Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

две математические задачки

Обе примерно на уровне знакомства с рациональными и иррациональными числами и доказательства Кантора о несчётности действительных чисел. Первая попроще, вторая чуть посложнее.

Пусть s1, s2, s3, ... — какое-то перечисление всех рациональных чисел в [0,1], а 0.ai,1 ai,2 ai,3... — десятичное представление числа si. Мы можем построить бесконечную матрицу (ai,j), в которой каждая строка является десятичным представлением числа si.

1) Доказать, что если в этой матрице начать с любого элемента ai,j и идти вниз по диагонали: 0.ai,j ai+1,j+1 ai+2,j+2... то получится десятичное представление иррационального числа.

2) Доказать, что существует такое перечисление s1, s2, s3, ... , при котором в матрице (ai,j) все столбцы (т.е. 0.a1,j a2,j a3,j... для любого j) являются десятичными представлениями рациональных чисел.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 5 comments