Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Category:

о нильпотентных группах (математическое)

Красивая конструкция попалась сегодня, доказывающая, что любую конечнопорождённую нильпотентную группу без кручения можно представить в качестве дискретной ко-компактной подгруппы односвязной нильпотентной группы Ли.

Впервые это доказал Мальцев в конце 40-х. Насколько я понимаю, обычно это доказывают с помощью представлений групп Ли. Я очень плохо знаю группы Ли, и это доказательство не читал. Но вот на какую красивую конструкцию Филиппа Холла (P.Hall) я сегодня случайно наткнулся (может быть, она общеизвестна — я бы об этом всё равно не знал, если так, т.к. в группах Ли ничего почти не смыслю. Но мне понравилась).

Пусть нам дана конечнопорождённая нильпотентная группа G без кручения (так, кажется, по-русски называют torsion free? У меня могут быть смешные ошибки в русской терминологии, т.к. я её не знаю). Вообще говоря, если дан центральный ряд для G, то может оказаться, что в его фактор-группах есть элементы конечного порядка. Но если взять именно верний центральный ряд, то можно легко показать индукцией снизу вверх, что все фактор-группы будут без кручения; они также все конечнопорождённые (т.к. G нильпотентна) и абелевы, так что каждая из них является прямой суммой конечного числа копий Z. Поэтому можно расширить верхний центральный ряд до центрального ряда G=G0 >= G2 >= ... >= Gn = {1}, так что каждая фактор-группа Gi/Gi+1 изоморфна Z. Выберем в G элементы u1...un так, что ui+1Gi+1 порождает Gi/Gi+1. Тогда каждый элемент G можно записать единственным образом в виде произведения u1k1...unkn; целочисленные показатели k1...kn назовём координатами данного элемента. Если мы умножаем два элемента с координатами (k1...kn) и (l1...ln), то получаем элемент с координатами f1(...), ... fn(...), где каждая fi — функция от 2n переменных, координат множителей. Подобным образом, если мы возводим элемент в целочисленную степень, то получаем элемент с координатами, явлющимися функциями gi от n+1 переменных: исходных координат и степени.

Теперь ключевой шаг: мы доказываем индукцией по n, что эти функции fi и gi являются на самом деле многочленами от своих переменных. Это не тривиально, но и не сложно.

Наконец, мы определяем группу T как множество формальных комбинаций вида u1k1...unkn, где координаты k1...kn теперь могут быть любыми действительными числами, а умножение элементов определяется согласно многочленам fi. Легко видеть, что T действительно группа и G её подгруппа; идентифицируя T с Rn очевидным способом, вводим на ней топологию и аналитическую структуру. Из того, что fi и gi многочлены, следует совместимость умножения в T с этой аналитической структурой, так что T — односвязная группа Ли, а G, соответствующая в этой идентификации Zn — дискретная подгруппа, и T/G компактно. Наконец, T нильпотентна, т.к. у неё есть центральный ряд, состоящий из Ti, где Ti — подгруппа T, состоящая из элементов, у которых первые i координат равны 0; фактор-группы Ti/Ti+1 изоморфны аддитивной группе действительных чисел R.

Вместo R, кстати, можно брать другие полезные кольца (напр. Q или p-адические числа), и получать полезные расширения G.

Красиво!
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 10 comments