Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Categories:

математическое мышление

Пытаясь объяснить себе, что мне не нравится в своём же собственном отношении к доказательствам в математике, я придумал вот какой пример. Вот, скажем, есть теорема Нильсена-Шрейера. Она гласит, что каждая подгруппа свободной группы тоже свободна, сама по себе.

У этой теоремы есть несколько доказательств. Одно из них — алгебраическое, восходит к работам Нильсена. Возьмём свободную группу и подгруппу в ней. Возьмём множество порождающих подгруппы. Докажем, что его можно преобразовать, за конечное число шагов, в некоторым образом редуцированное множество порождающих, используя определённое определение такого редуцированного множества. Докажем, что редуцированное множество в свободной группе обладает тем свойством, что никакое нетривиальное произведение не может дать 1, и отсюда легко следует, что такое множество порождает свободную подгруппу. Всё это работает пока что только для свободных групп конечного ранга, но есть трюк, использующий частичный порядок на коллекции всех множеств порождающих (подробностей не помню), который позволяет достаточно легко расширить это на любую свободную группу. В общем и целом, это доказательство довольно муторное с технической точки зрения, нужно возиться с длинами элементов группы (в их репрезентации как строк над алфавитом базиса группы), вводить всякие условия того, на сколько разрешается двум или трём элементам-строкам сокращать друг друга при умножении (определение редуцированного множества на этом основывается), подсчитывать эти длины в доказательствах итп.

И есть топологическое доказательство, куда более стройное с технической точки зрения. Любую свободную группу можно представить как фундаментальную группу графа (тривиально). Любая подгруппа фундаментальной группы комплекса реализуется как фундаментальная группа некоторого накрытия данного комплекса (достаточно просто). Любое накрытие графа — само тоже граф (просто). Фундаментальная группа графа всегда свободна (тривиально). Всё.

Если выписывать подробно все топологические шаги второго доказательства, то, наверное, получится больше писанины, чем в первом, но в любом случае эти шаги — часть общей стройной теории, в них нет ничего специального, и нет этой арифметической мелкой возни с длинами и сокращениями, которая нужна в первом доказательстве. На первый взгляд, второе доказательство не даёт, в отличие от первого, эксплицитного свободного базиса для подгруппы, но его на самом деле можно вытащить из этого доказательства тоже, при желании. Второе доказательство более "глубокое", более стройное, более "концептуальное", если можно так сказать. Наконец, оно несомненно более простое.

Но мне при этом больше нравится первое. И в этом, наверное, я неправ, в этом проявляется плохое, вредное стремление к прозрачности, что ли, не знаю даже, как это лучше определить. В первом доказательстве я понимаю, что происходит, и почему оно происходит, и как оно всё редуцируется, при желании, к первым принципам. Во втором доказательстве присутствует элемент "чуда", который всегда возникает, когда для решения проблемы в одной области используется совсем другая. Такое "чудо" всегда красиво, и совершенно необходимо для существования математики, более того, наверное, именно такие "чудеса" в математике важнее всего остального, но меня в таких случаях не оставляют подозрения, что я не всё понимаю как следует — именно потому, что нет очевидной редукции к первым принципам, наверное.

В общем, первое доказательство мне нравится больше потому, что с ним я себя чувствую уютнее, примерно так. А надо бы по-другому, лучше бы, наверное, было, если бы я интуитивно предпочитал второе доказательство. Так мне кажется (я прошу прощения за сумбурность всех этих мыслей, у меня не получается это как следует сформулировать; если неясно, о чём это я вообще, то это, наверное, моя вина).
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 8 comments