Предположим, у нас есть какое-то (целое) число, например 2 или 25 или 234769 или любое другое. Обозначим его буквой N.

Может быть, оно целый квадрат, т.е. квадрат другого натурального числа, например 9 это 3 в квадрате или 25 это 5 в квадрате. Тогда его квадратный корень - это целое число, как 3 или 5 в этих примерах.

Если наше число N - не целый квадрат, то его квадратный корень не может быть целым числом. Но, может быть, его квадратный корень - какая-нибудь дробь вида 3/5 или что-нибудь такое.

И третья возможность - это что квадратный корень из N - иррациональное число, которое нельзя записать как целую дробь.

Так что всего с логической точки зрения у нас есть три возможных ситуации:
1) квадратный корень из N - целое число.
2) квадратный корень из N - дробное число.
3) квадратный корень из N - иррациональное число.

Вот простое красивое доказательство того, что вторая ситуация - "дробное число" - не может случиться на самом деле. Поэтому из этого доказательства следует, что квадратный корень из 2, из 3, из 5, из 20, и вообще из любого числа, которое не целый квадрат - иррациональные числа. Ведь если мы исключили возможность номер два, то остаются только один и три; а все эти числа - 2, 3, 5, 20 и многие другие - не целые квадраты, то номер один тоже исключается, и их квадратные могут быть только иррациональными.

Я попытаюсь написать это доказательство так, чтобы его могли понять читатели, которые не имеют никакого отношения к математике, и не учили ее со времем средней школы. Если вы такой читатель, и вам в этом доказательстве все понятно или наоборот что-то непонятно, то расскажите мне, пожалуйста, о своих впечатлениях и трудностях в комментариях.

Итак, предположим, что есть такое N, которое не является целым квадратом, и что его квадратный корень можно записать как какую-то целую дробь

      A
√N = ---
      B

(запись √N означает "квадратный корень из N")

Из всех возможных таких A/B (а их может быть много: ведь, например, 1/2 это то же самое, что 2/4 или 5/10) мы выберем такое A/B, в котором А самое меньшее по размеру ("минимальное", говорят математики). Так что никакого другого A/B с тем же значением √N, в котором А еще меньше того, что мы выбрали, быть уже не может. Например, если бы нам надо было выбирать между возможными вариантами записать A/B как 2/5, 4/10 или 20/50, то мы выберем 2/5, потому что в этом варианте A меньше всех - равно 2 - и меньше варианта уже нету.

Теперь возведем обе части в квадрат. Левая часть - квадратный корень из N - в квадрате будет просто N, а правую часть умножим саму на себя, ведь это и значит "возвести в квадрат":

     A     A
N = --- * ---
     B     B

Перевернем одну из дробей и перенесем в левую часть. Или, говоря, другими словами, умножим обе части на B/A, и тогда в левой части прибавится B/A, а в правой части оно сократится с одной из двух копий A/B.

N * B     A
-----  = --- 
  A       B

Раз эти две дроби равны, то равны по отдельности их целые части и дробные части. Что такое дробная часть той дроби, что слева от знака равенства? Это какая-то дробь

 x
---
 A

где x должно быть меньше A (иначе можно еще выделить целую часть). Соответственно дробная часть той дроби, что справа, это какое-то y/B, где y должно быть меньше B. Вместе получается

 x      y
---  = ---
 A      B

В этом равенстве мы можем перенести y влево, а A вправо, умножив сначала обе части на A, а потом поделив обе части на y:

 x         y
--- * A = --- * A 
 A         B  

Сокращаем A:

      y*A
 x = ----- 
       B

Делим на y:

 x    y*A
--- = ---
 y    y*B

и сокращаем y:

 x     A
--- = --- 
 y     B

(мы можем это сделать, только если мы точно знаем, что y не равно 0, потому что на ноль делить нельзя. Но мы это точно знаем: ведь если y равно 0, это значит, что дробная часть A/B равна 0, т.е. исходный квадратный корень A/B целое число, но мы изначально предположили, что оно не целое)

Сравнив это равенство с самым началом наших рассуждений, мы видим, что

      x
√N = ---
      y

причем, мы раньше видели, в этом равенстве x меньше нашего первоначального числительного A (потому что у нас была дробная часть x/A, в которой нельзя было выделить еще больше целой части). Но это противоречит тому, что мы написали о выборе A: А должно было быть самым меньшим из всех возможных способов представить √N в виде A/B. Исходя из этого допущения, мы тем не менее нашли какое-то еще меньшее число x, которое тоже подходит для этой цели, то есть пришли к противоречию. Раз мы неизбежно приходим к противоречию, исходя из предположения, что √N вообще можно представить как какое-то A/B, значит, это предположение неверно, и на самом деле такого не может быть. Что и требовалось доказать.

Это доказательство приводят Conway & Guy в своей "Книге чисел" (The Book of Numbers).