Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Category:

абстрактное и эпсилон-дельта

Все размышляю об этой записи. Благо материал все время новый попадается. Вот в наборе записей "Basic Concepts in Science", о котором я писал позавчера, очень многие - математические из блога Good Math, Bad Math. Но практически все они, хоть и написаны специально для людей без всякого математического образования, совершенно для этой цели бесполезны. То он пишет об алгебраических структурах, вводя формальное определение группы, но ничего в нем не объясняя. То рассказывает о понятии предела, вываливая на несчастного читателя определение через эпсилон-дельта, совершенно не подозревая, насколько оно ему будет непонятно. В результате все это получается, мне кажется, довольно бессмысленным занятием.

Но я вот еще о чем подумал: к списку примеров в той записи стоит добавить определение предела через эпсилон-дельта. Сейчас, перечитав ее, вижу, что я упомянул его в конце, но только в списке того, что обычно проходят математики в первый год учебы, до теории групп. Этот пример заслуживает отдельного рассмотрения. Всякий, кто преподавал анализ в университете, особенно не студентам-математикам, студентам с других факультетов, знает, как тяжело студентам понять формальное определение предела через эпсилон-дельта, и непосредственно связанные с ним понятия (непрерывность функции, определение производной итд.). Я подумал вдруг, что можно представить это определение в виде некоторой совершенно необходимой ступени на пути к пониманию математики, подобно тому, как Джоэль Спольский предлагает считать понимание указателей и рекурсии (см. ту запись) необходимым шагом на пути к настоящему пониманию программирования. На эту тему есть две интересные заметки Кита Девлина: Letter to a calculus student и Will the real continuous function please stand up? Обе советую, но не буду пытаться их пересказывать, замечу только, что в обоих заметках Девлин рассуждает о том, почему восприятие идей предела и непрерывности оказывается сложным для студентов. В частности, обсуждая понятие предела:

The subtlety that appears to have eluded Bishop Berkeley is that, although we initially think of h as denoting smaller and smaller numbers, the "lim" term in formula (*) asks us to take a leap (and it's a massive one) to imagine not just calculating quotients infinitely many times, but regarding that entire process as a single entity. It's actually a breathtaking leap.

А теперь сравним это с тем, что Джоэль Спольский пишет об указателях и рекурсии:

Указатели и рекурсия требуют от человека определённых способностей: рассуждать, абстрактно мыслить, и, что особенно важно, видеть проблему на нескольких уровнях абстракции одновременно.

Не правда ли, похоже? На нескольких уровнях абстракции одновременно. Не в этом ли заключается секрет способности к абстрактному мышлению? Умение держать в уме несколько разных абстрактных понятий, нетривиальным образом между собой связанных (как в случае эпсилон-дельта: для каждого эпсилон существует дельта итд.); умение переходить с одного уровня абстракции на другой, не теряя из виду сами абстрактные понятие и связи между ними.

Если в этом суть, то, может быть, именно это надо пытаться как-то развивать и тренировать? Действительно ли все эти студенты неспособны понять указатели (или даже простое присваивание, как в другом примере в старой записи - обратите внимание, опять речь о том, чтобы держать в голове одновременно несколько абстрактных объектов - переменных в данном случае), или эпсилон-дельта? Или есть способы объяснить это им лучше, чем обычно это объясняют? Это, кстати, не риторический вопрос, я вовсе не уверен в том, что есть.

Пока все; может, еще через неделю еще что-то придумается...

Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 31 comments