Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Categories:

несколько парадоксов

На этой довольно полезной странице (англ.) вкратце описаны самые знаменитые логические парадоксы, плюс несколько относительно малоизвестных. В частности, первые два парадокса оттуда мне раньше не встречались. Вот они в переводе на русский язык, и вместе с ними я опишу ещё один современный парадокс, парадок Ябло (Yablo), весьма интересный (на странице, пролинкованной выше, его нет).

  • Парадокс предисловия. Часто бывает так, что автор книги извиняется перед читателями, в предисловии, за любые допущенные ошибки. Если, к примеру, это не первая книга автора, то он на своём опыте хорошо знает, что полностью избежать ошибок невозможно, и где-нибудь какое-нибудь утверждение в книге окажется неверным. Поэтому извиниться заранее — вполне рациональное поведение с его точки зрения. С другой стороны, каждое утверждение в книге было сформулировано автором потому, в частности, что он считал его истинным [мы предполагаем, что автор не врёт специально, и не утверждает того, в чём не уверен]. Но выходит тогда, что убеждения автора содержат противоречие: он считает все утверждения в тексте истинными, и одновременно уверен, что как минимум одно из них ложно.

  • Парадокс токсина Кавки (по имени философа, который описал этот парадокс). Представьте себе, что некий эксцентричный богач обратился к вам со следующим предложением. Он даст вам ампулу с токсической жидкостью; если вы выпьете эту ампулу, то будете очень плохо себя чувстовать в течение одного дня, но потом всё пройдёт и никаких долгосрочных последствий не будет. Богач заплатит вам миллион долларов, если сегодня в полночь вы будете собираться выпить ампулу с токсином завтра после обеда. Деньги вы получаете именно за намерение; если вы потом передумаете и всё же не будете пить токсин завтра, то деньги у вас всё равно останутся. Богача не интересует, выпьете вы токсин или не выпьете, ему нужно только, чтобы сегодня в полночь вы намеревались выпить его завтра.

    Из этого следует, конечно, что после того, как вы получите миллион долларов за намерение выпить токсин, вы не будете на следующий день пить его — зачем? Но если вы это понимаете заранее, как вы можете сегодня в полночь намереваться выпить токсин, если вы знаете, что завтра этого не сделаете? Есть ли у вас вообще возможность получить деньги богача?

  • Парадокс Ябло. Важность этого парадокса в том, что, хотя он похож на парадокс лжеца и разные его варианты, этот парадокс, по крайней мере на первый взгляд, избегает автореферентности (self-reference). Правда, многие считают, что это только на первый взгляд, и автореферентность хитро "спрятана" внутри парадокса. Философы продолжают спорить на эту тему.

    Возьмём бесконечное число утверждений (каких именно, сейчас скажем) и пронумеруем их: S0, S1, ..., Sk, ... и так до бесконечности. Здесь Sk обозначает утверждение номер k. Теперь о том, что они собственно утверждают: Sk утверждает "все Sn, для n>k, ложны". То есть, например, S0 утверждает, что все утверждения начиная с S1 и дальше ложны, а S17 говорит, что ложны S18, S19 и так далее до бесконечности. В частности, обратите особое внимание на тот факт, что каждое утверждение ничего не говорит о своей собственной истинности или ложности, даже косвенным способом, т.к. оно утверждает что-то лишь об утверждениях с большими номерами, и для всех них это тоже верно.

    Возьмём любое утверждение Sk. Ложно оно или истинно? Предположим, что истинно. Тогда Sk+1, Sk+2 итд. все ложны. Но ложность Sk+2, Sk+3, итд. — как раз то, что утверждает Sk+1. Поэтому получаем противоречие: с одной стороны Sk+1 ложно (прямое следствие истинности Sk), с другой стороны истинно (прямо следствие ложности Sk+2, Sk+3, итд). Раз мы достигли противоречия, значит, наше предположение было неверным, и Sk на самом деле ложно. Причём это верно для любого k.

    В частности, ложны S1, S2, итд. до бесконечности. Но это как раз то, что утверждает S0, поэтому S0 истинно. Но мы уже доказали, что S0 ложно, как и любое другое Sk. Получаем противоречие и парадокс.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 56 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →