?

Log in

о корнях - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

о корнях [апр. 23, 2016|04:14 am]
Anatoly Vorobey
[Tags|]

Простое доказательство того, что кубический корень из 2 - иррациональное число.

Предположим, что рациональное и равно p/q, тогда эта дробь в третьей степени равна 2, т.е. p^3 = 2*q^3, или p^3=q^3+q^3. Это противоречит великой теореме Ферма, что и требовалось доказать.

Легко видеть, что этот же метод доказывает, что корень любой степени n>2 из двойки - иррациональное число. К сожалению, великая теорема Ферма - недостаточно мощный инструмент для того, чтобы доказать, что квадратный корень из 2 иррационален, и для этого нужно использовать другие методы.

(источник, где еще много такого)
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: ygam
2016-04-23 01:19 am
Также бесконечность количества простых чисел можно доказать, используя теорему Грина-Тао.

ЗЫ: ага, там это говорится. Even better, there are infinitely many primes because there are arbitrarily long arithmetic progressions in them (the Green-Tao theorem). – Mark Oct 17 '10 at 19:39

Edited at 2016-04-23 01:42 (UTC)
(Ответить) (Thread)
From: natomist
2016-04-23 05:30 am
Интересно, а где-нибудь составлена иерархия зависимостей теорем? А то может выясниться, что доказательство теоремы Ферма тоже базируется на предположении, том что корень из 2 - иррациональное число :-)

Edited at 2016-04-23 05:30 (UTC)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: dims12
2016-04-23 06:42 am
Скоро составят. Как раз когда машины начнут править миром. А потом они уничтожат нас быстрее, чем вы успеете сказать "тральфамадор" :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: taki_net
2016-04-23 09:02 am
БТФ не касается квадратов и квадратных корней.

Даже если ее доказательство зависит от иррациональности кубического корня - эта иррациональность доказывается независимо.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: dims12
2016-04-23 06:39 am
Причём топик закрыт, как водится :)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2016-04-23 09:35 am
Ага.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2016-04-23 07:56 am
Одному студенту дали на экзамене задачку: перечислить все конечные группы с ровно двумя классами сопряжённости. Он улизнул из аудитории и попросил пару моих приятелей помочь. Те подумали и сказали, что такая группа несомненно будет простой, после чего послали его к теореме о классификации конечных простых групп.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: alex_levit
2016-04-23 10:44 pm
Честно говоря, мне тоже пришло в голову доказательство с использованием теоремы о классификации. Раз классов всего два, то все неединичные элементы имеют один порядок. Значит, по теореме Силова, порядок группы является степенью простого. С другой стороны, группа простая, значит имеет четный порядок. Значит это группа из двух элементов. Простое доказательство я придумал только когда писал этот коммент.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: migmit
2016-04-24 06:51 am
На моей памяти был только один случай, когда на экзамене была дана задача, требующая подобной тяжёлой техники. Когда Старков достал Берлова окончательно, выпрашивая у него задачку на пятёрку, тот в итоге сунул ему нерешённую проблему.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: alex_levit
2016-04-24 08:30 am
Кажется тот же Берлов без задней мысли попросил студента описать все автоморфизмы поля комплексных чисел. Студент был толковый и доказал что их несчетное число.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: alex_levit
2016-04-23 09:19 am
Для вычисления предела х^n/exp(x) можно использовать гипотезу P!=NP.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2016-04-23 12:55 pm
Насколько я понимаю, из P != NP следует только существование такого k, что х^n/exp(x^k) -> 0.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2016-04-23 04:29 pm
Там прямо на второй странице есть доказательство для квадратного корня с использованием теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике (БТФ для n=4 – её частный случай).
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2016-04-23 04:32 pm
Больше всего понравилось доказательство равенства
Sum[k = 0..n, (-1)^k * Binomial[n,k]] = 0.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: tata_akivis
2016-04-23 10:18 pm
Красиво!
(Ответить) (Thread)