Top.Mail.Ru
? ?
Ни о какой безапелляционности в моих высказываниях не может быть и речи! [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

теорема о средних значениях (математическое) [окт. 7, 2008|11:30 pm]
Anatoly Vorobey
Скорее всего вы знаете, что такое среднее арифметическое каких-то чисел: это всего лишь их сумма, поделенная на то, сколько их есть. Например, если есть четыре числа , , и , то их среднее арифметическое равно .

Другой вид среднего значения - среднее геометрическое: это произведение всех чисел, из которого извлечен корень той степени, сколько есть чисел. Среднее геометрическое чисел , , , равно .

Если все числа, среднее значение которых мы хотим посчитать, одинаковы - это одно и то же число - то и среднее арифметическое, и среднее геометрическое тоже будут тем же самым числом. Если же числа разные, то оба эти средние значения будут где-то в промежутке между наименьшим из исходных чисел и наибольшим - оттого они и называются "средние". Но оказывается, что среднее геометрическое в таком случае всегда будет меньше среднего арифметического:



Я написал формулу для четырех чисел, но на самом деле это верно для любого набора положительных чисел. Это неравенство называется теоремой о средних и часто оказывается полезным в математике. Есть очень много разных способов его доказать, но в начале 19-го века французский математик Коши придумал одно особенно красивое доказательство. Вот оно.

Если бы мы хотели доказать это неравенство по индукции, то тогда мы сначала доказали бы, что оно верно для любых двух чисел A и B: , а потом - что если оно верно для любого набора из чисел, то верно также для любого набора из чисел (это называется "шаг индукции"). И тогда из этого бы следовало, что это верно для любого количества чисел: из того, что верно для двух, следует, что верно для трех; из этого следует, что верно для четырех; из этого - что верно для пяти; и так далее до бесконечности - выходит, что верно для любого числа. Это называется "принцип математической индукции".

Но в данном случае так доказать легко не получается. Вместо этого Коши придумал следующий красивый прием: сначала мы докажем по индукции, что неравенство верно, но не для любого количества чисел, а только для степеней двойки: 2 числа, 4 числа, 8, 16, 32, 64 - если взять ровно 32 числа, например, то неравенство будет верно. Но тогда мы пропускаем все промежуточные числа: что если я возьму три числа , , , или 25 чисел, или еще сколько-то? А для всех этих случаев мы докажем, взяв уже доказанную степень двойки и спустившись от нее 'вниз'. Например, из того, что неравенство верно для чисел, будет вытекать, что оно верно и для 31 числа, и для 30, 29, 28, и так далее. Выходит, что индукция получается как бы двойная: вперед-назад. Сначала мы доказываем только для степеней двойки, "вперед", а потом от достаточно больших степеней двойки возвращаемся ко всем остальным числам, "назад".

Итак, начнем с того, что докажем неравенство индукцией для всех степеней двойки. Для этого мы сначала докажем неравенство всего для двух чисел, а потом покажем, что если количество чисел увеличить в два раза, то неравенство останется верным.

Первый этап - для двух чисел: надо доказать, что . Возведем обе стороны в квадрат:



Умножим обе стороны на 4 и раскроем скобки:



Если мы теперь перенесем вправо и сократим, то справа останется , а это равно . Выходит, что наше неравенство сводится к



но это очевидно - квадрат всегда положительное число.

Второй этап - докажем, что если удвоить количество чисел, неравенство останется верным (предполагая, что оно уже было всегда верно для исходного количества чисел). Вместо того, чтобы записывать это с большим количеством индексов, я продемонстрирую на примере перехода от 4 чисел к 8 (именно так записал свое доказательство Коши, кстати):

Мы хотим доказать, что



или, если возвести обе части в восьмую степень, чтобы избавиться от корня:





Произведение можно сгруппировать в две части: , и к каждой из них применить неравенство для четырех чисел, которое мы предполагаем уже доказанным:




Перемножив эти два неравенства, получим:



В знаменателе произведение это всего-навсего (при умножении степеней степени складываются! Если не верите, проверьте вручную, что ). А числитель мы можем упростить, соединив две степени в одну, и тогда получим:



Наконец, к произведению двух чисел в числителе, каждое из которых выделено скобками, мы тоже можем применить все то же неравенство для двух чисел (взяв их как бы в качестве новых и ):




и если мы подставим это в числитель того неравенства, что получили выше, то выйдет (после того, как мы отдельно возведем числитель и знаменатель в четвертую степень, и спустим знаменатель вниз, к общему знаменателю):



(два в восьмой степени, кстати, равно 256. Я помню это наизусть, потому что я программист - когда будущие программисты изучают свою профессию в университете, они проходят тайную церемонию с использованием крови и заклятий, они вызывают дух Тьюринга и присягают ему на верность - там еще есть много интересного, но в общем, к концу церемонии число 256 впечатывается им в сознание на всю оставшуюся жизнь)

Ну а знаменатель этого последнего неравенства равен просто - вот мы и получили, что хотели:



Третий этап. Теперь предположим, что у нас какое-то не слишком удобное количество чисел, не степень двойки. Пусть их число будет , и обозначим их , и пусть ближайшая к степень двойки "сверху" (т.е. больше, чем ) будет равна какому-то . Тогда мы знаем, что для любого набора из чисел неравенство выполняется, но вот для чисел это пока не доказано.

Что ж, если у нас слишком мало чисел, добавим! К нашим числам допишем еще чисел, так чтобы общее число было ровно ; что допишем? одно и то же число напишем раз; а что это за число , оставим пока неопределенным - сможем потом подобрать поудобнее. Тогда для всех чисел можно записать неравенство



Здесь степень в левой части, и множитель в правой части всего лишь отражают тот факт, что мы вставили раз одно и то же число B - слева в произведении, а справа в сумме.

Теперь давайте присмотримся к правой части: не можем ли мы как-нибудь так подобрать B, чтобы она упростилась? Давайте раскроем скобки и вынесем множитель , благо он сокращается, за пределы дроби:



Ага, если выбрать B так, чтобы , т.е. взять , среднее арифметическое исходных чисел, тогда вся сложная дробь справа просто сократится, и останется всего лишь



Мы уже почти у цели. Возведем обе стороны в степень :



Сократим степени числа
с двух сторон:



и опять возьмем корень, на этот раз степени :



Но ведь как раз и есть среднее арифметическое чисел - мы его именно так и выбрали! Так что мы получили то неравенство для чисел, которое хотели получить:



Что и требовалось доказать.

(мне любопытно было бы узнать, насколько эта запись понятна/непонятна/интересна/неинтересна людям, не занимающимся математикой и точными науками)
СсылкаОтветить

Comments:
Страница 1 из 3
<<[1] [2] [3] >>
[User Picture]From: marat_yuldashev
2008-10-07 11:55 pm
Почему база не идет от N=1?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2008-10-08 12:00 am
Слишком тривиально: не получается "подняться" от 1 к 2. Обратите внимание, что в шаге индукции уже доказанные неравенства применяются дважды: для предыдущей степени двойки и для 2. Так что случай N=2 необходимо держать наготове.


(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: rwalk
2008-10-08 12:03 am
Красивое (со школьных времен), но идеологически порочное :) Проще сказать, что логарифм - вогнутая функция. Вообще львиная доля неравенств интерпретируются как выпуклость подходящих функций.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: french_man
2008-10-08 01:32 am
Ну, неравенство Йенсена - только одно из возможных обобщений. Есть еще неравенство Мюрхеда, которое, насколько я понимаю, через выпуклость не докажешь.

Но я согласен, что аввино д-во идеологически неправильное.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: photoandrey
2008-10-08 12:35 am
Нормально читается, хоть и давно уже всё это изучалось. Упоминание о том, что при умножении степеней степени складываются, кажется ненужным - неужели это можно забыть или не знать?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: kcmamu
2008-10-08 01:33 am
Шаг удвоения (T -> 2T) прозрачнее доказать так:
1) пусть А(...) есть ср. арифм., Г(...) -- ср. геом.;
2) из определения А и Г видно, что А(а1,...аТ,б1,...бТ) = А(А(а1,...,аТ),А(б1,...,бТ)) и аналогично для Г;
3) из определения А и Г видно, что при а1>=б1,...,аТ>=бТ будет А(а1,...,аТ)>=А(б1,...,бТ) и аналогично для Г;
4) собственно док-во удвоения:
4.1) А(а1,...аТ,б1,...бТ) = А(А(а1,...,аТ),А(б1,...,бТ)) по (2);
4.2) А(А(а1,...,аТ),А(б1,...,бТ)) >= Г(А(а1,...,аТ),А(б1,...,бТ)) по предположению индукции для 2;
4.3) Г(А(а1,...,аТ),А(б1,...,бТ)) >= Г(Г(а1,...,аТ),Г(б1,...,бТ)) по (3) и предположению индукции для T;
4.4) Г(Г(а1,...,аТ),Г(б1,...,бТ)) = Г(а1,...,аТ,б1,...,бТ) по (2);
4.5) А(а1,...аТ,б1,...бТ) >= Г(а1,...,аТ,б1,...,бТ) по (4.1)-(4.4). Quod erat demonstrandum.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2008-10-08 01:35 am
Третий этап, кажется, можно доказать проще.
1. Если a - среднее n чисел, то среднее этих же n чисел и b < a будет меньше a (справедливо и в одно действие показывается и для среднего арифметического, и для среднего геометрического, верно и если заменить "меньще" на "больше").
2. Поэтому если среднее арифметическое каких-то n чисел меньше среднего геометрического, добавим к ним число, лежащее между этими двумя средними, и получим набор n+1 чисел, у которых среднее арифметическое будет меньше среднего геометрического. Процедура повторяется, пока не получим n+m=2k.

S.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2008-10-08 01:45 am
Кажется, ерунду написал. Нужно было (?) показать, что среднее будет больше b.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: 9000
2008-10-08 02:28 am
Логика введения B, которое случайно оказывается средним арифметическим, конечно, развлекает.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: meshko
2008-10-08 02:35 am
Теряюсь в догадках о том, как и для чего это родилось.

Мне всегда казалось, что неплохо было бы иметь такие учебники начальной математики: написанные человеческим языком и подробными внятными выкладками. Может, они и есть, но мне не попадались?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: meshko
2008-10-08 02:37 am
Да, и хорошо бы были хотя бы намёки на то, как доказательство работает, в смысле откуда оно взялось.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: dass
2008-10-08 02:38 am
Спасибо, вспомнился матан в универе
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: kirenenko
2008-10-08 04:12 am
"квадрат всегда положительное число."
неотрицательное

"часто оказывается полезным в математике."
например?

"это произведение всех чисел, из которого извлечен корень той степени, сколько есть чисел"
а зачем? и почему "геометрическое"?

То есть это все знаю (или когда-то знал), и мне было интересно вспомнить это доказательство, спасибо. Но если уж пишете в тоне "Если не верите, проверьте вручную", то хорошо бы заинтересовать аудиторию чем-то кроме самого метода доказательства.
(Ответить) (Thread)
From: ext_72902
2008-10-08 05:19 am
Есть две школы - "неотрицательное - положительное" и "положительное - строго положительное".
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: lalibu
2008-10-08 04:31 am
офтоп: Коши в душе тоже был программистом, любил понимаешь степени двойки :)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: rakshas
2008-10-08 04:36 am
Проблема всех таких доказательств, что они начинаются с каких-то тривиальных рассуждений о том, что такое среднее арифметическое, а потом быстро-быстро усложняются в нечитаемую и непонятную байду, которую может понять только человек, который и до этого как минимум прекрасно знал, что такое среднее арифметическое.

Никто и никогда не будет вникать в такое доказательство, не имея хорошего математического бекграунда.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: dimrub
2008-10-08 06:56 am
Кстати, верно. Я даже знаю, где именно не имеющий бэкграунда человек потеряется: на слове индукция.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: qaraabayna
2008-10-08 05:07 am
Не-е. Некрасиво. Напоминает высказывание Литлвуда о Жордане.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2008-10-08 05:13 am
Еще есть красивое доказательство с помощью транснеравенства.
Это, что если мы хотим сложить поожительные числа a_1,...,a_n, взятые с положительными коэффициентами b_1,...,b_n, то максимум получится, когда к большему числу приставляется больший коэффициент.
(само по себе очевидно)

Второй шаг: заметить, что достаточно найти максимум суммы при условии, что произведение равно 1.

Третий шаг самый красивый, не буду пока рассказывать :)

(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2008-10-08 05:21 am
Упс. Минимум суммы, а не максимум (при условии, что произведение равно 1).
Соответственно, и транснеравенство надо использовать в другую сторону: что, чтобы добиться минимума, надо к большим числам приставлять меньшие коэффициенты.

(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: rgu
2008-10-08 05:30 am
Какой Вы, Анатолий, неленивый человек.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: pbl
2008-10-08 06:29 am
> ...вызывают дух Тьюринга и присягают ему на верность

Кто Тьюрингу, а кто и Черчу.
(Ответить) (Thread)
Страница 1 из 3
<<[1] [2] [3] >>