August 12th, 2001

moose, transparent

виды бесконечности - 1

Тема: "актуальная бесконечность" и "потенциальная бесконечность" в философии математики последних 100 лет, плюс применимость этих категорий в теории вычислимости.

Очень краткое пояснение: актуальная бесконечность - бесконечность завершённая, взятая в качестве единого целого; объект или понятие, заключающие в себе бесконечность других объектов или понятий. Пример: множество натуральных чисел N. Потенциальная бесконечность - бесконечность в виде процесса, который можно продолжать неопределенно долго, но никогда нельзя завершить. Пример: добавление 1+1, 2+1, 3+1, 4+1, потенциально проходящее сквозь все натуральные числа, но никогда не заканчивающее проход.

Пошёл сейчас, пошарил немного по источникам. Впервые чётко их различает Аристотель в "Физике" (не читал Физику, и оказывается, что очень зря). Аристотель отвергает актуальную бесконечность, и признаёт только потенциальную (отсюда):

В самом деле, о бытии можно говорить либо в возможности, либо в действительности, а бесконечное получается либо прибавлением , либо отнятием. Что величина не может быть бесконечной актуально, об этом уже сказано, но она может быть беспредельно делимой (так как нетрудно опровергнуть учение о неделимых линиях); остаётся, таким образом, бесконечное в возможности. [...]
Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берётся иное и иное, а взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным. Так что бесконечное не следует брать как определённый предмет, например как человека или дом, а в том смысле, как говорится о дне или состязании, бытие которых не есть какая-либо сущность, а всегда находится в возникновении и уничтожении, и хотя оно конечно, но всегда разное и разное. [...] Итак, бесконечное есть там, где, беря некоторое количество, всегда можно взять что-нибудь за ним. А где вне ничего нет -- это законченное и целое.


Это книга третья, глава шестая. А в книге восьмой, главе восьмой есть интересное решение парадокса Зенона о невозможности переместиться из точки A в точку B (так как перед этим нужно пройти полдороги до точки C, потом полдороги пути из C в B до точки D, потом полдороги пути из D в B...). Аристотель полагает, что движение сквозь бесконечное количество точек из A в B возможно лишь в том случае, если эта бесконечность остаётся потенциальной, если она не актуализируется. Как она может актуализироваться? Например, тем фактом, что при проходе сквозь точки мы останавливаемся в них на какое-то время.

Т.е. предположим, что есть две точки A и B, между которыми расстояние X метров, а бегун бежит со скоростью X метров в минуту. Если он просто будет бежать из А в B, "не обращая внимания" на серединные точки C (полпути между A и B), D (полпути между C и B), E (полпути между D и B) и т.д., то он всё нормально пробежит за минуту. Если же он будет бежать так: добежал до C за полминуты, отдохнул полминуты; добежал до D за четверть минуты, отдохнул столько же; и т.д. - тогда, хотя "формально" он двигается со скоростью "X за две минуты", он, согласно Аристотелю, никогда не достигнет B - потому что бесконечность точек никогда не сможет актуализоваться.

Это очень интересно.

Update: Найти и прочитать: J. Lear, Aristotelian infinity, Proceedings of the Aristotelian Society (n.s.), 80, 1980, pp. 187-210.
  • Current Mood
    contemplative contemplative
moose, transparent

статистика: кто победит?

Навеяно заглавием вот этой записи.

Комментатор из меня никудышний, конечно, но попробую как-нибудь.

Итак: на старт, внимание, марш!

выбранные - 20,100 страниц
избранные - 205,000 страниц.

Сразу после старта И(збранные) резко вырывается вперёд, оставляя В(ыбранные) далеко позади. Он опережает его в десять раз! Отличное начало, но сможет ли И сохранить перевес?

выбранные места - 855
избранные места - 2060

Расстояние между бегунами резко сокращается: И теперь опережает В всего в два с половиной раза. Но всё ещё впереди.

выбранные места из - 685
избранные места из - 1330

Расстояние опять сократилось. Из результатов понятно уже, что правильное название книги Гоголя сильно помогает бегуну В.

выбранные места из переписки - 472
избранные места из переписки - 640

Расстояние опять сократилось - бегунов теперь разделяют меньше двухсот страниц! Кажется, В набрал такой темп, что его уже ничто не сможет остановить. С другой стороны, финальная ленточка близка, и если И чуть-чуть поднатужится...

выбранные места из переписки с - 412
избранные места из переписки с - 370

Всего один короткий, однобуквенный предлог с позволяет, наконец, В вырваться вперёд. Теперь уже всё ясно, и результат никого не может удивить:

выбранные места из переписки с друзьями - 347
избранные места из переписки с друзьями - 162

Николай Васильевич помог В добиться более чем двукратного перевеса на финише. Победил сильнейший!

(аплодисменты)
  • Current Mood
    weird weird
moose, transparent

русская история

Очень хороший сайт: http://www.russianhistory.org . Много ссылок на разного качества другие сайты.
В частности, через него нашёл очень большую базу данных русских имён: http://www.sca.org/heraldry/paul/index.html

А вот, тоже через него: Revelations from the Russian Archives. Наугад пошёл внутрь, набрёл на письмо Ленина Горькому: картинка последней страницы и перевод. Ленин пишет: "Ей-ей, погибнете, ежели из этой обстановки буржуйских интеллигентов не вырветесь!" Переводчик переводит: "Really and truly you will die if you don't break away from this situation with the bourgeois intelligentsia". Да в ГУЛАГ таких переводчиков надо бы.
moose, transparent

список Гильберта

Как ни странно, трудным делом оказалось найти на сети знаменитый список 23 важнейших нерешённых проблем математики, предложенный Гильбертом на математическом конгрессе в Париже в 1900-м году.

В конце концов отыскался полный текст его доклада, а кроме того, тот же текст был перепечатан в Bulletin of the American Mathematical Society, 4-й номер за 2000-й год, и доступен как в формате PDF, так и в ещё нескольких.

Когда-то я его уже читал на бумаге, а сейчас просматривал, вспоминая некоторые забытые частности. Интересное чтиво.
  • Current Mood
    accomplished accomplished