Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Categories:

ковариантный и контравариантный (математическое)

Рисуем картинку


Начнем с поля действительных чисел R и построим над ним векторное пространство размерностью 1. В таком тривиальном векторном пространстве каждый вектор можно идентифицировать с числом. Поэтому 4, например - одновременно скаляр и вектор; будем выделять вектор жирным шрифтом: 4. Все пространство можно тоже обозначить R.

В пространстве R возьмем базис, состоящий из одного вектора e1 = 1. Как обычно, каждый вектор может быть представлен в виде линейной комбинации скаляров с векторами базиса; например, 4 = 4*e1.

Зафиксируем также какой-нибудь вектор v; например, пусть будет та же четверка - v = 4.

Теперь рассмотрим двойственное (сопряженное) пространство к R. Элементами этого пространства R* являются линейные функционалы над R, т.е. линейные функции, ставящие в соответствие каждому вектору действительное число. Если f - такой функционал, и f(1) = a, то например f(10) = f(10*1) = 10*f(1) = 10*a. Поэтому каждый такой функционал - просто умножение на какое-то действительное a, и мы его обозначим "a*", например 5* - это функция f(x) = 5*x.

Пространство R* тоже имеет размерность 1, и у него есть базис, сопряженный к выбранному нами базису e1: это такое e1, что применяя его к e1, мы получаем единицу. Ясно, что e1 = 1*, умножение на 1.

Зафиксируем также какой-нибудь вектор w* в сопряженном пространстве; например, возьмем w = 7*. Ясно, что он выражается через базис e1 следующим образом: w = 7*e1.

И наконец, между пространствами R и R* есть изоморфизм, который можно построить с помощью выбранных базисов: вектору a*e1 ставим в соответствие сопряженный вектор a*e1. Тогда, например, 10 переходит в 10*. Обозначим этот изоморфизм через Fe (потому что он, как мы увидим, зависит от выбора базиса e).

До сих пор мы отобрали пять объектов: базис R (состоит из e1 = 1), вектор в R (v = 4 ), сопряженный базис R* (состоит из e1 = 1*), сопряженный вектор в R* (w = 7*), и изоморфизм Fe (x -> x*). Еще у векторов v и w есть компоненты относительно базисов e1 и e1: это те скаляры, с помощью которых они записываются как линейная комбинация своего базиса. Это соответственно числа 4 и 7 (в трехмерном пространстве, скажем, это были бы тройки чисел, по одному на каждое измерение, но мы смотрим на очень простой одномерный пример).


Меняем точку зрения


Можно представить все это как некую статическую картинку. Теперь мы меняем точку зрения: меняем базис R на другой, и смотрим, что происходит с базисами, векторами и их компонентами.

Возьмем новый базис, состоящий из вектора f1 = 5. Любой вектор можно выразить через него: например, 10 = 2*f1, или 4 = 4/5 * f1.

Как меняются выбранные нами объекты: базис, сопряженный базис, вектор, сопряженный вектор, изоморфизм - когда мы переходим от базиса e1 к базису f1?

Ну, как меняется базис, ясно: мы сами обозначили, как: от 1 к 5. Новый базис можно выразить через старый с помощью матрицы перехода А, в которой записано строка за строкой, как выразить каждый из векторов нового базиса через векторы старого. Если бы наше пространство было например трехмерным, то A было бы матрицей 3x3; а в нашем тривиальном случае A - матрица 1x1, т.е. просто число, а именно число 5; но мы все равно напишем его так: A = {5}, чтобы подчеркнуть, что в общем случае это матрица. Итак, f1 = A * e1 - так выглядит переход от старого базиса к новому.

Как меняется при переходе к новому базису вектор v = 4? А никак не меняется! Вектор - некий определенный член векторного пространства; то, что мы сменили базис пространства, никак не влияет на вектор, он каким был, таким и остался (если представить себе вектор точкой в пространстве, то разве точка меняется от того, что мы сменим систему координат на другую? нет - она остается где была - ее координаты могут измениться, но сама точка где была, там и осталась). Правда, теперь у него другие компоненты - он по-другому выражается через векторы базиса. Раньше было v = 4*e1, а теперь v = 4/5 * f1. Раньше единственной компонентой вектора была 4, а теперь - 4/5. Вектор же как был 4, так и остался.

(предыдущий абзац иллюстрирует разницу между традиционным физическим и математическим подходом к векторам. Математик скажет так, как написано выше: вектор - неизменный абстрактный объект, компоненты которого по отношению к базису зависят от выбора базиса. Физики часто предпочитают думать по-другому: для них вектор и есть набор компонент, т.е. вектором они называют то 4, то 4/5, в зависимости от базиса (а в трехмерном пространстве это будут тройки координат, а не одно число). Физик скажет: вектор это такое число, например 4, что если я изменю базис на новый, например с 1 на 5, то оно изменится соответствующим образом с 4 на 4/5, и станет новым числом. Для математика это звучит странно: для него вектор - это отдельный объект, который не меняется, меняются только его компоненты. Это два разных способа посмотреть на одно и то же)

Смотрите: мы сменили базис с 1 на 5, т.е. умножили его на 5 (на матрицу A = {5}). А компонента вектора v от этого изменилась в обратном направлении, с 4 на 4/5, уменьшилась в пять раз. Это логично: ведь их произведение должно остаться неизменным вектором v! Это изменение в обратном направлении можно представить как умножение на обратную матрицу A-1 = {1/5}. Поэтому вектор v (как и любой другой вектор пространства R) называют контравариантным, т.е. обратным (контра) по направлению варьирования. Мы изменили (варьировали) базис в одном направлении - умножили на 5, а компоненты вектора пришлось от этого изменить в обратном направлении - умножить на 1/5.

Теперь перейдем к сопряженному пространтву и посмотрим, что изменилось там. У нового базиса f1 есть свой сопряженный базис f1 - такой, что применяя функцию f1 к вектору f1 = 5, мы должны получить единицу. Понятно, что для этого функция f1 должна быть умножением на 1/5, т.е. f1 = 1/5*. Заметьте, что базис мы изменили в одну сторону, а сопряженный базис, соответственно, меняется в обратную.

У нас был вектор в сопряженном пространстве: w = 7* = 7*e1. Сам сопряженный вектор от смены базиса, конечно, никак не изменился, но как он выражается через новый базис сопряженного пространства? Чтобы получить 7* из 1/5*, нужно умножить на 35, так что w = 35*f1. Новая компонента вектора w равна 35 - в пять раз больше старой. Разница между тем, что происходило с вектором v, очень важна! Там компонента менялась против направления варьирования базиса, а здесь - по, в ту же сторону, умножая на матрицу A. Поэтому вектор w (и вообще любой сопряженный вектор) называется ковариантным - по направлению (ко-) варьирования.

Наконец, новый базис дает нам новый изоморфизм между пространствами R и R*: любой вектор a*f1 переходит в вектор a*f1. Равен ли этот новый изоморфизм Ff предыдущему изоморфизму Fe или отличается от него? Возьмем например вектор 10; он в новом базисе выражается как 2*f1; поэтому переходит теперь в сопряженный вектор 2*f1, и получается 2/5*, умножение на 2/5. Мы видим, что изоморфизм Ff совсем не совпадает с изоморфизмом Fe, иными словами, изоморфизм, который мы можем построить с помощью выбора базиса (и соответствующего ему сопряженного базиса), весьма сильно зависит от этого базиса. Это иллюстрирует тот факт, что между пространством и сопряженным пространством, вообще говоря, нет канонического (или еще говорят: естественного) изоморфизма. Вместе с тем, есть ситуации, когда существует естественный изоморфизм, который "напрашивается" на то, чтобы его выбрать (например, в нашем примере ясно, что проще всего выбрать изоморфизм, который переводит x в x*; но это всего лишь оттого, что пример очень простой).


Итак


Подытожим: у нас было пять объектов - базис e1, вектор v, сопряженный базис e1, сопряженный вектор w, изоморфизм Fe. При переходе от базиса e1 к базису f1 умножением на матрицу A, они изменились следующим образом: базис пространства умножился на A, базис сопряженного пространства умножился в обратную сторону на A-1, вектор v не изменился, но его компоненты умножились в обратную сторону на A-1 (он контравариантный вектор); вектор w не изменился, но его компоненты умножились в "прямую" сторону на A (он ковариантный вектор). Изоморфизм изменился на совсем другой.

Выше я отметил, что физики часто предпочитают представлять векторы как наборы их компонент, а не отдельные объекты. Точно так же они любят относиться к сопряженным векторам. Вообще физики часто предпочитают не говорить о сопряженном пространстве, а просто рассматривать наборы компонент, например (в нашем одномерном случае) 4 или 7, не задумываясь о том, что 4*e1 - вектор пространства R, а 7*e1 - вектор сопряженного пространства R*. Но если мы сменим базис пространства, что физикам часто приходится делать, то компоненты-то изменятся по-разному! 4 "превратится" в 4/5, а 7 в 35, например, как в примере выше. Поэтому физик называет 4 "контравариантным вектором" а 7 "ковариантным вектором", и определяет, что это значит, следующим образом: если мы изменим базис, то 4 трансформируется в обратную сторону, а 7 - в "прямую". Это опять-таки, другой способ посмотреть на то же самое.

На первый взгляд это выглядит немножко странным волшебством: отчего бы это одно число (4) менялось в одну сторону, а другое (7) - в другую? У математика и у физика есть разные ответы на этот вопрос. Для математика это просто совершенно разные вещи: 4 - компонента вектора в одном пространстве, 7 - в другом (сопряженном); ничего удивительного нет, что когда мы меняем базисы этих пространств, числа меняются по-разному. Для физика его определение оправдано опытом. Мы замеряем какую-то физическую величину (например, приложенную силу) вдоль оси x и получаем какое-то число; вдоль оси y - другое число. А теперь мы возьмем и замерим то же самое вдоль других осей x' и y', например, повернутых на 30 градусов по часовой стрелке, или еще каких. Мы получим два других числа каких-то; как они зависят от предыдущего замера? Иногда оказывается, что зависят в "ту же сторону", в какую мы закрутили оси, а иногда - в "обратном направлении". Физик скажет, что в первом случае то, что мы измеряли, было "ковариантным вектором", а во втором - "контравариантным вектором". Математик на это все посмотрит, содрогнется в ужасе, и построит красивую модель, в которой будет ясно видно, что в первом случае мы измеряли компоненты вектора из сопряженного пространства, а во втором - из первоначального.


Предупреждение


Размышления на этим примером в пространстве из одного измерения помогли мне лучше понять казавшиеся до того запутанными термины "ковариантный" и "контравариантный". Я не знаю, почему ни один учебник линейной алгебры, из тех, что мне попадались, не рассматривает этот тривиальный пример; по-моему, это упущение. Вместе с тем, надо отметить, что некоторые аспекты этих понятий в нем оказываются чуть более упрощенными, чем хотелось бы. Для еще лучшего понимания я советую проследить за тем, что происходит при смене базиса, в двухмерном пространстве R2: взять какую-то простую, но не тривиальную, матрицу перехода A и тщательно вычислить, как выглядит контравариантный переход "в обратную сторону".
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 35 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →