?

Log in

No account? Create an account
Ни о какой безапелляционности в моих высказываниях не может быть и речи! [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

олимпиадного типа задачка [июн. 25, 2004|10:53 am]
Anatoly Vorobey
Доказать, что если n>=3, то nnnn - nnn (словами: степенная лесенка из четырёх n минус степенная лесенка из трёх n) делится на 1989.

Несложная и совершенно неглубокая, но вчера скоротала мне автобусную поездку — решал её в уме. И то неплохо.
СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: yappie
2004-06-25 02:13 am
ого =)) это какой уровень должен быть, чтобы в уме доказывать.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: castleghost
2004-06-25 02:16 am
Это не уровень, это тренировка нужна. Если каждый день решать хотя бы по одной олимпиадной задачке, то и в уме их решать наловчишься.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: little_orange
2004-06-25 02:30 am
Бывают же такие люди!!!! *восхищенно*
(Ответить) (Thread)
From: istaksiuatl
2004-06-25 02:39 am
как это не странно, решения олимпиадных задачек невероятно прочищает голову. мы вот не так давно с другами решали на ходу задачки из олимпиады по математической лингвистике для старших классов каких-то чудо-школ. Там было задание, у нас на него ушло часа два, без преувеличений - японская таблица умножения. В русской транскрипции написаны примеры(на японском, естественно) и надо вычленить по логике словообразования, какое число какое. (абракадабраХкадабраабра=макабра))) И что вы думаете? Решили! А потом идешь - и чувствуешь себя каким-то просто СУПЕРМЕНОМ.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: arno1251
2004-06-25 03:28 am
Видимо, доказательство должно быть по индукции? Но вот с отправной точкой не получается что-то.
Итак,
3^3 = 27
27^3 = 19683
19683^3=7625597484987
7625597484987 - 19683 = 7625597465304
Но это число не делится на 1989. Получается 3833885100 и 1404 в остатке.

Может быть, в степенной лесенке порядок операций должен быть "справа налево"? :)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2004-06-25 03:46 am
Может быть, в степенной лесенке порядок операций должен быть "справа налево"? :)

Конечно, это всегда имеется в виду. Ведь при порядке "слева направо" лесенка не нужна, её можно схлопнуть в степень порядка по правилу (a^b)^c = a^(b*c). Поэтому, когда есть лесенка, всегда подразумевается порядок a^(b^c).
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: tt_rex
2004-06-25 03:34 am
n - целое?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2004-06-25 03:52 am
Ага.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2004-06-25 04:35 am

Ne delitsja na 1989 ni pri kakih n

Prikolist vy Avva. Ochen' legko dokazat', chto ne delitsja ni pir kakih celyh n. Izdevaetes' na narodom?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2004-06-25 04:44 am
Что, неужели ни при каких целых n, даже при n=1989? ;)

Делится, делится. Для всех n>=3. Вы ошиблись где-то в лёгком доказательстве.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: chhwe
2004-06-25 06:34 am

impho

Обратите внимание, что не всегда верно 1989<=nnnn - nnn даже если n целое и больше трёх или равно трём. Тогда, очевидно, nnnn - nnn никак не может делиться на 1989 нацело и доказать Ваше утверждение становится невозможным.

(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2004-06-25 07:36 am

Re: impho

Нет, это, конечно, всегда верно. Вы, возможно, неправильно понимаете, как считается nnnn; см. один из предыдущих комментариев.
Для любого n>=3 nnnn - совершенно астрономическое по своим размерам число, и, конечно, намного намного больше nnn. Собственно, даже для n=2 разница больше 1989, хотя, действительно, не делится на 1989.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: flaass
2004-06-25 07:26 am
Вспомнил еще про 1989: придумать треугольник, который можно разрезать на 1989 равных треугольников.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2004-06-25 11:03 am

Сколько автобусных останок?

Сколько автобусных останок?
Гипотеза - 5
1989 = 9*13*17 - 1 остановка
делимость на 9 - 0 остановок
делимость на 13,17 - 2*2 остановок
Итого 5.
Угадал?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: dimrub
2004-06-25 03:58 pm
Сделал 9, застрял на 13 и 17. Подозреваю, что надо перебирать остатки. Неужели? :)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2004-06-26 05:49 pm
Нужна теорема Ферма ;) см. мою субботнюю запись.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: bachelor
2004-06-26 07:35 am
Не могу вспомнить, как мы когда-то в 8 классе на олимпиадах подобные задачки решали. Сейчас - рекуррентный спуск по функции Эйлера всех множителей (9,13,17), и они, по сути, схлопываются на третьем кругу (не до конца, правда - все равно небольшой перебор нужен. Были б лесенки повыше - даже автобус бы не понадобился). Извиняюсь за шифровку - кто это знает, тому решать нечего, а другим не хочу портить удовольствие.

Но что ж мы тогда делали? Неужели теорему Ферма на олимпиаде выдодили? Да, довыдавливал я из себя олимпиады - ничего не помню...
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2004-06-26 05:48 pm
Я тоже не помню, если честно ;)
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2004-06-27 01:34 am
а доказательство где? =)

--pf (http://www.m14m.net/pf)
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2004-06-27 01:41 am
Ah. (http://www.livejournal.com/users/avva/1220725.html#cutid1) Never mind.

--pf (http://www.m14m.net/pf)
(Ответить) (Parent) (Thread)