November 20th, 2002

moose, transparent

о хоровом пении и других книгах



Это пол-странички из книги "Метод обучения хоровому пению с приложением практических упражнений и примечаний к ним" , 1883-й год. По ссылке находится вся книга (в виде листабельных картинок).

И вообще, Cornell University Library, Digital Collections - очень богатое место с потрясающем количеством отличных книг. Я о нём и раньше знал и гулял там, а сегодня запись squadette мне опять напомнила, и я немного ещё погулял. Вот несколько любопытных примеров:



Это тольно несколько случайных примеров, найденных в последние полчаса. Там очень много интересного.
moose, transparent

красота (математика)

Буквально в последние дни, очень понравились:
1. Красивый объект: группа Григорчука. Это определённая подгруппа группы автоморфизмов бесконечного двоичного дерева. Мне про неё рассказали сегодня. Очень красивая штука. Довольно элементарно и элегантно доказывается, что это 2-группа (каждый элемент имеет порядок степень двойки), при этом сама она бесконечна; т.е. является простым и красивым контрпримером к одной из гипотез Бернсайда: той, что гласит, что каждая конечно порождённая группа, в которой все элементы имеют конечный порядок, сама конечна.
2. Красивое доказательство: доказательство Шелаха того факта, что функция роста чисел ван дер Вардена - примитивная рекурсивная. Ссылка на статью Шелаха есть на той же странице. Очень простое полностью комбинаторное док-во, которое заодно доказывает новым способом само существование чисел ван дер Вардена, не используя обычную для этого двойную индукцию.
3. Красивый подход: статья Патнэма с альтернативным док-вом теоремы о неполноте Гёделя, придуманном Крипке. Доказательство полностью алгебраическое, использует нестандартные модели арифметики Пеано, причём довольно элементарным образом. Саму нестандартную модель можно при желании построить с помощью ультрафильтров, избежав таким образом использования теоремы о компактности и сделав всё доказательство ещё более алгебраическим по духу. В свежем Notre Dame Journal of Formal Logic. Вообще-то я ещё не уверен окончательно в том, что понял все подробности; надо перечитать. Но очень красиво.
moose, transparent

о радуге и её цветах

Мне задали интересный вопрос, полного ответа на который я не знаю. Как именно появилось деление радуги именно на семь цветов, и какие бывали/бывают другие деления - это очень интересные вопросы. Я приведу несколько фактов и направлений, которые я знаю; если кто-то знает больше, добавляйте.
  • Во-первых, объективно именно семи цветов в радуге нет, есть постепенный переход спектра. В этом спектре мы выделяем цвета согласно нашим внутренним "определениям" границ между цветами; эти границы как минимум в некоторой степени зависят от нашей культуры и языка (вот старая запись на эту тему). Но в радуге даже и эти цвета всегда колеблются, перекрываются, переходят в друг друга; всегда одно и то же определённое количество полос в них трудно углядеть. Если у кого и получается, то, видимо, уже под влиянием культурного стереотипа семи цветов.

    Вот хорошая статья с простым и понятным физическим объяснением радуги. В частности (ссылка в ней), вот хорошая картинка, демонстрирующая возникновение спектра. Ещё в ней сказано вот что о контрастности цветов в радуге:
    The "purity" of the colors of the rainbow depends on the size of the raindrops. Large drops (diameters of a few millimeters) give bright rainbows with well defined colors; small droplets (diameters of about 0.01 mm) produce rainbows of overlapping colors that appear nearly white.

  • Цвета в современной русскоязычной культуре: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый. Самая распостранённая мнемоника: "Каждый Охотник Желает Знать, Где Сидят Фазаны". Цвета в современной англоязычной культуре: red, orange, yellow, green, blue, indigo and violet. Самая распостранённая мнемоника: Roy G.Biv (вымышленное имя, буквы которого - первые буквы цветов).

    Есть ли современные традиции с другим количеством цветов, нежели семь? Я о таких не знаю. Были ли в прошлом? В комменте, содержащем вопрос, упоминается пять цветов у китайского философа Дун Чжуншу. Об этом я тоже раньше не слышал.
  • Почему семь? По-видимому, благодаря Ньютону. Во-первых, я не могу пока что найти ни одного источника раньше 18-го века, который бы идентифицировал бы ровно семь цветов радуги (по-русски или по-английски, например). Упоминания цветов радуги, к-е я нашёл в английской литературе до 18-го века, говорят, как правило, о "большом количестве оттенков", "мириаде цветов" итп. Во-вторых, подробное описание вклада Ньютона в теорию цвета можно прочитать здесь (по-английски). В частности, там утверждается, что: а) сначала Ньютон описывал спектр, состоящий из множества "элементарных цветов"; б) потом он изменил эту точку зрения и придумал деление на семь цветов; в) причём эти семь цветов были поправкой к предыдущей версии пяти цветов, потому что Ньютон проводил параллель между ними и семью нотами в октаве. Вот соответствующие цитаты с этой страницы: Collapse ). Кроме того, ясно, что у Ньютона, увлекавшегося оккультизмом и нумерологией (это даже не очень верно, так сказать; если судить по его работам и занятиям, вернее сказать, что он занимался оккультизмом и нумерологией, и при этом увлекался математикой и физикой), было множество других причин выбрать магическое число 7.
  • Ньютон в основном экспериментировал с дроблениям света на спектр призмой. Обсуждал ли он именно радугу, и если нет, когда его система семи цветов была переведена с искусствено получаемого спектра на радугу? (возможно, сразу или практически сразу, т.к. сходство очевидно). Когда и как схема Ньютона перешла в другие страны и языки; в частности, в русский?
  • Но вот ещё интересный источник. Библия, книга Бытия, глава 9. Бог объявляет заветы Ною и его сыновьям. В иудаизме эти заветы традиционно считаются обязательными для всех народов (в отличие от остальных, обязательных именно для евреев): Collapse )
    Иудаизм традиционно группирует этот текст в семь заповедей (это не очень точно, скорее так: существует традиция семи заповедей сыновьям Ноя, которая основывается в частности на этом тексте. См, например, здесь). Есть, далее, мнение, что радуга является знамением этих заповедей именно потому, что в ней - семь цветов. Вот, например, книга, названная в этом духе. В самом тексте книги Бытия, как видим, слова "семь" нигде нет.
    Collapse )