математическое, ассорти: avva

garvej отсканировал математическую статью из “Докладов Академии Наук Белорусской ССР” за 1977-й год. Статья представляет собой три страницы полного и очень смешного нонсенса; вроде бы кто-то с кем-то поспорил, что сможет даже самый отчаянный бред в научный журнал протолкнуть.
История открытия элементарного доказательства теоремы о распределении простых чисел (англ.). О математических амбициях и спорах о первенстве. За ссылку спасибо опять-таки garvej‘ю.
В рассылке FOM уже неделю обсуждают вопрос об аксиоматике теории множеств, заданный одним из подписчиков: “Given that we generally prefer finitely axiomatized theories to infinitely axiomatized theories, why do we tend to use ZF instead of NBG?” Здесь ZFC - теория Цермело-Франкеля с аксиомой выбора, а NBG - теория фон Неймана-Бернайса-Гёделя, в которой классы являются столь же полноправными объектами, как и множества.

Вообще-то интересный вопрос. У NBG действительно есть конечный набор аксиом, и это удобно. NBG избегает парадокса Рассела и других подобных парадоксов за счёт того, что постулирует с помощью аксиом, что классы не могут быть членами других классов (только множества могут быть членами классов, равно как и множеств). Поэтому существует, например, класс всех множеств, не являющихся членами самих себя, и это не приводит к противоречию, потому что этот класс - не множество; а класса всех классов, не являющихся членами самих себя, не существует, т.к. класс обязан включать в себя только множества, а не классы.

Казалось бы, со всех точек зрения NBG удобнее. В ZFC можно говорить о классах, но на самом деле они являются своеобразными синтаксическими сокращениями формул, их определяющих. Например, “класс всех множеств” это формула “x=x”. Это не математический объект, а синтаксическая фикция. В NBG классы - такие же объекты, как и множества, это удобно. Но всё упирается, по-моему, в два обстоятельства.

Во-первых, ZFC “была раньше”, а математикам в целом на теорию множеств наплевать, им нужно что-то удобное, чтобы не возникало проблем с парадоксами, и всё. ZFC для этой цели подошла, поэтому математики решили, что они “работают” в ZFC. Областей, где нужно уделять пристальное внимание проблемам величины множеств, существованию классов итп., в математике почти нет. Поэтому NBG осталась невостребованной.

Во-вторых, даже специалисты в логике и теории множеств, для которых “во-первых” роли не играет, предпочитают ZFC — потому, мне кажется, что её концептуальная вселенная проще выглядит. То есть, именно потому, что в ZFC есть только множества и больше ничего; это как-то красиво и стройно. Если есть ещё и классы, как в NBG, то это уже как-то более произвольным кажется. Два существенно разных типа объектов. А почему два, а не десять или бесконечное число?

Простота и стройность "устройства вселенной" перевешивает удобства, связанные с конечным набором аксиом и естественными классами. Так мне кажется.

математическое, ассорти

вокруг махачкалы

жопа есть и слово есть

это полезно в хозяйстве

Error

вокруг махачкалы

жопа есть и слово есть

это полезно в хозяйстве