?

Log in

о группах - Поклонник деепричастий [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

о группах [май. 27, 2003|03:48 pm]
Anatoly Vorobey
[Настроение |restlessrestless]

Красота теоремы Громова, доказавшего равенство "группы с полиномиальным ростом" = "почти нильпотентные группы", не перестаёт меня тревожить уже много месяцев, с тех пор, как я случайно её коснулся. Очень хочется прочитать и понять доказательство, но не верю, увы, что оно мне будет доступно и понятно; а чтобы было доступно, надо много чего изучить, на что времени нету.

И всё равно — тревожит и волнует.
СсылкаОтветить

Comments:
From: (Anonymous)
2003-05-27 05:57 am
Красота теоремы Гёделя "о неполноте" тревожит и волнует меня уже лет двадцать.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2003-05-27 05:59 am

Re:

Для теоремы Гёделя в принципе существуют хорошие источники, разбирающие её по полочкам. Хотя, как ни странно и обидно, по-русски я ни одного такого источника не знаю.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2003-05-27 06:01 am

ого!

Тогда, пожалуйста, кратенько мне суть здесь по-русски кинь?

Буду страшно признателен!
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2003-05-27 06:03 am

Re: ого!

Вот здесь та запись, которую я упомянул в комменте ниже.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: malaya_zemlya
2003-05-27 06:13 am
Неплохое (ИМХО) популярное объяснение теоремы Геделя содержится в книжке Р.Смаллиана "Принцесса или Тигр?".
Она была переведена на русский еше в 85 году.
Частично ее текст можно прочитать на http://golovolomka.hobby.ru/
Но к сожалению как раз части про теорему Геделя на этом сайте и нет.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2003-05-27 06:22 am
Я очень любил эту книгу в детстве.
Смульян вообще гений.
И всё же в его книге он подходит постепенно к объяснению только слабого, "семантического" варианте теоремы Гёделя.

А вот лучший вообще источник про теоремы о неполноте Гёделя, который я знаю - книга того же Смульяна "Goedel Incompleteness Theorems".

Эта книга со строгими и полными доказательствами всего, что нужно, но при этом в ней количество ненужных technicalities сведено до минимума, а конкретным теоремам о конкретных формальных системах предшествуют их "абстрактное" изложение в виде "абстрактных" теорем, позволяющих лучше прочувствовать идею теорем и общее строение доказательств.

Есть немало других хороших книг про теоремы Гёделя, но эту я особенно рекомендую всем желающим. Конечно, стоит учитывать, что это не книга головоломок и не популярное изложение. Требуется некоторое, пусть минимальное, знакомство с математической логикой, и некоторое количество того загадочного материала, который по-английски называется mathematical maturity -- способность следовать за математическими рассуждениями, не путаясь в мелочах и не теряя нити повествования.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2003-05-27 06:23 am

Ронни

"Принцесса или тигр" - название книжки Мартина Гарднера. Она есть у меня. Они что, издевались над нами?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: yms
2003-05-28 09:38 pm
Кстати:
случайно подвернулся сегодня линк на книгу В.А.Успенского "Труды по нематематике", где в том числе есть что-то о теореме Гёделя (ещё не смотрел)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2003-05-27 06:02 am

Re:

Кстати, у меня в дневнике было что-то вроде введения в теорему Гёделя недели две назад -- видели?

Не уверен, что оно хорошо получилось, правда -- я торопился слишком. Я пытался там подчеркнуть, насколько мог, то взаимопроникновение и переплетение синтаксиса и семантики, которое является, по моему убеждению, наиболее важной и красивой гранью современной логики.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2003-05-27 06:06 am

Ронни

Назовем меня так. Не видел, сожалею. Я на вас вышел как на dimkin friends, отматывать назад ленту на столько дней - непомерный труд.

Прямую ссылочку можно?

Впрочем, я дурак. Я в вашем журнале сейчас поищу.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2003-05-27 06:08 am

Ронни

Мысли читаются взаимно :)))
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2003-05-27 06:00 am
А написание двумя японскими профессорами ДСЧ с периодом (оценочно) два в 619 степени волнует неимоверно! А название-то каково: датчик Мерсена Твистера!
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: malaya_zemlya
2003-05-27 08:43 am
А нельзя ли совсем вкратце объяснить что-же это значит?
А то в mathworld-е про это ничего нет, а гуглем находятся только навернутые статьи, нам, чайникам, непонятные.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2003-05-27 08:52 am

Re:

Смотря с чего начинать. Нужно ли объяснять, что такое: а) группа; б) свободная группа?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: malaya_zemlya
2003-05-27 09:08 am

Re:

не нужно. не все так плохо =)

Если это можно объяснить, скажем, на уровне Bachelor of Math (3-4 курс мехмата, если по-русски), то было бы замечательно.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2003-05-27 09:44 am
Тогда довольно просто.
Пусть у нас есть группа G с конечным генерирующим множеством S. Любой член G может быть записан как произведение членов типа s или s^-1, где s в S. К таким произведениям мы можем относиться как к формальным словам, построенным на алфавите S. Тогда для любого члена группы g можно определить его длину как длину наименьшего слова из S, произведение которого равно g.

Вообще говоря, разные слова могут давать одинаковые произведения: если a,b,c,d разные генераторы, может оказаться, скажем, что ab=cd, или что а*а*а*а*а=1 итп. В свободной группе такого случиться не может, в ней по определению два разных слова имеют одинаковое произведение, т.е. определяют один и тот же член группы, только если из одного можно перейти в другое тривиальным внесением/удалением пар типа a*a^-1.

Теперь для любого числа n зададим вопрос: сколько есть разных членов группы G длиной не больше n? Назовём это число f(n).

Если G - свободная группа, то "разные члены" - почти то же самое, что "разные слова", и поэтому легко видеть, что f(n) примерно равна (2d)^n, где d - количество генераторов в S. Т.е. экспоненциальная функция. Это верхний предел, больше быть не может.

С другой стороны, если G коммутативна, то количество разных членов длиной <=n зависит только от степени каждого генератора в произведении, а не от взаимных расположений, и легко видеть, что f(n) тогда полиномиальная от n.

Можно легко увидеть, что замена множества генераторов на другое меняет функцию роста с точностью до многочлена, не более того. Так что рост группы (с точностью до многочлена) хорошо определён и зависит только от самой конечно генерируемой группы.

Так что у нас есть две крайности: есть полиномиальные группы (группы с полиномиальными функциями роста) и экспоненциальные. Долгое время оставался открытым вопрос о том, есть ли что-то посредине; его решил Григорчук в 80-х, построив группу с промежуточной функцией роста.

В общем, целое направление в теории групп изучает функции роста, свойства разных групп с разными функциями роста итп.

Можно легко показать, что если у G есть подгруппа конечного индекса H, такая, что H полиномиальна, тогда и G полиномиальна (и вообще функции роста G и H эквивалентны с точностью до полинома). Легко также показать, что любая нильпотентная группа полиномиальна. Отсюда следует, что любая почти-нильпотентная (т.е. имеющая нильпотентную подгруппу с конечным индексом) группа полиномиальна.

Громов доказал обратное направление, очень нетривиальное и красивое. Его доказательство использует геометрические методы, превращая группу в метрическое пространство ("расстояние" между членами a и b связано с наименьшей длиной члена a*b^-1), и использует по дороге Римановы многообразия, группы Ли и решение 5-й проблемы Гильберта. Можно, наверное,сказать, что результат Громова по сути дела заложил основу того, что называется сегодня "геометрическая теория групп" -- я, правда, довольно мало об этом знаю.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: malaya_zemlya
2003-05-27 11:22 am

Re:

Ага, в целом ясно.
Вооруженный этой новой информацией, я нашел следующие ресурсы:

http://www.math.cornell.edu/~bux/pg_e03.html
http://www.ma.ic.ac.uk/~mbrids/

Возможно, они Вам пригодятся

(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: kapahel
2003-05-27 11:29 am
Вот к этому: "римановы".
Извините за занудство.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2003-05-27 11:34 am
Ваша правда, спасибо.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: justpasha
2003-05-30 08:45 am
> Можно, наверное,сказать, что результат
> Громова по сути дела заложил основу того,
> что называется сегодня "геометрическая
> теория групп"

Основа была пожалуй заложена Cayley и Dehn'ом которые начали рисовать Cayley graphs.





(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: avva
2003-05-30 10:51 am

Re:

Спасибо за поправку (я не очень в этом разбираюсь).
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2003-06-02 08:48 am

говорящие имена

Пригожин (http://www.livejournal.com/users/atrey/19495.html)
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: alexeiv
2003-06-04 09:59 am
поскольку вам, как я вижу, нравится математика в разных видах, вас, возможно, заинтересует эта красивая головоломка, которая как раз вписывается в теорию групп. Я не придумал ее, только написал код.

http://vesver.narod.ru/16/rindex.htm
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2003-06-04 12:19 pm

Re:

Спасибо!
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: french_man
2003-06-04 03:55 pm

There is a wounderfull Bourbaki talk by Tits. I think you will understand it.

Tits, Jacques
Groupes à croissance polynomiale (d'après M. Gromov et al.). (French) [Groups with polynomial growth (after M. Gromov et al.)]
Bourbaki Seminar, Vol. 1980/81, pp. 176--188,
Lecture Notes in Math., 901,
Springer, Berlin-New York, 1981.

There is a Russian translation, but I doubt you can find it in Jm. If you wish, I can send it to you when I am back to Bx.
(Ответить) (Thread)