April 13th, 2004

moose, transparent

несколько парадоксов

На этой довольно полезной странице (англ.) вкратце описаны самые знаменитые логические парадоксы, плюс несколько относительно малоизвестных. В частности, первые два парадокса оттуда мне раньше не встречались. Вот они в переводе на русский язык, и вместе с ними я опишу ещё один современный парадокс, парадок Ябло (Yablo), весьма интересный (на странице, пролинкованной выше, его нет).

  • Парадокс предисловия. Часто бывает так, что автор книги извиняется перед читателями, в предисловии, за любые допущенные ошибки. Если, к примеру, это не первая книга автора, то он на своём опыте хорошо знает, что полностью избежать ошибок невозможно, и где-нибудь какое-нибудь утверждение в книге окажется неверным. Поэтому извиниться заранее — вполне рациональное поведение с его точки зрения. С другой стороны, каждое утверждение в книге было сформулировано автором потому, в частности, что он считал его истинным [мы предполагаем, что автор не врёт специально, и не утверждает того, в чём не уверен]. Но выходит тогда, что убеждения автора содержат противоречие: он считает все утверждения в тексте истинными, и одновременно уверен, что как минимум одно из них ложно.

  • Парадокс токсина Кавки (по имени философа, который описал этот парадокс). Представьте себе, что некий эксцентричный богач обратился к вам со следующим предложением. Он даст вам ампулу с токсической жидкостью; если вы выпьете эту ампулу, то будете очень плохо себя чувстовать в течение одного дня, но потом всё пройдёт и никаких долгосрочных последствий не будет. Богач заплатит вам миллион долларов, если сегодня в полночь вы будете собираться выпить ампулу с токсином завтра после обеда. Деньги вы получаете именно за намерение; если вы потом передумаете и всё же не будете пить токсин завтра, то деньги у вас всё равно останутся. Богача не интересует, выпьете вы токсин или не выпьете, ему нужно только, чтобы сегодня в полночь вы намеревались выпить его завтра.

    Из этого следует, конечно, что после того, как вы получите миллион долларов за намерение выпить токсин, вы не будете на следующий день пить его — зачем? Но если вы это понимаете заранее, как вы можете сегодня в полночь намереваться выпить токсин, если вы знаете, что завтра этого не сделаете? Есть ли у вас вообще возможность получить деньги богача?

  • Парадокс Ябло. Важность этого парадокса в том, что, хотя он похож на парадокс лжеца и разные его варианты, этот парадокс, по крайней мере на первый взгляд, избегает автореферентности (self-reference). Правда, многие считают, что это только на первый взгляд, и автореферентность хитро "спрятана" внутри парадокса. Философы продолжают спорить на эту тему.

    Возьмём бесконечное число утверждений (каких именно, сейчас скажем) и пронумеруем их: S0, S1, ..., Sk, ... и так до бесконечности. Здесь Sk обозначает утверждение номер k. Теперь о том, что они собственно утверждают: Sk утверждает "все Sn, для n>k, ложны". То есть, например, S0 утверждает, что все утверждения начиная с S1 и дальше ложны, а S17 говорит, что ложны S18, S19 и так далее до бесконечности. В частности, обратите особое внимание на тот факт, что каждое утверждение ничего не говорит о своей собственной истинности или ложности, даже косвенным способом, т.к. оно утверждает что-то лишь об утверждениях с большими номерами, и для всех них это тоже верно.

    Возьмём любое утверждение Sk. Ложно оно или истинно? Предположим, что истинно. Тогда Sk+1, Sk+2 итд. все ложны. Но ложность Sk+2, Sk+3, итд. — как раз то, что утверждает Sk+1. Поэтому получаем противоречие: с одной стороны Sk+1 ложно (прямое следствие истинности Sk), с другой стороны истинно (прямо следствие ложности Sk+2, Sk+3, итд). Раз мы достигли противоречия, значит, наше предположение было неверным, и Sk на самом деле ложно. Причём это верно для любого k.

    В частности, ложны S1, S2, итд. до бесконечности. Но это как раз то, что утверждает S0, поэтому S0 истинно. Но мы уже доказали, что S0 ложно, как и любое другое Sk. Получаем противоречие и парадокс.