Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Category:

математическое, ассорти

  1. garvej отсканировал математическую статью из “Докладов Академии Наук Белорусской ССР” за 1977-й год. Статья представляет собой три страницы полного и очень смешного нонсенса; вроде бы кто-то с кем-то поспорил, что сможет даже самый отчаянный бред в научный журнал протолкнуть.
  2. История открытия элементарного доказательства теоремы о распределении простых чисел (англ.). О математических амбициях и спорах о первенстве. За ссылку спасибо опять-таки garvej‘ю.
  3. В рассылке FOM уже неделю обсуждают вопрос об аксиоматике теории множеств, заданный одним из подписчиков: “Given that we generally prefer finitely axiomatized theories to infinitely axiomatized theories, why do we tend to use ZF instead of NBG?” Здесь ZFC - теория Цермело-Франкеля с аксиомой выбора, а NBG - теория фон Неймана-Бернайса-Гёделя, в которой классы являются столь же полноправными объектами, как и множества.

    Вообще-то интересный вопрос. У NBG действительно есть конечный набор аксиом, и это удобно. NBG избегает парадокса Рассела и других подобных парадоксов за счёт того, что постулирует с помощью аксиом, что классы не могут быть членами других классов (только множества могут быть членами классов, равно как и множеств). Поэтому существует, например, класс всех множеств, не являющихся членами самих себя, и это не приводит к противоречию, потому что этот класс - не множество; а класса всех классов, не являющихся членами самих себя, не существует, т.к. класс обязан включать в себя только множества, а не классы.

    Казалось бы, со всех точек зрения NBG удобнее. В ZFC можно говорить о классах, но на самом деле они являются своеобразными синтаксическими сокращениями формул, их определяющих. Например, “класс всех множеств” это формула “x=x”. Это не математический объект, а синтаксическая фикция. В NBG классы - такие же объекты, как и множества, это удобно. Но всё упирается, по-моему, в два обстоятельства.

    Во-первых, ZFC “была раньше”, а математикам в целом на теорию множеств наплевать, им нужно что-то удобное, чтобы не возникало проблем с парадоксами, и всё. ZFC для этой цели подошла, поэтому математики решили, что они “работают” в ZFC. Областей, где нужно уделять пристальное внимание проблемам величины множеств, существованию классов итп., в математике почти нет. Поэтому NBG осталась невостребованной.

    Во-вторых, даже специалисты в логике и теории множеств, для которых “во-первых” роли не играет, предпочитают ZFC — потому, мне кажется, что её концептуальная вселенная проще выглядит. То есть, именно потому, что в ZFC есть только множества и больше ничего; это как-то красиво и стройно. Если есть ещё и классы, как в NBG, то это уже как-то более произвольным кажется. Два существенно разных типа объектов. А почему два, а не десять или бесконечное число?

    Простота и стройность "устройства вселенной" перевешивает удобства, связанные с конечным набором аксиом и естественными классами. Так мне кажется.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 14 comments