?

Log in

No account? Create an account
ещё о спящей красавице - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

ещё о спящей красавице [ноя. 6, 2002|07:20 pm]
Anatoly Vorobey
В этой записи я продолжу тему о парадоксе спящей красавицы, начатую вчера. Я бы хотел сделать следующее: во-первых, подытожить (с моей точки зрения) дискуссию до сих пор; во-вторых, дать ссылки на сетевые дискуссии и научные статьи по этому поводу, для тех, кому это интересно; в-третьих, объяснить, почему, хотя я считаю себя "троечником", эта позиция вовсе не так тривиально верна, как кажется многим во вчерашней дискуссии; в-четвёртых, привязать это к объяснению основных идей из статей пункта второго.

Те, кому это всё интересно - пожалуйте в элжекат. Все комментарии и дальнейшее обсуждение приветствуются.



1. Дискуссия.

Большинство прореагировавших на вчерашнюю запись считают себя троечниками. Но есть и те, кто считает себя двоечниками. Более того, нетривиальное количество людей высказались таким образом, что это вообще всё тривиально, а путаница возникает из-за непонимания того, что спрашивают итп. Я с этим совершенно не согласен, и попытался в той дискуссии подробно ответить на такие утверждения. На мой взгляд, это не тривиальная задача. Я не вижу пока что ни одного убедительного аргумента в пользу её тривиальности. Просто сказать, что люди "не понимают" того, что спрашивается в задаче, и отвечают на неверный вопрос - не значит это доказать. Я подробно описал в дискусии к прошлой записи, почему это неверно, с моей точки зрения.

Возникают вопросы о том, что такое "степень уверенности", она же "субъективная вероятность" Лены в том, что выпал орёл. Это понятие можно определять по-разному, есть разные философские школы внутри философии вероятности, которые по-разному к этому относятся. Но это не значит, что данное понятие не имеет смысла!

Один из возможных способов понять субъективную вероятность: субъективная вероятность Лены в том, что произошло событие X, равна вероятности того, что произошло событие X при условии всей той информации, которой владеет Лена. Например, предположим, что Лена и Гена кидают монетку, но Лена увидела, что она выпала орлом, а Гена не увидел. Субъективная вероятность выпадения орла для Лены равна 1, а для Гены - 1/2. Потому она и неравна у них, что субъективна! Опять повторю: все протесты по поводу того, что Лена должна ответить 1/2, т.к. её спрашивают о вероятности выпадения орла, равной по определению 1/2 - ошибочны. Её спрашивают о вероятности выпадения орла учитывая известную ей информацию (по крайней мере в этой интерпретации понятия "субъективная вероятность").

Можно попробовать понять субъективную вероятность по-другому, например, частотным способом: проведём эксперимент много раз так, чтобы выполнялись все факты, известные Лене, и подсчитаем частоту в пределе. Но неверно заключить из такого метода, что тривиальным является ответ 1/3! (как многие заключили). Об этом подробнее см. ниже, в пункте третьем.

После прочтения множества "интуитивных" аргументов за "двоечников" и за "троечников" для меня наиболее интересными остаются два из них. С одной стороны, я не уверен в том, как ответить на этот "двоечный" аргумент (хотя см. пункт 3 ниже). С другой стороны, интуитивный аргумент путём подсчёта множества пробуждений мне кажется самым убедительным для точки зрения "троечника" (но, как упомянуто выше, в пункте 3 ниже я постараюсь объяснить, почему он сам по себе недостаточен, т.е. требует уточнения и формализации).

2. Источники.

Во-первых, на этой странице расположены выдержки из долгой дискуссии про спящую красавицу в ньюсгруппе rec.puzzles три года назад. Там есть немало интересных "интуитивных" аргументов как за двоечников, так и за троечников, а также около дюжины попыток изменить условия эксперимента и посмотреть, что получится, рассмотреть схожие парадоксы итд. итп. Всё это довольно интересно, но я не буду пытаться это суммаризовать. Те, кому любопытно, могут сходить и прочесть.

Ещё более интересными мне кажутся научные (философские) статьи на данную тему, в которых сделана попытка более строго, чем в "интуитивных" аргументах, доказать одну из двух позиций, а также вообще строго определить и изучить проблему. Таких статей я знаю три. Первая из них есть в сети; второй и третьей статьи в открытом доступе для всех не было, поэтому я их взял из закрытого доступа и положил у себя в формате PDF -- те, кто хотят, берите и читайте.


Во-первых, статья Адама Эльги, в открытом доступе, из журнала Analysis за 2000-й год. Эльга - "троечник", стремящийся строго обосновать свой результат. Основные его идеи я постараюсь перечислись в пункте 4 ниже, но вообще-то статья очень ясно написана и заслуживает прочтения.

Во-вторых, ответ Льюиса на статью Эльги (Льюис - очень известный философ). Льюис - двоечник! Он очень интересно отстаивает свою точку зрения. Я не буду пересказывать эту статью, но постараюсь во время пересказа аргумента Эльги указать, в каком месте Льюис с ним не согласен.

В третьих, ответ Дорра на статью Льюиса. Дорр - троечник, и он защищает точку зрения Эльги, используя несколько другую аргументацию. Кроме того, он очень ясно и убедительно показывает, в чём именно заключается "парадоксальность" всей задачи и как двоечники и троечники по-разному эту парадоксальность "решают". Это я постараюсь объяснить, см. ниже.

Буду благодарен, если мне сообщат какие-то интересные источники, к-е я упустил.

3. Аргумент о нетривиальности.

Этот аргумент предназначен в первую очередь "наивным троечникам", которые говорят: давайте просто проведём эксперимент много раз, из всех пробуждений подсчитаем, сколько тех, что с орлом, поделим и получим 1/3. Аргумент стремится показать им, что не всё так просто, и что такое рассуждение требует дальнейшего уточнения и дополнения (пример которого можно, например, найти в статье Эльги или ниже в пункте 4).

Представьте себе, что мы изменили эксперимент: когда Лену будят во второй раз во вторник, ей говорят, что это вторник (и она заранее знает, что ей об этом скажут). Тогда очевидно, что когда её будят в понедельник, она знает, что это не вторник, и поэтому её ответ - 1/2. Т.е. в таком случае мы из троечников превращаемся в двоечников. Но что мешает нам повторить и в этом случае тот же аргумент: давайте проведём эксперимент очень много раз, из всех пробуждений ровно треть будет приходиться на орла, поэтому Лене надо ответить 1/3? А вот что нам мешает: тот факт, что пробуждения в данном случае очевидно неравновероятные. Аргумент "от частотности" -- проведём эксперимент много раз, подсчитаем кол-во нравящихся нам исходов и поделим -
работает только в случае абсолютно равновероятных исходов.

Но тогда возникает вопрос: а действительно ли исходы равновероятны в первоначальном эксперименте? Троечники на это отвечают: конечно, да! Ведь в этом-то и суть: неважно, когда просыпается Лена и какая при этом выпала монета, у неё во всех случаях абсолютно одна и та же информация (благодаря медикаменту). Поэтому это абсолютно одинаковые исходы и все пробуждения "равны между собой".

Звучит логично (и собственно, я с этим согласен). Но: ведь с другой стороны, троечники игнорируют тот факт (являющийся очень важным для двоечников), что вероятность выпадения орла для Лены изменилась с воскресенья вечером на утро понедельника! (тот факт, что вероятность в воскресенье вечером для Лены была 1/2, мне представляется очевидным; несколько человек оспорили его в дискуссии к прошлой записи, и я попытался там эту очевидность подробнее объяснить). А ведь при этом, по крайней мере на первый взгляд, кол-во информации у неё нисколько не изменилось. Всё, что она сделал - это проспала одну ночь.

Таким образом, из двух "неприятных" возможностей надо выбрать одну. Первая "неприятная" возможность: вероятность выпадения орла для Лены могла измениться всего лишь оттого, что она пошла спать и проспала одну ночь, не получив при этом никакой новой информации, по крайней мере явно. Вторая "неприятная" возможность: вероятность выпадения орла может быть разной для Лены при разных пробуждениях, несмотря на то, что она при них обладает абсолютно идентичной информацией, по крайней мере на первый взгляд.

"Двоечники" отрицают первую возможность и потому приходят к ответу 1/2. "Троечники" отрицают вторую возможность и потому приходят к ответу 1/3. К чему я это веду? К тому, что "троечникам" не нужно обольщаться насчёт того, что их ответ тривиально верен благодаря анализу с множеством экспериментов. Если они так думают, то они обманывают себя, не осознавая того, что этот анализ опирается на отрицание второй "неприятной" возможности. Да, эту возможность отрицать логично, но ведь и первую отрицать тоже, казалось бы, логично! -- а "троечники" её неизбежно признают.

Поэтому более строгий анализ проблемы должен попытаться анализировать эти "неприятные" возможности и показать, например, что вторую из них отрицать совсем нелогично, а первую не так страшно, как кажется (это с точки зрения троечника), или наоборот. А можно ли избавиться от обеих неприятных возможностей вместе? Нет, нельзя! Это приводит к однозначному парадоксу; строгое доказательство см. в пункте 4. ниже. Поэтому можно сказать так: "парадокс спящей красавицы" состоит в том, что, принимая несколько вполне логичных утверждений о степени уверенности Лены, мы приходим к логическому противоречию. "Решение" парадокса состоит в том, чтобы отвергнуть одно из, казалось бы, логичных утверждений; при этом двоечники отвергают одно из них, а троечники - другое.

4. Анализ проблемы.

Собственно, не один, а два анализа. Первый анализ показывает, что если мы признаём и первую, и вторую "неприятные" возможности из предыдущего пункта, то неизбежно приходим к противоречию.
Второй продолжает предыдущий пункт и анализирует, на каких основаниях мы можем отвергнуть вторую "неприятную" возможность, но признать первую (или наоборот).

Итак, подойдём к этому чуть более строго. Если X - событие, обозначим через P(X) субъективную вероятность события X для Лены по состоянию на понедельник утром. Если X и Y - события, то P(X|Y) обозначает вероятность X при условии, что дано Y - "условная" вероятность.

Обозначим H (heads) - событие "выпал орёл", через T (tails) - событие "выпала решка". Позиция двоечника состоит в том, что P(H) = 1/2. Позиция троечника состоит в том, что P(H)=1/3.

Когда Лена просыпается в понедельник утром, с её точки зрения возможно одно из трёх событий:

(H1) выпал орёл и сейчас понедельник
(T1) выпала решка и сейчас понедельник
(T2) выпала решка и сейчас вторник

Ясно, что сумма их вероятностей вместе должна давать 1.
Более того, ясно, что P(H)=P(H1), т.к. если выпал орёл, то автоматически сейчас понедельник

(более строгое доказательство этого факта: согласно стандартным правилам манипулирования вероятностями, мы имеем: P(H) = P(H и понедельник) + P(H и не-понедельник). Но P(H и не-понедельник) равно 0, т.к. из того, что сейчас не-понедельник, следует, что выпала решка; а "H и понедельник" как раз и есть H1).

Обозначим через P* вероятность данного события для Лены в воскресенье вечером. Тогда понятно, что P*(H)=P*(T)=1/2.

Теперь мы можем описать в точных терминах две "неприятные возможности" третьего пункта:

1. P*(H) не равно P(H). Так считает троечник: для него P*(H)=1/2, а P(H)=1/3. Двоечник говорит: при переходе от P* к P Лена не приобрела абсолютно никакой новой информации и не потеряла никакой имеющейся (suffered no cognitive mishap, словами Эльги), поэтому вероятность H должна быть одинаковой для P* и P и равной 1/2 в обоих случаях.

2. Три возможных пробуждения: H1, T1 и T2 -- не равны по своим вероятностям P. Троечник счиает, что это абсурд, т.к. у Лены во всех трёх случаях абсолютно одинаковая информация, поэтому с точки зрения троечника P(H1)=P(T1)=P(T2). Т.к. в сумме они дают 1, мы получаем, что P(H1)=1/3, что и характеризует троечника. Этот аргумент и является той причиной, по которой троечник считает, что P(H)=1/3. "Интуитивный" аргумент с подсчитыванием множества пробуждений всего лишь упрощает "понимание" ответа для троечника -- этот аргумент опирается на предположение о том, что P(H1)=P(T1)=P(T2) (объяснение этого см. в пункте 3 выше).
Двоечник же считает эту неприятную возможность верной: с точки зрения двоечника P(H1)=1/2, поэтому вероятности всех трёх пробуждений не могут быть равны -- они тогда дали бы в сумме больше единицы.

Может ли одновременно быть неверной и первая, и вторая "неприятная" возможности? Нет, не могут: если первая неверна, то P(H)=P*(H)=1/2; если вторая к тому же неверна, то P(H1)=P(T1)=P(T2), но P(H1)=P(H)=1/2 и сумма P(H1)+P(T1)+P(T2) тогда выходит больше 1 - абсурд!

На этом я закончил первый анализ (немного другая его версия находится в статье Дорра). Теперь перейду ко второму: на основании чего может троечник отвергать вторую неприятную возможность и признавать первую? На основании чего может двоечник поступать наоборот?

Эльга, троечник, объясняет в своей статье, почему "вторая" возможность неверна, следующим образом. Он стремится доказать, что P(H1)=P(T1)=P(T2), т.е. что Лена во всех трёх пробуждениях обязана дать одинаковый ответ. Для того, чтобы доказать это, он доказывает отдельно сначала P(T1)=P(T2), а потом P(H1)=P(T1).

Почему P(T1)=P(T2)? Потому что мы можем "сузить" пространство перебора до T1 и T2, просто сообщив Лене в понедельник после пробуждения, что монета выпала решкой. Если Лена узнаёт, что монета выпала решкой, это значит, что возможности H1 больше не существует, т.е. верно утверждение "T1 или T2". Может ли тогда Лена каким-то образом выбрать между T1 или T2 (т.е. решить, понедельник сейчас или вторник)?. Ясно, что не может. Это всё равно, как если бы мы изначально просто не бросали никаких монет, а усыпили Лену в воскресенье, разбудили её в понедельник, дали медикамент, стирающий последние 24 часа, и разбудили опять во вторник. Есть ли у неё какая-то возможность решить при пробуждении, в понедельник она проснулась или во вторник? Конечно, нет, именно об этом позаботился медикамент; поэтому её субъективная вероятность того, что сейчас понедельник, должна быть 1/2 (применение так называемого principle of indiference (см. статью Эльги), в данном случае очень ограниченного и потому вроде бы проблем не вызывающего).

Значит, субъективная вероятность Лены того, что верно T1 (при условии, что выпала решка), равна её субъективной вероятности того, что верно T2 (при условии, что выпала решка). Формально: P(T1 | T1 или T2) = P(T2 | T1 или T2). Но отсюда немедленно следует, что P(T1) = P(T2).

(интуитивно это должно быть понятно, но вот техническое объяснение: например, из формулы, определяющей условную вероятность: P(X | Y) = P(X и Y)/P(Y). Применив эти формулу к обеим частям, получим P(T1 и (T1 или T2)) / P(T1 или Т2) =
P(T2 и (T1 или T2)) / P(T1 или T2). Но событие T1 и (T1 или T2) идентично событию T1 (если верно T1, то тем более верно (T1 или T2), и таким же образом T2 и (T1 или T2) идентично T2. Поэтому, сокращая, получаем P(T1)=P(T2)).

Итак, путём применения довольно логичного случая принципа безразличия, мы пришли к выводу, что P(T1)=P(T2) Двоечник Льюис в своей статье не оспаривает этот результат (а т.к. он считает, что P(H1)=1/2, отсюда следует, кстати, что для него P(T1)=P(T2)=1/4).

Почему теперь P(H1)=P(T1) с точки зрения Эльги? Он говорит следующее. Предположим, что мы изменим эксперимент так, что монету кидают не в воскресенье вечером, а в понедельник днём. Это не должно абсолютно ничего изменить, т.к. поступают согласно результату броска монеты всё равно только в понедельник вечером! Поэтому все вероятности должны оставаться такими же в этом случае. Просто, например P(H) теперь значит не вероятность того, что орёл выпал в воскресенье, а вероятность того, что орёл выпадет вскоре в понедельник. Итп.

Если мы теперь сообщим Лене в понедельник после пробуждения, что сейчас действительно понедельник, мы тем самым отметаем возможность T2 и сужаемся до возможности "H1 или T1". Но в чём заключается для Лены выбор между H1 и T1 в этом новом эксперименте? Всего лишь в том, выпадет орёл или решка в бросании честной монеты, которое скоро будет проведено. Т.к. монета честная, то вероятность должна быть 1/2. Поэтому для Лены P(H1 | H1 или T1) = P(T1 | H1 или T1) = 1/2, и по той же причине, что и в прошлом случае, мы получаем P(H1)=P(T1).

Итак, мы попытались доказать, что все три вероятности при трёх пробуждениях равны, использовав два аргумента: один, основанный на "принципе безразличия", другой, основанный на честности монеты и небольшом изменении, проведенном в эксперименте, которое вроде бы ничего не должно менять. Мы заключаем, что P(H1)=P(T1)=P(T2) и поэтому P(H1)=1/3. На этом Эльга завершает своё доказательство.

Льюис в своей статье оспаривает второй его аргумент: он не согласен, что P(H1)=P(T1) (т.к. Льюис двоечник, он считает, что P(H1)=1/2, а P(T1)=1/4). Льюис не согласен, что если изменить эксперимент так, что монета бросается в понедельник днём, это ничего не меняет в вероятностях. Признаюсь, я не совсем понял его аргумент по этому поводу (или я его понял, но он не показался мне убедительным). Дорр в своей статье приводит ещё одно изменение эксперимента, которое, по его мнению, более убедительно, чем сам Эльга, доказывает правоту Эльги: то, что P(H1)=P(T1). Желающих это понять отсылаю к статье Дорра.


Вроде всё. Замечания, дополнения итп. приветствуются.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: stas
2002-11-06 09:43 am
Мне все-таки кажется, что понятие "субьективная вероятность" - от лукавого. Что это понятие должно все-таки выражать?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2002-11-06 10:15 am

Re:

Ну, одно возможное определение я дал в этой записи. Субъективная вероятность - всего-навсего обычная условная вероятность события, когда в качестве условия выступает вся совокупность фактов, известных субъекту. Т.е. если Y - совокупность всего, что я знаю о мире, X - некоторое событие, а P - "обычная" объективная вероятность, то моя субъективная вероятность X равна P(X|Y).

Есть и другие подходы к определению субъективной вероятности, например, в модели возможных миров (совокупность известных мне фактов определяет "возможные" с моей точки зрения миры; например, если брошена честная с моей точки зрения монета, то возникают два возможных мира, каждый с субъективной вероятностью 50%; по мере получения новой информации некоторые возможные миры могут отсеиваться итп.) Но я не очень вижу, какое значение выбор подхода к определению субъективной вероятности играет в данной задаче. В любом случае, субъективная вероятность зависит от того, что субъект знает (напр. если субъект знает, что выпала решка, то его субъективная вероятность выпадения орла равна 0) и этого, мне кажется, здесь вполне достаточно.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: birdwatcher
2002-11-06 08:11 pm

> Субъективная вероятность - всего-навсего обычная условная вероятность
> события, когда в качестве условия выступает вся совокупность фактов,
> известных субъекту

Разве тогда парадокс не объясняется механической ссылкой на проблемы в теории множеств? А именно, "вся совокупность фактов, известных субъекту" не является множеством, не порождает сигма-алгебру и проч.

>Есть и другие подходы к определению субъективной вероятности, например, в
>модели возможных миров

Вероятно, сложности возникают при переходе от счетного к континуальному числу возможных миров?

>Но я не очень вижу, какое значение выбор подхода к определению субъективной >вероятности играет в данной задаче.

Мы определили некоторое число, про которое доказали, что он равно 0.5 и при этом равно 0.33. Значит, плохо определили? Как в парадоксе про наименьшее натуральное число, которое нельзя однозначно описать текстом короче, чем в 256 букв?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: veroniq
2002-11-07 12:33 am
kak raz "вся совокупность фактов, известных субъекту" - mnozhestvom javljaetsja :-)

v tom-to i delo, chto chislo my i ne opredelili - vsja diskussija o tom, kak ego opredeljat' i chto eto voobsche takoe
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: birdwatcher
2002-11-07 03:01 am

Я думал, что является нечто, определенное нетривиально, множеством, или нет, выясняется только после того, как его удалось или не удалось непротиворечиво использовать много где? И, казалось бы, "совокупность фактов, известных субъекту", определена нетривиально? В конце концов, абсолютно рациональному субъекту известно, в том числе, решение нынешнего парадокса?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: veroniq
2002-11-07 04:17 am
поняла Вас с большим трудом

1) я неакуратно выразилась про то, что что-то является множеством (само поняие неприятное, о чем и говорит то противоречие, на которое Вы ссылались. Про "непротиворечивое использование много где" говорить не буду - эта фраза имеет мало отношениия к математике). Точнее было сказать, что то самое "множество всех известных субъекту фактов" попросту конечно. Как бы его не определять - это подмножество множества всех подмножеств множества "элементов" информации (элементарных нервных сигналов, электрических разрядов и пр.), полученных человеком за его жизнь (все дискретно, поэтому "множество "элементов" информации" конечно, как и система всех его подмножеств).
2) я не понимаю, что такое "абсолютно рациональный субъект"
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: birdwatcher
2002-11-07 04:32 am

>эта фраза имеет мало отношениия к математике

Возможно, мы принадлежим к разным школам. Как вы решаете, является некая "совокупность" множеством, или нет? Я -- только опираясь на авторитет более опытных членов школы.

>(все дискретно, поэтому "множество "элементов" информации" конечно,
> как и система всех его подмножеств).

Таким образом, допустимо определить наименьшее натуральное число, неизвестное ни одному человеку, разве нет? (Определим свойство P как "известно кому-либо"; подмножество N таких что P -- конечно; следовательно, существует
наименьший элемент x в N, такой, что не P(x); теперь мы в точности знаем
значение x, неизвестное ни одному человеку).
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: veroniq
2002-11-07 08:38 am

чушь какая-то, простите...

можно нескромный вопрос, а к какой школе вы принадлежите??
и при чем тут авторитет "более опытных членов школы"? может, я глубоко заблуждаюсь, но математика все же учит думать самостоятельно.

о ней я с Вами спорить не буду, так как мы, похоже, действительно принадлежим к разным школам - в смысле, я все-таки имею к математике некоторое отношение и то, что говорю, при этом понимаю
(Ответить) (Parent) (Thread)
(Удалённый комментарий)
[User Picture]From: avva
2002-11-06 10:21 am

Re:

Пишете <lj-cut> в том месте, где надо оборвать, и дальше продолжаете текст.
Или <lj-cut text="custom message">
(Ответить) (Parent) (Thread)
(Удалённый комментарий)
[User Picture]From: dyak
2002-11-06 10:34 am

Я не дочитал, но хочу сказать...

Пока в задачке на теорию вер. не сказано, что измеряется (камушки, конфетки) то себя запутать очень легко. Говорить о "вероятности события" -- есть лишь сокращенная форма беседы о другом (о котором как правило обе стороны неявно согласны).
Вы сказали: "С одной стороны, я не уверен в том, как ответить на этот "двоечный" аргумент". Ответ: "в том аргументе задача не поставлена вообще."
Когда спрашивают "какова вероятность" нужно отвечать "Чего, барин, померять то хотишь?" Нужно идти к экспериментально (мысленно хотя бы как gedankeneksperiment) проверяемым вопросам/ответам. В том аргументе такового не поставлено.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: vvagr
2002-11-06 02:57 pm
Извините, никак не пойму, почему все так уверены, что у красавицы нет новой информации при пробуждении? После броска монетки она знает, что было одно событие, с двумя возможными исходами. После пробуждения она знает, что была куча событий, и возможных исходов уже три. Почему это всё не является новой информацией - то, что она заснула, проснулась, может быть получила укол и т.п.?

Я троечник, как видно :-)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: lom
2002-11-06 04:44 pm
Aнатoлий!
Вся привeдeннная Вами дискуссия интeрeсна,нo...
Я пo-прeжнeму считаю, чтo вeсь "парадoкс" - прoстo вoпрoс нeдoстатoчнoгo тoчнoгo, двусмыслeннoгo oпрeдeлeния пoнятия "субъeктивная вeрoятнoсть". Иначe гoвoря, этo нeдoразумeниe языка, а нe парoдoкс. В кoнцe кoнцoв, eсли мы oпeрируeм пoнятиeм,
тo eму дoлжнo быть данo тoчнoe и eдинствeннoe oпрeдeлeниe.
Давайтe я дам два oчeнь пoхoжих oпрeдeлeния - и в зависимoсти oт тoгo, какoe вы примeтe, мoжнo будeт исключить oдну из "плoхих вoзмoжнoстeй".

Oпрeдeлeниe нoмeр oдин: Субъeктивнoй вeрoятнoстью сoбытия ( вeрoятнoстью выпадeния oрла с тoчки зрeния Спящeй красавицы ) называeтся частoта ( прeдeл oтнoшeния... ) этoгo сoбытия при бeскoнeчнoм пoвтoрeнии экспeримeнта, кoтoрую наблюдатeль спoсoбeн вычислить, исключив влияниe сeбя как измeритeльнoгo прибoра.

Oпрeдeлeниe нoмeр два: Субъeктивнoй вeрoятнoстью сoбытия ( вeрoятнoстью выпадeния oрла с тoчки зрeния Спящeй красавицы ) называeтся частoта ( прeдeл oтнoшeния... ) этoгo сoбытия при бeскoнeчнoм пoвтoрeнии экспeримeнта, кoтoрую наблюдатeль спoсoбeн oбнаружить мeтoдoм нeпoсрeдствeннoй прoвeрки рeзультата экспeримeнта.

Вoт и вся истoрия - примитe oднo из oпрeдeлeний, и я нe oставлю камня на камнe oт oднoй из "плoхих вoзмoжнoстeй". Нeт парoдoкса.

Примeр пoдoбнoй "сeмантичeскoй" нeoпрeдeлeннoсти:
У мeня eсть часы, кoтoрыe спeшат на минуту в сутки...
Пoслeдний раз я пeрeставлял свoи часы 2-e сутoк назад. Я гляжу на часы и вижу: 9:00. В эту сeкунду мeня спрашивают: "Скoлькo сeйчас врeмeни, судя пo твoим часам ?"
Чтo мнe oтвeтить - 9:00 или 8:58 ?

(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: pilotv
2002-11-06 06:47 pm

Попробую подвести свои итоги

Мне, как и некоторым другим кажется, что причина неувязок и парадоксальности - именно в определениях (да и вообще, заметно, что именно в определениях многие путаются). Размышляя над этим, я пришел к выводу, что формулировка, которую вы изначально применили - самая правильная для этой задачи, как раз то, что и имеет смысл спрашивать:
"какова её уверенность в том, что монета выпала орлом".

Сразу хочу заметить, что по-моему, ближе всех это почувствовали и выразили авторы здесь:
1) http://www.livejournal.com/talkread.bml?journal=avva&itemid=496296&thread=5408424 - Событие "монетка упала орлом" - вероятность 1/2; событие "Лена проснулась после того, как монетка упала орлом" - вероятность 1/3
2) http://www.livejournal.com/talkread.bml?journal=avva&itemid=496296&thread=5421736 - При БРОСАНИИ монеты вероятность орла = 1/2. При СПРАШИВАНИИ подопытной вероятность того, что выпал орел =1/3.

Попробую изложить своими словами. Суть именно в том, что человек сам должен понимать под "своей уверенностью в событии". Это никак не может быть равно вероятности события, и должно быть выражено более формально. Также, определение "субъективная вероятность", или вероятность события при учете известных фактов, хотя и в принципе почти верно, но опять предоставляет простор для словестной путаницы. Я написал "почти верно", т.к. по-моему, в определении не помешало бы как то отразить возможность отсутствия самих "известных фактов" (если не считать таковыми _условия_, но лично предпочитаю их разделить), и, соответственно, необходимость учета не самих известных фактов, а уже ИХ вероятности.

Еще одна мысль - неверно напрямую пытаться сводить исходный вопрос (про "степень уверенности") к вопросу "что выпало?".

В итоге же, по-моему, правильным формальным заменителем для "какова её уверенность в том, что монета выпала орлом" будет вопрос:

- Какова вероятность того, что если на вопрос "что выпало" ты ответишь "орел", то ты угадаешь?

Причем, что важно, этот вопрос вполне адекватно задать и 3-му лицу, в форме:

- Какова вероятность того, что если на вопрос "что выпало", заданный в неопределенный, Лена ответит "орел", то она угадает?

И вот тут-то, получив такой формальный вопрос, по-моему, троечники получают все права на использование статистического подхода, на вычисление вероятностей задания вопроса в понедельник или вторник и т.д., и правильный ответ будет несомненно 1/3.
(Ответить) (Thread)
(Удалённый комментарий)
[User Picture]From: pilotv
2002-11-06 09:20 pm
Вот это тоже является подтверждением того, что все проблемы - в понятиях. Стоит их конкретизировать - в виде программы в т.ч., и сразу появляется только один верный ответ.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2002-11-07 01:41 pm

Re:

Ваши вычисления были наивными и излишними. Они заранее принимали в качестве истинного то, что потом стремились посчитать. Это всё равно, что написать программу, подсчитывающую вероятность выпадения орла у честной монеты путём подсчёта, сколько раз rand() выдаст число меньше 0.5.

Тот факт, что Ваша функция guess() обязана каждый раз возвращать один и тот же результат - то предположение, которое уже само по себе тривиальным образом диктует ответ 1/3, и не надо никакого подсчёта. Это предположение в терминах задачи соответствует отрицанию второй "неприятной возможности" - той возможности, что спящая красавица может по-разному оценивать шансы орла при разных пробуждениях. Подробно это описано в пункте 3 в записи выше.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: alexei_
2002-11-07 04:09 pm
Я рад, что предложенная мной программа показалась вам одновременно наивной и излишней, я поначалу тоже думал, что парадокс будет поинтересней.

Вероятность Х - это сколько раз имеет место Х, поделить на количество измерений. Вероятность того, что выпал орел - 0.5. Вероятность того, что сейчас орел - 2/3. Какие ещё могут быть варианты? Ваш обзор данных статей был очень интересен, но вы не дали ответа, вы просто очень понятно объяснили возможные позиции.

Аргументы с вариациями (красавице сообщается какой сейчас день или что выпала решка) меняют условия, и для получения ответа просто неприменимы.

Я так понимаю, что для двоечника неприемлем тот факт, что в воскресенье guess() = 0.5 а в понедельник+вторник guess() = 2./3. Что же тут удивительного, если на воскресенье приходится 0,1, а на понедельник+вторник (друг от друга не отличимые) приходятся 1,1,0. Это и меняется, когда она засыпает - вот она проснулась в наш понедельник, но с её точки зрения это понедельник+вторник. Если теперь ей сказать, что сейчас понедельник, её ответ естественно станет 0.5 в понедельник и 1 во вторник.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: ex_renat259
2002-11-07 07:33 pm
может я гоню, но по моему решение проще некуда. Все эти умные высказывания о том, что-де троечники узко смотрят и т.д. и т.п. наивны.

Нужно наверное, чтобы человек, который читал, понял, что чем неправильнее он ответит, тем хуже станет ему. Поэтому:
Введем новое условие - пусть это будет не Лена, а ты, читатель этих строк. Тебе за каждый правильный ответ дают доллар, за неправильный злобно отнимают у тебя тоже 1 доллар.
Факт первый - ты проснулся и понятия не имеешь, что там выпало и какой сейчас день.
Факт второй - если ответишь орел, то получишь доллар только в половине случаев понедельника, и в 0 случаев вторника.
Факт третий - вероятность того, что вторник настанет = 1/2.
Факт четвертый - вероятность того, что понедельник настанет = 1 (это очевидно).
Факт пятый - как следствие третьего и четвертого, понедельник наступает в 2 раза чаще, чем вторник.
Факт шестой - как следствие пятого факта, в 2 случаев из 3 вероятность выпадения решки и орла 50/50. Вероятность выпадения решки и орла в 1 случаев из 3 = 100/0.
Факт седьмой - как следствие восьмого факта, вероятность выпадения решки и орла = 200/100.
Факт восьмой - если ты будешь твердить "орел", в 1 случае из 3 ты действительно угадаешь.
Факт девятый - как следстиве десятого, итого: проигрыш в среднем 1 доллар за каждые 3 просыпания.
Вообще говорить о том, что просто провести виртуальный эксперимент в n случаях и посмотреть, что там выйдет, идеальный вариант. Он соответствует всем канонам статистики, суперстрогое математическое доказательство. Высказывания троечников (в этих рамках) верны, и я не понимаю, как их можно уличить в неправильности. Может пусть другие себя представят на месте Лены и осознают денежную сторону вопроса (ведь тогда им придется волей-неволей учитывать свои "просыпания", а не говорить, что, мол, вероятность выпадения орла 1/2.

По поводу высказываний ученых - в принципе, они пытались объяснить вышесказанное, введя какие-то обозначения. По поводу "двоечника", он просто ошибается.
Можно кстати сделать следующее: изменим эксперимент. Если выпадет решка, то она еще миллион раз, кроме первого раза, будет просыпаться (по-прежнему действует правило доллара). Кто теперь рискнет сказать, что орел-решка говорить все равно??? А ведь по соображениям двоечников вероятность = 1/2, хотя здесь на самом деле вероятность того что нужно сказать орел, будет равна 1/1000002 (то есть общая формула = 1/(n+2), где n - количество просыпаний после понедельника).

(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2002-11-10 08:46 am

Смешно получается

Если события не равновероятны, то можно подогнать их равновероятность описанным Вами трюком. Другими словами, ничто не мешает объявить существующую теорию вероятностей свойством природы. Была бы другая природа, была бы и другая математика.
(Ответить) (Thread)