Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Categories:

опять про квадратный корень

Предположим, у нас есть какое-то (целое) число, например 2 или 25 или 234769 или любое другое. Обозначим его буквой N.

Может быть, оно целый квадрат, т.е. квадрат другого натурального числа, например 9 это 3 в квадрате или 25 это 5 в квадрате. Тогда его квадратный корень - это целое число, как 3 или 5 в этих примерах.

Если наше число N - не целый квадрат, то его квадратный корень не может быть целым числом. Но, может быть, его квадратный корень - какая-нибудь дробь вида 3/5 или что-нибудь такое.

И третья возможность - это что квадратный корень из N - иррациональное число, которое нельзя записать как целую дробь.

Так что всего с логической точки зрения у нас есть три возможных ситуации:
1) квадратный корень из N - целое число.
2) квадратный корень из N - дробное число.
3) квадратный корень из N - иррациональное число.

Вот простое красивое доказательство того, что вторая ситуация - "дробное число" - не может случиться на самом деле. Поэтому из этого доказательства следует, что квадратный корень из 2, из 3, из 5, из 20, и вообще из любого числа, которое не целый квадрат - иррациональные числа. Ведь если мы исключили возможность номер два, то остаются только один и три; а все эти числа - 2, 3, 5, 20 и многие другие - не целые квадраты, то номер один тоже исключается, и их квадратные могут быть только иррациональными.

Я попытаюсь написать это доказательство так, чтобы его могли понять читатели, которые не имеют никакого отношения к математике, и не учили ее со времем средней школы. Если вы такой читатель, и вам в этом доказательстве все понятно или наоборот что-то непонятно, то расскажите мне, пожалуйста, о своих впечатлениях и трудностях в комментариях.

Итак, предположим, что есть такое N, которое не является целым квадратом, и что его квадратный корень можно записать как какую-то целую дробь


      A
√N = ---
      B

(запись √N означает "квадратный корень из N")

Из всех возможных таких A/B (а их может быть много: ведь, например, 1/2 это то же самое, что 2/4 или 5/10) мы выберем такое A/B, в котором А самое меньшее по размеру ("минимальное", говорят математики). Так что никакого другого A/B с тем же значением √N, в котором А еще меньше того, что мы выбрали, быть уже не может. Например, если бы нам надо было выбирать между возможными вариантами записать A/B как 2/5, 4/10 или 20/50, то мы выберем 2/5, потому что в этом варианте A меньше всех - равно 2 - и меньше варианта уже нету.

Теперь возведем обе части в квадрат. Левая часть - квадратный корень из N - в квадрате будет просто N, а правую часть умножим саму на себя, ведь это и значит "возвести в квадрат":


     A     A
N = --- * ---
     B     B

Перевернем одну из дробей и перенесем в левую часть. Или, говоря, другими словами, умножим обе части на B/A, и тогда в левой части прибавится B/A, а в правой части оно сократится с одной из двух копий A/B.



N * B     A
-----  = --- 
  A       B

Раз эти две дроби равны, то равны по отдельности их целые части и дробные части. Что такое дробная часть той дроби, что слева от знака равенства? Это какая-то дробь


 x
---
 A

где x должно быть меньше A (иначе можно еще выделить целую часть). Соответственно дробная часть той дроби, что справа, это какое-то y/B, где y должно быть меньше B. Вместе получается


 x      y
---  = ---
 A      B

В этом равенстве мы можем перенести y влево, а A вправо, умножив сначала обе части на A, а потом поделив обе части на y:


 x         y
--- * A = --- * A 
 A         B  

Сокращаем A:

      y*A
 x = ----- 
       B

Делим на y:

 x    y*A
--- = ---
 y    y*B

и сокращаем y:

 x     A
--- = --- 
 y     B

(мы можем это сделать, только если мы точно знаем, что y не равно 0, потому что на ноль делить нельзя. Но мы это точно знаем: ведь если y равно 0, это значит, что дробная часть A/B равна 0, т.е. исходный квадратный корень A/B целое число, но мы изначально предположили, что оно не целое)

Сравнив это равенство с самым началом наших рассуждений, мы видим, что


      x
√N = ---
      y

причем, мы раньше видели, в этом равенстве x меньше нашего первоначального числительного A (потому что у нас была дробная часть x/A, в которой нельзя было выделить еще больше целой части). Но это противоречит тому, что мы написали о выборе A: А должно было быть самым меньшим из всех возможных способов представить √N в виде A/B. Исходя из этого допущения, мы тем не менее нашли какое-то еще меньшее число x, которое тоже подходит для этой цели, то есть пришли к противоречию. Раз мы неизбежно приходим к противоречию, исходя из предположения, что √N вообще можно представить как какое-то A/B, значит, это предположение неверно, и на самом деле такого не может быть. Что и требовалось доказать.

Это доказательство приводят Conway & Guy в своей "Книге чисел" (The Book of Numbers).

Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 37 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →