-11 01:07 pm
+1
Надо бы учебники делать в нескольких редакциях, в зависимости от типа мышления и (базового) уровня знаний.
И в заданиях на повторения материала указывать на степень сложности, как у Кнута.
(Ответить) (Thread)
From: algotua
2015-01-11 01:30 pm
Вот похожий пример из MSDN.
http://msdn.microsoft.com/en-us/library/gg328029.aspx
Чтобы объяснить, как взаимодействовать с MS CRM через API, написана простыня кода со всеми возможными проверками и обработками исключений.
За этой многословностью с первого раза тяжело понять, а что собственно хотел сказать автор :)

Edited at 2015-01-11 13:31 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: elisapeyron
2015-01-11 02:02 pm
лично мне кажется что большинство тривиальных примеров изложенных в учебнике с помощью слов перестают быть тривиальными. потому что нужно начинать разбираться что автор имеет в виду. куда лучше когда преподаватель разбирает примеры на лекции (ну лично для меня). тогда действительно несколько примеров, даже не обязательно тривиальных, а просто удачных решают дело.
но я не знаю как у других. я мыслю довольно образно-интуитивно.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: ilya_dogolazky
2015-01-11 02:14 pm
вы путаете понятия "учебник" и "самоучитель"
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: dzz
2015-01-11 02:18 pm
Видимо, авторы считают тривиальные примеры слишком тривиальными ;)

Авторы книг по IT-технологиям вообще и программированию в частности часто впадают в другую крайность - излагают простейший из возможных вариантов применения технологии, оставляя читателю разбираться с остальным самостоятельно.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: volphil
2015-01-11 02:42 pm
По поводу ко- и контра- вариантных векторов есть гениальный учебник Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ". Там есть и теория, и примеры. Довольно просто и при этом содержательно объяснена суть дела.

Т.е. вариант 4: есть разные учебники, неравноценные по качеству.


Но вообще-то этот дуализм ко/контра не так прост, как может показаться при разборе конкретики. Он всплывает в том или ином виде в самых разных разделах математики\физики, за ним скрываются весьма глубокие нетривиальные вещи.
И чем глубже рассмотрение, тем труднее подобрать простые, но содержательные примеры.

Edited at 2015-01-11 14:45 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: bvlb
2015-01-11 02:45 pm
а) Это вряд-ли было бы практично. Большинство учебников стало бы невообразимого размера, суть бы терялась.
б) Одному подходит один пример, другому другой. Одному без примера очевидно одно место, другому другое. Самые ужасные методические пособия появляются у педагогов, пытающихся свои собственные удобные им примеры распространить на всех детей.
в) Мат. учебник практически невозможно читать без какого-то уровня мат. культуры, понимания как вообще их читать. (попробовать доказывать, усилять-ослаблять условия, вертеть примеры). Придумывать самому себе удобные примеры для понимания это наверное часть такой культуры.
г) Без решения задачек далеко не уйдешь. А задачки очень быстро и автоматически приводят к необходимости разбирать тривиальные примеры.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: xaxam
2015-01-11 03:30 pm
Надо разбирать простейший нетривиальный пример. Скажем, в случае с дифференциалом надо (а) сдвигать начало координат и (б) хоть какую-нибудь нелинейность добавить.

А в случае с "цепным правилом", наоборот, разобраться, что происходит при суперпозиции сначала линейных функций с общей неподвижной точкой x->ax и y->by, потом - общих аффинных (чтоб понять, в каких точках надо брать производные), а уж потом - что должно быть совершенно очевидным к этому моменту, - производных гладких функций.

В этом направлении можно и должно двигаться дальше. Скажем, доказательства/разбор сложных теорем надо проводить в той простейшей ситуации, когда метод доказательства работает. При этом запросто может оказаться, что в такой простейшей ситуации утверждение элементарно доказывается какими-то другими способами, - не надо этого стесняться, надо сначала научиться плавать в воде по грудь, где можно ходить, - а уж потом двигать на глубину.

Но учиться плавать там, где вода по колено (или по пояс) - неправильно, и создаёт искусственные трудности (ногами об дно бьёшься).
(Ответить) (Thread)
From: dmpogo
2015-01-11 06:13 pm
Это хорошее замечание. Я для себя конечно всегда проверяю тривиальные примеры в первую очередь, но при преподавании опасность на этом и остановиться. А тогда у аудитории остается впечатление что их дурят, придумывая сложности где их нет.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: dmpogo
2015-01-11 06:15 pm
Но учиться плавать там, где вода по колено (или по пояс)

Свойство многих публичных бассейнов, включая наши университетские :(
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2015-01-11 07:56 pm
Скажем, доказательства/разбор сложных теорем надо проводить в той простейшей ситуации, когда метод доказательства работает. При этом запросто может оказаться, что в такой простейшей ситуации утверждение элементарно доказывается какими-то другими способами

Я не уверен, что правильно понимаю это - можно пример-два такой "простейшей ситуации, когда метод док-ва работает"?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: xaxam
2015-01-11 08:19 pm
Дайте я подумаю и вспомню. Первое, что приходит в голову, - простейшие алгебраические теоремы про свойства фактор-алгебр, скажем, C[x]/
[Error: Irreparable invalid markup ('<p(x)>') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.]

Дайте я подумаю и вспомню. Первое, что приходит в голову, - простейшие алгебраические теоремы про свойства фактор-алгебр, скажем, C[x]/<p(x)> в случае одной переменной. Если у полинома р(х) есть только простые корни, то такая алгебра есть алгебра функций на n точках, где n - степень полинома. Такая алгебра тривиально изоморфна нескольким копиям основной алгебры С, и многие свойства становятся очевидными. Но поучительно разобрать, как работает алгоритм деления с остатком, чтоб научиться работать с общим случаем.

Арнольд в своё время разбирал случай полинома p(x)=x^2 при помощи деформаций: заменим p(x) на p(x)-\epsilon. Алгебра функций на двух точках плюс-минус-корень-из-эпсилон порождена двумя функциями, которые можно выбрать двумя способами.

Первый - дельтаобразный, - выбираем две функции, которые в корнях плюс-минус-корень-из-эпсилон равны 1 и 0 (в зависимости от выбора корня), У таких функций нет естественного предела при эпсилон -> 0.

Второй вариант ("правильный"), - выбрать функции f_1(x)=1, f_2(x)=x, не зависящие от эпсилон вовсе. Они-то и породят фактор-алгебру.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: 38irtimd
2015-01-12 01:00 pm
> Надо разбирать простейший нетривиальный пример

именно, как завещал великий Гельфанд
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: nechaman
2015-01-11 04:24 pm
Может быть авторы ожидают от грамотного читателя, что он сам такой пример составит. И полезно.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: aixie
2015-01-11 04:59 pm
Спасибо, да.
А я Выгодского сейчас кусаю.
(Ответить) (Thread)
From: dmpogo
2015-01-11 06:10 pm
Я не стал читать ваш пример про вектора, но для физикой интерпретации, нет ли там опасности в одномерном случае ? Одномерные многообразия всегда плоски, а в плоском постранстве, с тривиальной метрикой, различие замазано.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: buddha239
2015-01-11 06:31 pm
Конечно же, для разных задач "тривиальности" разные; в слишком простых ситуациях все может быть равно нулю тождественно.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2015-01-11 08:00 pm
Про вектора я писал вообще только про линейные пространства, без многообразий. Я всего лишь хотел четко прояснить, для себя в первую очередь, и на простом примере, эквивалентность математического подхода к ко- и контравариантным векторам (как членам абстрактных пространств V* или V) и физического (как наборам координат, которые трансформируются таким-то образом при смене базиса).
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: restricted_ptr
2015-01-11 06:43 pm
По моему в первую очередь #3, скорее из-за expert bias.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: f137
2015-01-11 07:53 pm
Это ведь учебник, а не самоучитель. Предполагается, что такой пример даст преподаватель.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: zino4ka
2015-01-11 10:11 pm
Я ни разу не математик, только физмат школу закончила, но именно так я для себя начинаю осмысление сколько-нибудь заковыристых задач: свести к относительно элементарному примеру (n = 2 (или 3, или 4)) и начать "двигать ползунок", чтоб понять, в какую сторону что едет.

Что до учебников, мне кажется, подробный разбор подобного рода более громоздок, чем цель того заслуживает, и работать будет не для всех. То есть у каждого свой набор таких "ползунков". Тут весь смысл, чтоб самому в голове покрутить и попробовать диапазон возможностей, текст с объяснением так не работает. Хотя в комментарии выше указывали, что можно сделать "сворачивающиеся" примеры и разборы для желающих в электронных версиях, там точно можно дать более разнообразный материал. Или просто в тексте предложить читателю проверить применимость теоремы для такого-то тривиального случая.
(Ответить) (Thread)
From: lemmingmartini
2015-01-12 03:53 am
Если не секрет, какой именно учебник дифференциальной геометрии вы читаете?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2015-01-12 05:57 am
Klaus Jänich, Vector Analysis. Вопреки названию это именно учебник дифф. геометрии, очень хороший по-моему.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: xaxam
2015-01-12 01:20 pm
Термин "дифференциальная геометрия" сам по себе неудачен. Спивак просто называл это no man's land, а более цивилизованное название - calculus on manifolds. Дифференциальная геометрия - это всё-таки довольно специальные вещи, по нынешним временам щедро приправленные комплексным анализом.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: eixin
2015-01-12 09:05 am
У меня аналогичное восприятие, и зачастую я даже "повторно использую" элементы примеров (как мне кажется, это связано с тем, что я занимаюсь программированием). Но я все же за то, чтобы это был хотя бы чуть-чуть нетривиальный пример, как сказал один из комментаторов выше.
(Ответить) (Thread)
From: anonim_legion
2015-01-13 09:43 pm
4. Авторам мешает высокомерие и сопутствующая их специализации культура, которая в математике выражается в просиживании штанов перед лектором. А то напишешь хорошую многоуровневую книжку - и на что же станут жить лекторы, перед кем они будут самовыражаться?
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2015-01-14 02:48 am

а как это выглядит в двумерном случае?

уважаемый авва

рекомендую "конечномерный анализ" любича и глазмана, он создан на основе музыкальной школы людвига шпора а сам израиль маркович глазман был знаменит своим вопросом "а как это выглядит в двумерном случае?"

ваш жидобандеровец игорь.
(Ответить) (Thread)