Вот очень красивое (по-моему) решение непростой математической задачки , которую я поместил в журнале в ночь на воскресенье. Если кто-то не хочет смотреть, а хочет решать сам, не заглядывайте под лж-кат. Итак, у нас есть четырёхугольник ABCD в пространстве, так что все его стороны касаются одной и той же сферы. Обозначим точки касания T 1 , T 2 , T 3 и T 4 (по порядку обхода: т.е. T 1 - точка касания стороны AB, T 2 - стороны BC, T 3 - стороны CD и T 4 - стороны DA). Нам нужно доказать, что эти четыре точки лежат в одной плоскости. Сначала заметим тот очевидный факт, что расстояние от каждой вершины до любой из точек касания, связанных с этой вершиной, одинаковое: например, расстояния AT 1 и AT 4 одинаковые. Это следствие того общего факта, что расстояние от точки A до любой точки касания T на сфере по какой-то касательной AT не зависит от выбора T, а зависит только от A и сферы (например, из соображений симметрии; просто нарисуйте в уме A и сферу в симметричном положении, и всё станет ясно). Таким образом, AT 1 =AT 4 , BT 2 =BT 1 итд. для всех точек. Теперь мы делаем следующее: помещаем в каждую из вершин A,B,C,D массу, равную обратному расстоянию от этой вершины до её точек касания (например, в килограммах). Скажем, в вершину A мы помещаем массу, равную 1/AT kg. Теперь достаточно напрячься и припомнить определение центра масс, чтобы заключить, что центр масс системы точек {A,B} находится в точности в точке T 1 , центр масс системы точек {B,C} находится точно в T 2 итп. Если мы сгруппируем точки так: {A,B} и {C,D}, то увидим, что центр масс первой группы находится в T 1 , второй — в T 3 , а следовательно центр масс всей системы находится на прямой, соединяющей T 1 и T 3 . Если же мы сгруппируем точки так: {A,D} и {B,C}, то точно таким же образом увидим, что центр масс всей системы находится на прямой, соединяющей T 2 и T 4 . Т.к. это один и тот же центр масс, это одна и та же точка. Вывод : прямые T 1 T 3 и T 2 T 4 пересекаются . Следовательно, вместе они образуют плоскость, в которой и лежат все четыре эти точки. Что и требовалось доказать. P.S. Решение было подправлено несколько раз в мелочах (у меня плохая память и мне надо больше спать), спасибо oblomov_jerusal и drw.