?

Log in

новости в теории множеств - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

новости в теории множеств [май. 19, 2003|06:22 pm]
Anatoly Vorobey
[Настроение |excitedexcited]

Прочитал очень захватывающую статью, рассказывающую о недавних результатах, полученных Вудином (Woodin) касательно гипотезы континуума в теории множеств. Статью можно сгрузить с этой страницы в английском или французском вариантах и разных форматах; вот прямая ссылка на английский вариант в формате PDF. Надо отметить, однако, что, хотя статья и не техническая, она подразумевает знакомство с аксиоматической теорией множеств хотя бы до уровня знакомства с общей идеей больших кардиналов.

Попробую пересказать в одном абзаце суть результатов Вудина. Как известно, гипотеза континуума (Continuum Hypothesis, CH) утверждает, что следующая по "размеру" бесконечность после бесконечности натуральных чисел N — бесконечность действительных чисел R. Иными словами, CH говорит, что любое бесконечное подмножество действительных чисел будет равномощно по своему размеру либо самим действительным числам, либо натуральным числам. Результаты Гёделя (1938) и Коэна (1963), взятые вместе, показывают, что CH независима от других аксиом обычной теории множеств ZFC; т.е. гипотезу континуума невозможно ни доказать, ни опровергнуть из обычного списка аксиом ZFC (предполагая, что ZFC непротиворечива). Эти результаты оставляют открытым вопрос о возможном включении CH или ¬CH (отрицания CH) в качестве новой аксиомы в теории множеств; вопрос о целесообразности такого включения CH или ¬CH (или другой аксиомы, из которой следует CH или ¬CH) до сих пор остаётся открытым. Поиск "удобных" и "естественных" аксиом, которые позволили бы решить множество открытых в данное время или даже независимых от ZFC вопросов — значительная часть современной теории множеств. Так вот, Вудин показал глубокую связь между CH и частью теории множеств, которая занимается исследованием очень больших бесконечных множеств (настолько больших, что вряд ли возможно доказать их существование в ZFC, и обычно их существование постулируется с помощью новых аксиом, называемых аксиомами больших кардиналов) — связь, которая раньше была неизвестна, и которая доказывается Вудином при помощи очень сложного технического доказательства, которое замечательно тем, что использует одновременно несколько разных под-дисциплин теории множеств и логики (например, теорию рекурсивных множеств и теорию дескриптивных множеств), создавая исключительно захватывающее переплетение. Используя эту связь, Вудин показал (здесь сильное упрощение), что определённая "естественная" аксиома о существовании больших кардиналов доказывает, что в любой "естественной" интерпретации теории множеств CH будет ложна, и, более того, мощность континуума (мощность множества R действительных чисел) будет равна в точности алеф-2, т.е. третьей по "величине" бесконечности (алеф-0 — мощность натуральных чисел, наименьшая бесконечность; алеф-1 — следующая за алеф-0 бесконечность, и CH как раз утверждает, что мощность множества действительных чисел R равна алеф-1; "мощность" здесь и ранее — синоним слов "размер", "величина").

Более подробное описание см. в статье, в которой также есть ссылки на более технические статьи, которые я пока ещё не видел, и вряд ли смогу прочитать в ближайшее время (не все из них и доступны мне — мои знания о больших кардиналах очень поверхностны). Но всё равно очень интересно.
СсылкаОтветить

Comments:
From: 9000
2003-05-19 08:37 am
А есть ли, интересно, какие-нибудь иные кандидаты на обладание мощностью алеф-1, есть R окажется слишко велико?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2003-05-19 08:53 am

Re:

В некотором смысле такие кандидаты продемонстрировать невозможно. Конечно, если бы мы могли определить какое-то множество размером алеф-1, отличное по мощности от R, мы тем самым опровергли бы CH -- а мы знаем, что без новых аксиом это сделать невозможно. Можно было бы представить себе другую ситуацию: предположим, мы определили бы какое-то "естественное" подмножество R под названием X, и доказали бы, что его мощность алеф-1; но при этом вопрос о равномощности R и X оставался бы под вопросом (и оказался бы эквивалентен CH).

В некотором смысле такое X, конечно, существует. Можно просто взять всё множество R, хорошо-упорядочить (well-order) его, что возможно в ZFC благодаря аксиоме выбора, и в полученном порядке на R (который будет отличаться от обычного порядка, определённого между членами R) взять первые алеф-1 членов и назвать это X. Технически построение такого X не вызывает никаких сложностей. Но это X не будет "естественным" ни в каком полезном для нас математическом смысле, оно будет построенным ad hoc специально для этой цели.

С другой стороны, можно показать, что невозможно предъявить "естественное" множество X такого рода, для некоторых технических понятий "естественности" . Например, не существует такого множества X, которое можно было бы определить с помощью какой-то формулы в языке R; иными словами, невозможно назвать какое-то свойство действительных чисел, так, чтобы множество X всех чисел, выполняющих это свойство, было как раз размера алеф-1. Точнее говоря, доказывается, что любое "определимое" таким образом бесконечное подмножество R будет иметь размер либо самого R, либо N. Любое "промежуточное" множество обязано в некотором смысле ускользать от возможности эксплицитного описания, по крайней мере в рамках языка действительных чисел.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: 9000
2003-05-20 12:19 am
Спасибо :-) Очень любопытно.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: readership
2003-05-19 08:49 am
Очень интересно, но настолько же и непонятно, увы. Что, проблематичность "естественной" аксиомы о существовании больших кардиналов менше, чем у CH? Короче, насколько "реальна" третья бесконечность?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2003-05-19 09:48 am

Re:

проблематичность "естественной" аксиомы о существовании больших кардиналов менше, чем у CH?

И да, и нет. С одной стороны, для математиков вне логики/теории множеств аксиомы о больших кардиналах - вообще бессмыслица какая-то, которая им не нужна. CH они хотя бы могут понять и оценить, хотя она им тоже не нужна практически никогда.

С другой стороны, у CH есть та фундаментальная проблема, что, собственно, непонятно, "в какую сторону решать" (если уж принимать либо CH, либо not-CH за аксиому). CH и not-CH примерно одинаково интуитивны; и за CH, и за not-CH есть разные неформальные "аргументы". Многие специалисты считают, что это означает, по сущности, что мы всё ещё не очень хорошо понимаем CH.

С аксиомами о существовании больших кардиналов пробемы нет: если их принимать, то принимать именно их, а не их отрицания. И сами такие аксиомы, и польза, которую принесёт их принятие, хорошо изучены. Важность результатов Вудина как раз в том, в частности, что они связывают вопрос CH с этой хорошо изученной технически и неплохо понятой частью теории множеств. Другой немаловажный аспект результатов Вудина -- их очевидная глубина. Глубокие и сложные результаты, связывающие разные области математики (в данном случае разные области теории множеств) обычно "создают" математику вокруг себя, сильно расширяя и перекраиваемая область понимаемого и изучаемого в данной дисциплине.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: all_ride
2003-05-19 12:18 pm
Спасибо, Авва, очень интересно. Интуиция, правда, подсказывает, что и мощность континуума великовата и вызывает проблемы с понятиями сходимости и предела.

Откуда не следует, что большими кардиналами не следует заниматься - у них может оказаться неожиданная интересная интерпретация. Меня гораздо сильнее впечатляет завершение теории конечных групп и все эти большие натуральные числа, которые играют в ней роль. Мы, как-то, привыкли, что осмысленные числа невелики, скажем, е, пи и ноль с единицей.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: kapahel
2003-05-19 01:43 pm
А вот вы за гип.к. или против (интуитивно, как было бы по-справедливости)?

>результаты, связывающие разные области математики
set theory сама по себе аутична очень, по-плохому.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2003-05-19 01:52 pm

Re:

Я скорее против, чем за.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2003-05-19 09:50 am

Re:

Короче, насколько "реальна" третья бесконечность?

"Реальной" она, конечно, в результате этих достижений не стала -- сказать такое значит сильно преувеличить.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: readership
2003-05-19 02:46 pm
Спасибо за ваши разъяснения, avva.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: squadette
2003-05-19 12:16 pm
а что такое "methods of forcing" и "method of fine structure"?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2003-05-19 03:16 pm
Forcing - это метод, который придумал Коэн, и с помощью которого он доказал независимость аксиомы выбора и гипотезы континуума от других аксиом.

Предположим, у нас есть некий набор аксиом T, и ещё одна аксиома X. Нас интересует статус независимости X от аксиом в Т (например, в случаe CH X будет CH, а T будет теория множеств ZFC). Может получиться так, что существует доказательство X из T; тогда X - лишняя, ненужная аксиома, оне не независима от T. Может получиться так, что существует опровержение X из Т (т.е. доказательство не-X); тогда X вообще очень неудачная аксиома, т.к. вкупе с T она даёт неконсистентную теорию (к-я доказывает X и не-X).

Если ни то, ни другое не верно, мы говорим, что X независима от T.

Но как эту независимость доказать? Самый обычный способ - построением моделей (интерпретаций). Предположим, нам удалось построить интерпретацию ZFC (т.е. некую коллекцию объектов, которые являются "множествами", плюс заданное соотношение принадлежности между ними, определяющее, какое "множество" является членом какого -- и, кроме того, мы доказали, что эти объекты с этим заданным отношением принадлежности выполняют все аксиомы ZFC), в которой CH неверна. Тогда из этого следует, что CH невозможно доказать в ZFC (если аксиомы теории T верны в какой-то модели, то и всё, что можно из них доказать, тоже верно в этой модели). Если мы теперь ещё построим другую модель ZFC, в которой CH верна, значит, и опровергнуть CH из ZFC тоже невозможно, и, следовательно, CH независима от ZFC.

В 30-х годах Гёдель проделал половину работы. Он определил модель L (я здесь опускаю всякие технические сложности, связанные с тем, что это не совсем модель. Это коллекция множеств, выполняющих нужные аксиомы, но сама эта коллекция, сам "мир" модели - не множество, он слишком большой), которую можно назвать миром "определимых" множеств в некотором техническом смысле. L включает в себя только те множества, которые она "никак не может не включать". Благодаря этой экономности L ведёт себя очень "хорошо": в частности, в ней выполняется CH. Из этого следует, что CH невозможно опровергнуть в ZFC.

Построить модель ZFC, в которой CH была бы неверна, оказалось делом намного более сложным. Метод форсинга, который придумал Коэн, позволяет, начав с какой-то определённой модели ZFC, необязательно выполняющей то, что нам нужно, добавлять в неё дополнительные члены согласно заранее определённому плану, позволяющему заставить (to force) получающуюся модель-расширение выполнять нужные нам свойства. Естественно, не для всех свойств такое возможно или известно, как сделать, но для многих это оказывается возможным; и именно с помощью этого метода Коэн построил модель-расширение, в которой не выполняется CH.

Fine structure - мощный метод более подробного изучения таких моделей, как L, описанная выше, и её вариантов. Его придумал Jensen, если не ошибаюсь. Я его недостаточно хорошо понимаю, чтобы смочь объяснить в нескольких предложениях ;)
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: ex_ilyavinar899
2003-05-19 03:45 pm
У меня теория множеств почему-то всегда ассоциируется с Александром Абианом.
(Ответить) (Thread)