?

Log in

No account? Create an account
о математическом (и вообще абстрактном) воображении - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

о математическом (и вообще абстрактном) воображении [июн. 11, 2002|01:06 am]
Anatoly Vorobey
Когда математик говорит: пусть G - абелева группа..., какую картинку он видит в своём воображении?

Вообще, когда математики (и не-математики) рассуждают об абстрактных структурах, какого рода внутренними картинками они пользуются для того, чтобы помочь себе?

Мне всегда этот вопрос казался очень интересным и, пожалуй, важным для понимания процесса абстрактного мышления. Да и о практическом аспекте можно подумать. Может быть - ведь может быть? - какие-то способы внутренней визуализации объективно удобнее, лучше, полезнее, чем другие. Возможно, эти способы можно описать и им можно научиться. А есть ли математики, которые вообще не используют ничего подобного, не "видят" перед собой никаких картинок? И если есть, можем ли мы из этого сделать какие-то выводы о процессе их математического мышления?

Но я так и не встретил ни разу подробного описания или изучения этого вопроса. Может быть, кто-нибудь знает, изучали ли это профессионально и систематически (скажем, психологи или кто ещё)? Всё, что мне встречалось - это редкие частные описания. Например, Ричард Фейнман интересно описывает в своей как-бы автобиографии, как он использовал внутренние "картинки" (разного рода геометрические фигуры, к-е меняли цвет, обрастали щупальцами и т.п.), когда был студентом-физиком и обсуждал теорию множеств со студентами-математиками.
Какой-то другой математик (забыл, кто) описывал, как он видит дифференциальные уравнения в цвете (каждая переменная имеет свой цвет).

Сам я не очень много могу добавить о себе лично. У меня нет цветного абстрактного видения, хотя сгущение тёмного тона играет важную роль (т.е. та часть картинки, к-я более важна или на которой сфокусировано внимание, темнее других). Числовую ось я вижу горизонтальной, когда речь идёт о геометрии или анализе; но если речь идёт о теории множеств, ординалах и т.п., она скорее направлена косо, и уходит вправо вверх, в отдельных случаях даже вертикально (так удобней бывает представить "ось" всех ординалов и кардиналов, включая бесконечные; почему? - не знаю). Поле (или кольцо вообще) для меня - бесформенное облако, внутри которого выделяется тёмная ось натуральных чисел, прыгающих одно за другим -- или непрерывная, а не дискретная, копия рациональных чисел. Стоит перейти к векторному пространству, как само поле сплющивается и становится двумерным, а пространство, на нём основанное - трёхмерным облаком, с нитями между ними; поле почему-то левее и ниже самого пространства. Модель (в мат. логике) - всегда что-то плоское и обширное, с точками, означающими элементы, в которые прыгают стрелки из большого неограниченного уходящего в бесконечость куска пространства, содержащего термы данного языка. Между точками-элементами прыгают стрелки, означающие реляции и функции. Элементы-константы всегда темнее и отчётливей других.

Это просто несколько примеров того, что первым в голову пришло -- наверное, недостаточно детализованных (чем точнее пытаешься вспомнить, тем больше картинка расплывается или теряешь в ней уверенность).

Если кто-то (математик или не-математик) захочет добавить свои впечатления и ощущения абстрактных структур, или любые соображения по этому поводу, добро пожаловать. Вся эта тема кажется мне исключительно интересной и малоизученной.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: squadette
2002-06-10 03:22 pm
я всегда представлял себе четырехмерное пространство в виде серии трехмерных "ящичков", выстроенных вдоль горизонтальной прямой.

Соответственно, пятимерное -- копии этой четырехмерной "прямой", застилающие вертикальную стену. Шестимерное -- это как бы трехмерное пространство, каждый "воксель" которого -- это трехмерный "ящичек".

Соответственно, пятимерная сфера представляется себе довольно легко и оказывается совсем не "круглой" :) (если я не ошибаюсь) (круглые только её трехмерные проекции)

(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2002-08-18 01:18 pm

Видение 4.-мерного пространства.

У меня наблюдается такой эффект:
Если я долго представляю себе 4.-мерное пространство (в виде ящичков или сечений) или ОСОБЕННО пространство-время, иногда возникает "заскок". Я как-бы на секунду представляю себе всю 4.-мерную форму в комплексе. (Картинка не поддается описанию - только сумбур какой-то выходит.) И через мгновение, это состояние изчезает очень резко, как будто я коснулся горячей сковородки и тут же отдернул руку. Очень странное ощущение. Возникает ТОЛЬКО ночью после 2-4 часового чтения книг по подходящей тематике. После этого состояния я не сразу могу говорить. Около 2 секунд после такого видения я нахожусь в состоянии аута. То есть не могу мыслить словами - только образами. У кого-нибудь такое бывает?
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: squadette
2002-06-10 03:25 pm
графическое описание фактор-групп и классов эквивалентности

http://groups.google.com/groups?hl=en&lr=lang_ru&frame=right&th=4a090e61a9d205&seekm=9tna5h%241ear%241%40gavrilo.mtu.ru#link2
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2002-06-10 03:29 pm

Re:

Я всегда представляю себе классы эквивалентности просто в виде деления стурктуры на нек-е количество облак, полностью её покрывающих (каждое облако - класс). Косеты группы - что-то вроде одинаковых трапеций, полученных путём трансляции (геометрического сдвига) подгруппы, и они выстроены в линию. Между ними прыгают стрелки (действия между косетами), и от них идут стрелки вправо и вниз, где их "поджидает" фактор-группа, и они попадают в её элементы.

Спасибо за интересное описание многомерных пространств.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: squadette
2002-06-10 03:30 pm
конечно же, "Наглядная геометрия и топология" Фоменко

http://www.ozon.ru/detail.cfm/ent=2&id=110840

я, правда, дальше первых нескольких страниц понять ничего не могу ;)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: squadette
2002-06-10 03:38 pm
абелевы группы (vs неабелевы) у меня представляются динамически: (элементы группы -- это такие типа шарики).

Соответственно, когда надо посмотреть на два элемента абелевой группы, то они подрагивают, готовясь поменяться местами. Два элемента неабелевой группы встают на место (в момент "фиксации взгляда") с легким щелчком и не шевелятся.

Я не знаю, будет ли всё это работать на большой высоте абстрактности -- я туда еще не добрался.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: pingva
2002-06-10 04:07 pm
Соответственно, когда надо посмотреть на два элемента абелевой группы, то они подрагивают, готовясь поменяться местами. Два элемента неабелевой группы встают на место (в момент "фиксации взгляда") с легким щелчком и не шевелятся.

Что-то мне это очень напоминает :)

По существу же хотел сказать, что, занимаясь оптимизацией функции большого числа переменных, представляю себе ее все же как двухмерное полотно в трехмерном пространстве, как правило - во всеможных умопомрачительных складках, провалах и коварных плато :) (чаще всего, так и есть). К этому полотну льнут градиентые вектора, и апроксимирующие параболоиды, на "дно" которых скатываются "шарики" из известной аналогии. Интересно, что по самому полотну шарики не катаются - страшно.

Никакой "практической" пользы такая визуализация, очевидно, не несет, И крутится в голове как побочный продукт, наведенный картинками из учебников и объяснений :)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: mkay422
2002-06-10 04:11 pm

Мои 2 цента

Залез в комменты написать про Фоменко "Наглядная геометрия и топология" - а ее уже, впрочем, отметили. Еще, пожалуй, стоит отметить Вычислительную Геометрию автора Препарата (фамилия такая) - http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0387961313/qid=1023750557/sr=2-1/ref=sr_2_1/002-2608061-3415249
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: mkay422
2002-06-10 04:17 pm

В инженерной практике часто хватало какой-либо визуализации всего-лишь в трехмерном пространстве, - это когда рассматривается конечномерная система. Но можно с таким подходом и налететь - интуиция подводит еще как.

Вот, к слову, ссылочка на систему с хаотическим поведением. Задача ставится на пальцах, а голову немножко поломать пришлось.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: french_man
2002-06-10 04:23 pm

Тема совершенно необъятная

Пару слов, если интересно: тетрадки ждут.

У меня довольно банальные чувственные ассоциации. Причем скорей не зрительные, а зрительно-осязацетельные. Неабелева, скажем, группя представляется мне обьъектом твердым, но хрупким: отломишь кусочек, он и развалится. Абелева, наоборот, мягко-аморфная, и плоская: гни во все стороны. И так можно продолжать.

Есть, кстати, чисто матеметический результат (вернее, серия результатов), которые представляются мне связанными с этой философией. Это недостаточно известные работы великолепного беер-шевца Мати Рубина (ученика Шелаха) о воссоздании объектов по группам их авторморфизмов (или полугруппам эндоморфизмов).

Сопоставим, скажем, гладкому многообразию группу его автодиффеоморфизмов. Очевидно, это топологичесская группа. Мне не совсем очевидно, есть ли на ней "естественная" аналитическая структура, но не суть важно. Важно то, что по этой группе с достаточно "богатой" дополнительной структурой многообразие восстанавливается однозначно и функториально (т.е. морфизмы двух таких групп могут происходить лишь из морфизмов исходных многообразий).

То, что я написал выше, не совсем тривиально, но достаточно рутинно и неудивительно. А вот что делает Рубин. Он берет эту группу, и забывает обо всех дополнительных структурах. Просто абстрактная группа, 4 аксиомы. Оказывается, уже по ней многообразие восстанавливается однозначно и функториально! Т.е. эта (громадная) абстрактная группа - объект столь хрупкий, столь оригинальный, что может встречаться в природе только один раз. Мне она представляется в виде какого-то редчайшего алмаза из короны английской королевы.

Рубин рассматривает, помимо гл. многообразий, и другие обьекты с "достаточно богатыми" группами автоморфизмов, и получает те же выводы. Если автоморфизмов недостаточно (как в случае, скажем, римановых поверхностей), в ход идут эндоморфизмы, и т.д.

Общая идеология такая: у "аморфных" объектов "жесткие" группы морфизмов. Ничего в этом удивительного нет, но форма, которую придал этой метаидее Рубин, не может не восхищать.

Я не могу поручиться, что написанное выше верно: я никогда не читал работ Рубина, и все это знаю лишь из личных бесед. К тому же я не уверен, что все его работы опубликованы. Он страшный перфекционист, и к тому же очень больной человек.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: dp
2002-06-10 07:57 pm

Re: Тема совершенно необъятная

Классно рассказал, спасибо!
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
(Удалённый комментарий)
[User Picture]From: rsh
2002-06-11 01:29 am

самое интересное начинается,

когда работаешь с пространствами размерностью больше 3.
меня не покидало ощущение предстоящего ментального прорыва, когда приходилось усердно "вертеть" 4-мерные множества.
теперь вот, без практики, ничего не помню
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2002-08-18 01:26 pm

Re: самое интересное начинается,

Возможно, Вы имеете ввиду как раз то, что я описал в сообщении "Видение 4.-мерных пространств". Или у Вас иные ощущения?
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2002-06-11 08:04 am

Книжки po matematike (повышенная визуальность)


1. Жак Адамар (Hadamard), "Issledowanie psihologii processa izobreteniя w oblasti matematiki", русский перевод - М., "Сов. Радио", 1970

Интересно, что благодаря этой книге я впервые познакомился с арабским нацизмом, но сейчас не об этом...

2. Игорь Шафаревич, "Основные понятия алгебры" (от идеи координатизации к группам Ли, гомологической алгебре и К-Теории), М., ВИНИТИ, 1986, тираж 1500 экз. - сильнейшее и визуальнейшее введение в общую алгебру. Есть даже картинки.

3. Эмиль Артин, "Теорiя Галуа", Кыив, 1962, тираж 700 экз. - наиболее образное введение в теорию Галуа из известных мне, хоть и без единой картинки. Перевод з нiмецькоi на украiнську мову. Russkogo perewoda, насколько мне известно, неt.

4. И, наконец, затерянные в архивах - возможно, уже пропавшие навсегда - объёмистые автобиографии академиков Павла Сергеевича Александрова в "Успехах математических наук" (тополога) и Льва Понтрягина (того, который слепой с детства - вот где чудеса визуализации!)

bb"h,
V.Voblin,
judaika-subscribe@yahoogroups.com
(Ответить) (Thread)
From: ex_ilyavinar899
2002-06-11 09:47 am
Я не математик, но элементы групп мне представляются цепочкой букв ab-1ca... уходящих в бесконечность, причем разные буквы - разных цветов: a красная, b салатно-зеленая, c коричневая, d бронзовая, e светло-желтая и т. д. Когда aa-1 сокращается - красный кусочек изымается.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2002-06-11 09:55 am

Re:

Я такую картинку использую, только без цвета, когда речь идёт о комбинаторной теории групп или алгебраической топологии, или о конкретном аргументе, основанном на множестве порождающих.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: posic
2002-06-11 10:03 am

Мне хочется прокомментировать это дело в несколько пессимистическом ключе. Много лет назад я как-то вдруг понял, что решение задач по математике -- намного менее познавательное занятие, чем на первый взгляд кажется. За других математиков не скажу, но у меня это обычно происходит так. Большая часть времени и усилий, направленных на поиски решения, уходят на абсолютно бесплодные попытки, на блуждание в типиках. Большая часть этого блуждания заключается стоянии на месте в позе барана, глядящего на новые ворота, из поговорки. Когда же приходит правильная идея, она, конечно, обнаруживает свою правильность в кратчайшие сроки. Тогда я перехожу к следующей задаче. Это все как бы само собой разумеется, но есть одна проблема. Впоследствии оказывается, что тупики запомнились гораздо лучше, чем правильное решение. В едь в тупиках было проведено столько времени и потрачено столько сил, а правильное решение вдруг придумалось и немедленно закрыло вопрос.

Это все к тому, что свои попытки представлять алгебраические объекты зрительными образами, рисовать какие-то облака на бумаге, я помню. Но в плодотворности этого занятия почему сомневаюсь. Мне кажется, что на самом деле мышление основано на квази-логических аргументах каких-то, метафизических принципах, аналогиях, эвристических приемах. Конечно, представлять себе векторное пространство как облако -- это тоже "аналогия", но мне кажется, что она недостаточно содержательна, чтобы быть полезной.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: toshick
2002-06-11 10:59 am
Вы знаете, у меня такое сильное подозрение, что все эти зрительные образы - натуральные глюки. Мозг это все-таки нейросетка, когда она работает на пределе возможностей, вполне могут быть побочные сигналы через зрительные зоны.
Собственно, такой эффект должен сопровождать любое напряженное размышление на грани понимания, в математике он только кажется необычным. Возможно, есть какие-нибудь дополнительные усиливающие моменты типа характеристик именно математического мышления или восприятия.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: dwarkin
2002-06-12 12:50 am
На самом деле НЛП (нелюбимое тобой) занимается чем-то очень похожим ...
Если на пальцах - есть 3 основные системы получения информации из внешнего мира (и ее внутренней организации тоже) - визуальная (что я вижу), аудиальная (слышу), кинестетическая (чувствую - это включает и внешние ощущения - плотность, твердость, т.д. ; и внутрение). Аудиалов среди русскоязычных очень мало (не знаю почему).
НЛП-моделирование гениальных математиков должно было обязательно проверить каким образом они представляют и организовывают информацию, но я не уверен, что таковое проводилось ...
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2002-06-20 12:48 am

sawa

Где-то я читал, что люди с феноменальной памятью, люди-счётчики и прочие с отклонениями ;) иногда имеют странное восприятие. У них как-бы перепутаны все способы ощущений. Например, они воспринимают число не только как число, но и как цвет, вкус, запах и прочее. Или на музыкальную фразу они могут выдать её цвет, осязание и тд. Считается, что это помогает им (запоминать, например).
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2002-08-18 01:47 pm

Re: sawa

Я сам лично пробовал мыслить цветами. Т.е. цветами обозначаются понятия, а затем вместо того, чтобы произностить название понятия представляется цвет.
Мое мышление убыстрилось минимум вдвое.
Но дальше эксперемент не пошел. Во-первых цветов мало, во-вторых очень непривычно и, соответственно, устаешь быстро.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: tanyuk
2002-06-20 05:04 am
Ой, занятная тема, жалко что я вовремя её не увидела- болела :-(

Мои самые яркие картинки : когда добавляется 4-е имерение, то из совешенно черной системы координат отходит "в никуда" голубая дополнительная ось. Когда на лекциях были n-мерные пространства, то я себе представляла черное n-1 мерное пространство вот с такой голубой осью, получается, n-нной.

Бутылка Клейна -- вообще песня, своеобразный волшебный отросток.

Теорию групп нам давали в первом семестре первого курса, я пришла на мехмат "подготовленной" - после мат. школы, и вдруг - обломалась, не смогла почуствовать эту самую теорию групп, хотя сейчас даже странно. Накануне сессии приснился сон : я играю на фортепиано, а группа - это октава, оператор сложения очевидный, интервал. С тех пор у меня группы - это фортепианная клавиатура :-)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: ullr
2002-06-22 06:16 pm
Интересно, я никогда не представлял математические проблемы в виде визуальных образов. Ну за исключением геометрии и проблем легко представимых в геометрическом виде.
Но в виде некоторых образов представлял, только я не могу их классифицировать, как принадлежащие к какому-либо органу чувств. То есть образы абсолютно абстрактны. Более того, пока я в этом виде
какое-либо математическое понятие, концепцию не представлю, я его не могу запомнить и/или понять. При этом словами я так же не могу это описать.
(Ответить) (Thread)