Впервые это доказал Мальцев в конце 40-х. Насколько я понимаю, обычно это доказывают с помощью представлений групп Ли. Я очень плохо знаю группы Ли, и это доказательство не читал. Но вот на какую красивую конструкцию Филиппа Холла (P.Hall) я сегодня случайно наткнулся (может быть, она общеизвестна — я бы об этом всё равно не знал, если так, т.к. в группах Ли ничего почти не смыслю. Но мне понравилась).
Пусть нам дана конечнопорождённая нильпотентная группа G без кручения (так, кажется, по-русски называют torsion free? У меня могут быть смешные ошибки в русской терминологии, т.к. я её не знаю). Вообще говоря, если дан центральный ряд для G, то может оказаться, что в его фактор-группах есть элементы конечного порядка. Но если взять именно верний центральный ряд, то можно легко показать индукцией снизу вверх, что все фактор-группы будут без кручения; они также все конечнопорождённые (т.к. G нильпотентна) и абелевы, так что каждая из них является прямой суммой конечного числа копий Z. Поэтому можно расширить верхний центральный ряд до центрального ряда G=G0 >= G2 >= ... >= Gn = {1}, так что каждая фактор-группа Gi/Gi+1 изоморфна Z. Выберем в G элементы u1...un так, что ui+1Gi+1 порождает Gi/Gi+1. Тогда каждый элемент G можно записать единственным образом в виде произведения u1k1...unkn; целочисленные показатели k1...kn назовём координатами данного элемента. Если мы умножаем два элемента с координатами (k1...kn) и (l1...ln), то получаем элемент с координатами f1(...), ... fn(...), где каждая fi — функция от 2n переменных, координат множителей. Подобным образом, если мы возводим элемент в целочисленную степень, то получаем элемент с координатами, явлющимися функциями gi от n+1 переменных: исходных координат и степени.
Теперь ключевой шаг: мы доказываем индукцией по n, что эти функции fi и gi являются на самом деле многочленами от своих переменных. Это не тривиально, но и не сложно.
Наконец, мы определяем группу T как множество формальных комбинаций вида u1k1...unkn, где координаты k1...kn теперь могут быть любыми действительными числами, а умножение элементов определяется согласно многочленам fi. Легко видеть, что T действительно группа и G её подгруппа; идентифицируя T с Rn очевидным способом, вводим на ней топологию и аналитическую структуру. Из того, что fi и gi многочлены, следует совместимость умножения в T с этой аналитической структурой, так что T — односвязная группа Ли, а G, соответствующая в этой идентификации Zn — дискретная подгруппа, и T/G компактно. Наконец, T нильпотентна, т.к. у неё есть центральный ряд, состоящий из Ti, где Ti — подгруппа T, состоящая из элементов, у которых первые i координат равны 0; фактор-группы Ti/Ti+1 изоморфны аддитивной группе действительных чисел R.
Вместo R, кстати, можно брать другие полезные кольца (напр. Q или p-адические числа), и получать полезные расширения G.
Красиво!
