Спасибо за ссылки. Интересные статьи.

Эта критика аргументов "а-ля Пенроуз" не показалась мне убедительной. Если я правильно понял аргументацию, автор считает, что мы не можем "обосновать" непротиворечивость арифметики. Непонятно, почему этот аргумент не распостраняется на сами арифметические аксиомы. Можем ли мы интуитивно увидеть истинность схемы аксиом индукции? Или даже достаточно сложной одной аксиомы индукции? В чем разница?

С другой строны, я не перестаю удивляться тому, что в теоремах математической логики по-прежнему ищут глубокий философский смысл, и по-прежнему считают вопросы оснований актуальными. Теорема Геделя - элегантный результат теории моделей, как хорошо видно из замечательного доказательства Крипке, о которым вы нам поведали. Тоже самое можно сказать и о теореме Коэна.

Неадкватность формальных систем по отношению к математической интуиции продемонстрировала уже теорема Левенгейма-Сколема, согласно которой у арифметики есть несчетные модели, а у теории множеств - счетные. Ее очень простое доказательство ясно показывает, в чем суть дела. Теоремы Геделя, Коэна, Харрингтона-Кирби-Париса, - элегантные иллюстрации этого явления, не более того. На сегодняшний день, как мне кажется, результаты Фридмана (и даже Харрингтона-Кирби-Париса) заслуживают гораздо большего внимания, чем результаты Геделя.

Почему-то философы так и остались в 30-х годах прошлого века.

Эта критика аргументов "а-ля Пенроуз" не показалась мне убедительной. Если я правильно понял аргументацию, автор считает, что мы не можем "обосновать" непротиворечивость арифметики. Непонятно, почему этот аргумент не распостраняется на сами арифметические аксиомы. Можем ли мы интуитивно увидеть истинность схемы аксиом индукции? Или даже достаточно сложной одной аксиомы индукции? В чем разница?

Не уверен, что правильно понимаю Ваше возражение. Если я его правильно понимаю, оно мне кажется неверным и вот почему. Мы (люди) видим интуитивно истинность всех аксиом арифметики первого порядка; и в частности, видим, что эта формальная система непротиворечива. Но и истинность Гёделева предложения для этой формальной системы мы тоже видим, так что никакого противоречия нет. Аргумент Пенроуза покоится не на нашем отношении к формальной системе арифметики; он покоится на нашем отношении к формальной системе, которая заключает в себе нас самих, а эта система, очевидно, богаче арифметики. Если есть теория T, которая формализует наши способы рассуждения, то у этой теории есть Гёделево утверждение G, которое должно быть недоказуемо в T; но мы интуитивно видим его истинность (как и истинность любого Гёделева утверждения). Это аргумент Пенроуза. Критика автора данной статьи: на самом деле мы видим истинность утверждения "если T непротиворечива, то G истинна", а не истинность G. В обычном доказательстве для арифметики, особенно в простых его изложениях, мы часто опускаем гипотезу о непротиворечивости T, потому что в случае арифметики она нам очевидна. Однако формализация доказательства внутри T (например, чтобы доказать вторую теорему) требует этой гипотезы: T, естественно, не доказывает G, но с лёгкостью доказывает Cons(T)->G, даже точнее Cons(T)<->G. Так и "мы", если предположить, что T формализует наше мышление, не видим интуитивно истинности G вопреки Пенроузу, а видим только истинность Cons(T)<->G, в полном соответствии с доказуемостью этого утверждения внутри T. Мы могли бы заключить нечто большее, чем Т, только если бы мы интуитивно видели непротиворечивость нашего мышления (а не просто арифметики, которая является всего лишь частью нашего мышления), но действительно ли мы его видим интуитивно? Судя по всему, нет.

Но если я неправильно понял Ваше возражение, объясните подробнее.

Ну, во-первых, ваше изложение лучше, чем у автора статьи (не буду пытаться воспроизвести его финскую фамилию). Две книги Пенроуза оно все же вряд ли опровергает (я их не изучал детально, но мне кажется, что там много всяких соображений).

В вашем изложении присутствует неопределенная теория Т, "формализующая наше мышления". Смысл фразы в кавычках совсем не ясен. Очевидно, если мы возьмем все наше мышление, оно противоречиво и, в сочетании с правилами формальной логики, Т необходимо содержит все утверждения. Т.е. Т тривиальна, и никаких выводов, рассуждая о Т, сделать нельзя.

Так что речь должна идти о какой-то серьезно ограниченной теории Т. Как минимум, теория Т должна касаться только математических утверждений и методов рассуждения. Дальнейшее выглядит как тавтология. Если Т включает в себя только допустимые (по-английски лучше будет legitimate) математические методы рассуждения, то она в наших глазах непротиворечива. Просто потому, что иначе мы не признаем эти методы расссуждения за допустимые. (Автор использует как сильный аргумент то обстоятельство, что некоторые логики предлагали теории, впоследствии оказавшиеся противоречивыми. Мне кажется, что это вполне аналогично неправильным доказательствам - ошибки всегда возможны. К тому же, эти теории не выходили из узкого круга логиков, и ни один математик никогда не признавал их как допустимое основание для его работы.) Итак, использование Т в этом рассуждении правомерно только тогда, когда мы верим в непротиворечивость Т, и, следовательно, верим, что G верно.

Вопрос о Strong AI для меня выглядит своего рода партийным - аргументы противной стороны не воспринимаются, а каждая своя маленькая находка объявляется фатальным ударом по противнику. Например, Мартин Дэвис в гораздо более популярном (и, можно сказать, примитивном), чем книги Пенроуза, сочинении приводит полустраничный аргумент, который, по его мнению, опровергает все рассуждения Пенроуза.

А что вы думаете по поводу других моих замечаний - о философах, оставшихся в 30-х годах и теореме Левенгейма-Сколема?

Неадкватность формальных систем по отношению к математической интуиции продемонстрировала уже теорема Левенгейма-Сколема, согласно которой у арифметики есть несчетные модели, а у теории множеств - счетные. Ее очень простое доказательство ясно показывает, в чем суть дела.

Можно и наоборот сказать, что "парадоксы" Л-С демонстрируют неадекватность математической интуиции по отношению к формальным системам. Можно уточняющий вопрос: а в чем суть дела?

Я, к своему стыду не знаю ничего о результатах Фридмана и Х-К-П (об остальном упомянутом вами имею представление), поэтому не понял, что Вы имели в виду.

Я не понял вашего замечания про неадкватность математической интуиции по отношению к формальным системам. На всякий случай поясню свою позицию - формальные системы являтся математическим объектом, не имеющим того глубокого философского значения, которое ему когда-то придавалось. Они отражают некоторые аспекты мышления, но полагать, что они отражают все его аспекты, нет никаких оснований. Как математический объект, они очень интересны, хотя сейчас (мне) более адекватной представляется не лингвистическая точка зрения, а точка зрения теории моделей (которая равносильна ей в силу теоремы Геделя о полноте).

Теорема Х-К-П предъявляет конкретное математическое утверждение, не зависящее от арифметики Пеано. Это не специально построенное утверждение геделева типа, а немного усиленный вариант обычной теоремы Рамсея из комбинаторики. Доказательство не опирается на теорему Геделя, хотя с ее использованием теорему можно доказать короче и обычно выбирается именно такой путь.

Так что для доказательста этой теоремы арифметики (или теоремы о конечных множествах) необходимо использовать по-крайней мере фрагмент теории бесконечных множеств.

Фридман нашел ряд уверждений вещественного анализа и (не очень) бесконечной комбинаторики, для доказательства которых необходимо (как он доказал) использовать очень большие множества, гораздо больше тех, о которых идет речь в этих теоремах.

Эти результаты интересны тем, что в них идет речь о независимости утверждений, очень близких к обычной математической практике, в отличие от искусственных утверждений Геделя.

То, что пишет Грегг от своего имени, достаточно интересно, но позицию Патнэма он искажает. (Я имею в виду позицию из The Meaning of `Meaning'. Потом он, вроде бы, в чем-то менял свое мнение.)
Патнэм _не_ говорит, что термин "вода" привязан к химической формуле, уж во всяком случае не до открытия этой формулы. С его точки зрения, жители Twin Earth не ошибаются, употребляя это слово. Просто в их языке слово "вода" означает XYZ. (И на Земле означало бы, если бы здешняя вода была XYZ.) С его точки зрения, "вода" означает `жидкость, подобная той, с которой я сталкивался тогда-то и тогда-то'. А в чем состоят критерии подобия -- отдельный вопрос (который в статье Патнэма тоже обсуждается, хотя и немного).
Между прочим, по-моему, у Грегга возникли бы большие проблемы с другим примером из того же Meaning of `Meaning' -- с буком и вязом. Человек, который не умеет отличать один от другого (и у которого, следовательно, совершенно одинаковые понятия связаны с этими двумя словами) все равно знает, что бук и вяз -- два разных дерева. И значит, значения слов для него -- разные.

Большое спасибо! Я очень давно читал The Meaning of 'Meaning' и не помнил этих подробностей. Поверил Греггу, не перечитывая, и, видимо, зря.

по поводу специальной т.о.
я одного не понимаю: утверждается неразличимость равномерных прямолинейных движений (на самом деле, в общей т.о., движений по геодезической). в то же время, часы в равномерно и прямолинейно летящей ракете идут медленнее, чем в покоящейся, и этот эффект физически наблюдаем. где же тут неразличимость?

Если перейти в систему отсчета "летящей" ракеты, и пронаблюдать из неё процессы в "покоящейся", мы увидим, что на этот раз замедленно протекают процессы в "покоящейся" СО. То есть, из двух инерциальных СО нельзя выбрать истинно покоящуюся.
Вот вам и неразличимость. Вот вам и относительность.

да нет же. парадокс близнецов. прилетевший обратно близнец моложе покоившегося. быстро летящие короткоживущие частицы живут дольше летящих медленно. можно из двух выбрать истинно покоющуюся. вот и нет относительности. что-то никто мне не может объяснить. я надеялся, что авва...

вот ещё на тему twin earth: http://www.phil-fak.uni-duesseldorf.de/asw/SuB99/abstracts/Kupffer.rtf

по-моему, они все дураки какие-то. никакой проблемы не существует. если это тот же самый язык, то water - это water по определению. если два разных (Kupffer) - то обычная проблема перевода. в подавляющем большинстве контекстов та вода - это эта вода. кроме контекстов о химическом составе. да в большинстве случаев так, взять любое слово - никогда семантические поля полностью не совпадают, всегда можно найти случай, когда это годится, а то уже нет. псевдопроблема, как с критянским лжецом.

У кого-то из фантастов была интересная концепция "бульварных романов", переведёных на универсальный галактический язык. Эти адаптированные романы предназначались как развлекательное чтение для ряда культурно близких рас (в том числе и негуманоидных). Язык скрывал различие между конкретными объектами/действиями типа "нога"-"плавник"-"щупальце", "идти"-"плыть"-"ползти" за универсальным словом, воспринимаемым каждой расой в соответствиии с её анатомическими подробностями. Зрительных картинок в таких романах не было по определению. :)

Теоретические (и требущие весьма глубокой математики) основания для возможности такого языка содержатся работе математика Рене Тома "Топология и лигвистика". Его ключевая идея состоит в том что основные языковые конструкции соответствуют во всех языках элеметарным изменениям формы и состояния: скажем, присоединение - "взять", "пристроить", и т.п.

Сколько часов вы обычно спите в сутки?