?

Log in

No account? Create an account
2015 IMO - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

2015 IMO [июл. 14, 2015|11:44 pm]
Anatoly Vorobey
[Tags|, ]

Оказывается, уже есть условия Международной Математической Олимпиады-2015 (она проходила в прошлую пятницу и субботу; даже результаты уже есть). Порешаем, пацаны кореша друзья дамы и господа?

Как всегда, слишком много геометрических задач, три из шести. На мой взгляд, это примерно на три задачи больше, чем стоило бы.

Из оставшихся шестую я решил в уме минут за 15, что позволяет предположить, что это самая простая из задач, для того, чтобы детям не было обидно не решить ни одной. О задачах номер 2 и 5 еще подумаю с ручкой и бумагой. За геометрические наверное не буду и браться, бесполезно. У меня очень плохо с геометрическим воображением, и даже когда в детстве участвовал в олимпиадах, геометрические задачи всегда выходили хуже всего.

Update: пардон, был неправ. Шестую задачу в уме не решил. Приблизился к решению, но ошибся и подумал, что она сильно проще, чем на самом деле.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: aka_mik
2015-07-14 09:17 pm
" и даже когда в детстве участвовал в олимпиадах, геометрические задачи всегда выходили хуже всего"

Да, у нас в физ-мат лицее это было самым сложным
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: liveuser
2015-07-15 12:51 pm
Да!

Не претендую на международный уровень, но у меня в ФМШ это было примерно 5-5-4-5-2-4-2, где двойки стабильно получал за геометрию, неважно, задача ли это на построение или вписанный во что-нибудь шар. В средней школе любую двумерную задачу старался свести к арифметической - обозначал все неизвестное буквами (обычно штук десяти хватало), вспоминал все известные формулы и выводил одно через другое. Учителя все это проверяли с большой неохотой :-)

Были и исключения - в ФМШ был товарищ, которому отлично давались и алгебра, и геометрия. Они с преподавателем строили на доске проекции трехмерных объектов, а я начинал воспринимать все это как хаотичный набор линий где-то с десятой секунды.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2015-07-15 04:47 pm
Ну дык так оно и решается по-нормальному: выписать ВСЁ, после чего решать уравнения. Я так обычно и делал. Правда, до того, чтобы считать базис Грёбнера, я всё-таки не дошёл.
(Ответить) (Parent) (Thread)
(Удалённый комментарий)
[User Picture]From: dreamer_other
2015-07-15 05:49 am
Ну да, одна функция очевидная. Как доказать, что других нет?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2015-07-15 06:51 am
Никак, они есть.
(Ответить) (Parent) (Thread)
(Удалённый комментарий)
[User Picture]From: avva
2015-07-15 11:54 am
Есть еще одна, и подозреваю, что это все, но доказать не могу пока.

(если бы доказать, что f инволюция, тогда легко...)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: cousin_it
2015-07-15 04:26 pm
Я пока доказал только, что на целых числах возможны только эти две функции. Как распространить на все действительные числа, пока не знаю.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2015-07-16 10:26 am
Да, я тоже.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: lrudman
2015-08-02 03:18 pm
смешно - и я тоже. :) практически сразу. x->x и x->2-x. Тривиально доказывается отсутствие других решений в предположении, что функция принимает все действительные значения, что, разумеется, ниоткуда не следует, увы (в смысле-что я пока не вижу, как это доказать).
Забавно, что во второй задаче тоже практически сразу вылезают 2 (с точностью до перестановок) решения {2,2,2} и {3,2,2} и кажется очень правдоподобным, что других нет
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: Вячеслав Аскери
2015-07-15 10:33 pm
Через дифф. уравнение с условиями f(0)=2,f(1)=1,f(2)=0.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2015-07-16 07:04 am
А функция, конечно, вся из себя дифференцируемая.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: Вячеслав Аскери
2015-07-16 10:24 am
Вы правы.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: Boris Sivko
2015-07-16 12:18 pm
А откуда вы знаете что простая? У вас есть ответы? Или строгое док-во наверняка?

Я вообще поражаюсь местному Curse of Knowledge. Каждый находит задачу, которая лично ему самая легкая, и называет её самой простой.
(Ответить) (Parent) (Thread)
(Удалённый комментарий)
[User Picture]From: avva
2015-07-16 03:06 pm
Шестую задачу я могу объяснить, если надо.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2015-07-15 12:16 am
Утешительная — первая. Решение белым цветом:

1) Пусть m >= n — наименьшее число, кратное 6. Разделим окружность на m частей; в комплексных координатах это будут точки exp(i*2pi*k/m). Разместим n-1 точку в первых n-1 из них, а последнюю поместим в центр (т.е., в точку 0). Тогда для любых двух точек, кроме центра, есть точка, равноудалённая от них: это центр. Если же мы берём точку exp(i*2pi*k/m) (k=0,1,...,n-2) и центр, то равноудалены от них точки exp(i*2pi*(k/m + 1/6)) и exp(i*2pi*(k/m-1/6)); первая из них — это точка с номером k+m/6 (существующая, если k+m/6 <= n-2), а вторая — с номером k-m/6 (существующая, если k >= m/6). Одно из этих условий всегда верно: если k < m/6, то k <= m/6-1 и k+m/6 <= m/3-1 <= (n+5)/3 - 1 <= n-2 в том случае, когда n+5 <= 3n-3, то есть 2n >= 8 или n >= 4; на самом деле неравенство m/3-1 <= n-2 выполняется даже при n=3: 6/3-1 = 2-1 = 1 <= 1 = 3-2.
2) Если n — нечётное, то вершины правильного n-угольника образуют необходимое множество (факт труднодоказуем в силу геометрической очевидности). Если n — чётное, то такого множества нет. Действительно, предполагая, что такое множество найдено, зафиксируем отображение, сопоставляющее паре (различных) точек точку от них равноудалённую. Пар точек n*(n-1)/2, что больше, чем n*(n/2 - 1); значит, найдётся хотя бы одна точка из n, прообраз которой относительно этого отображения содержит хотя бы n/2 пар. Так как саму эту точку ни одна из этих пар содержать не может, значит, все эти пары вместе содержат не более n-1 точки; следовательно, какие-то две из них пересекаются. Их объединение — это три точки, равноудалённые от данной. Противоречие. Стало быть, ответ: все нечётные.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: p2004r
2015-07-15 03:19 pm
И четвертая судя по статистике
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: inkogniton
2015-07-15 08:16 am
Я даже пытаться не стала. Я никогда не пытаюсь, всё равно ничего не могу решить. А геометрия это мой ночной кошмар. Когда-то меня поставили ассистировать курс для продвинутых по простой евклидовой геометрии. Ни я, ни сам профессор, геометрию не знали и учили по ходу пьесы. Как же я измучилась тогда. Благополучно и радостно забыла всё опять как только курс закончился. Эх, мне бы не задачки олимпиадные, мне бы мой интеграл посчитать. Уже полтора года, зараза такая, чтоб ему пусто было, а мне полно, не считается.
(Ответить) (Thread)
From: karpion
2015-07-15 05:30 pm
Что за интеграл-то?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: inkogniton
2015-07-15 05:40 pm
Плотность состояний для (локально) не каллибровочно-инвариантной орбитальной модели Вегнера:)
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: Nicky Rosenblatt
2015-07-15 09:19 pm
>Как всегда, слишком много геометрических задач, три из шести. На мой взгляд, это примерно на три задачи больше, чем стоило бы.

Значит ли это, что по вашему мнению геометрическим задачам не место на математических олимпиадах?

У меня наоборот, всегда хорошо было с геометрией, за счёт неё выплывал часто на олимпиадах. Зато совсем плохо с шахматами, например.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: winpooh
2015-07-15 10:58 pm
Шахматы не имеют к математике никакого отношения. Большая часть сильных шахматистов - гуманитарии (из 14 классических чемпионов мира математиков было 2.5 - Ласкер, Эйве и 0.5 Ботвинника).

Edited at 2015-07-15 22:59 (UTC)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2015-07-16 07:05 am
Математические олимпиады — тоже.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2015-07-16 10:08 pm
Какой-то вы странный. А что, они все должны были быть и чемпионами мира и профессиональными математиками? А времени в сутках хватит?
То, что способности к математике и к шахматам - взаимосвязаны, это очевидный факт. Посмотрите какие факультеты обычно выигрывают командные чемпионаты университетов - в 90% случаем это математический.

По поводу же чемпионов мира к тем случаям которые вы перечислили сходу добавлю:

Таль научился читать в три года и обладал способностями к математике (уже в пять лет перемножал в уме трёхзначные числа.
Карпов в детстве побеждал на математических олимпиадах, закончил мат. школу и в университет поступил на мехмат.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: winpooh
2015-07-16 10:18 pm
Поступить-то Карпов поступил, только через год перевёлся куда попроще. Не потянул программу.
По мне, шахматы куда ближе к музыке.
Шутливый пример, ничего не доказывающий: мой приятель школьных лет всегда играл на пол-разряда сильнее меня, и все время не давал мне стать чемпионом города среди школьников. При этом по физ-мат наукам я был в городе лучший в своём возрасте. Он поступил в Московскую консерваторию, а я на Физтех :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: burivykh
2015-07-16 06:18 am
Как всегда, слишком много геометрических задач, три из шести. На мой взгляд, это примерно на три задачи больше, чем стоило бы.

В такой формулировке, боюсь, не могу согласиться. Есть разные способы мышления — и я не вижу, почему один из них вообще должен отсутствовать на олимпиаде.
Кстати, первая задача, если прочесть условие, выглядит вполне разумно: нас просят расставить точки так, чтобы от любых двух была бы третья на равном расстоянии, но (в пункте б) ) еще и с дополнительным условием, что не бывает точки, от которой на равных расстояниях целых три.
Например, это означает, что выбор одной из точек A задает перестановку остальных: сопоставление точке B точки C, равноудаленной от A и B: как раз таки из-за условия отсутствия центров это взаимно-однозначное отображение.
Нет, я эту задачу еще не дорешал — но я не вижу тут каких-то сверхсложных именных прямых в треугольнике, с которыми задача делается, а без них нет.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: iconofthesin
2015-07-16 04:08 pm
http://www.artofproblemsolving.com/community/c105780_2015_imo
(Ответить) (Thread)