April 25th, 2004

moose, transparent

опечатка

“Хотьба” — хорошее слово.

Смешная опечатка у меня в бумажном Прусте (в “По направлению к Свану”):
“Внезапно отец останавливался и спрашивал мать: “Где мы сейчас?” Уставшая от хотьбы, но гордая за мужа, она с нежностью в голосе признавалась, что не имеет об этом никакого представления.”

Вообще довольно много опечаток в этом издании. Но ничего.

Жаль, что совсем времени для чтения сейчас нет. Пока что прочитал только треть первой книги, примерно. Но очень нравится.
moose, transparent

доказательство Крипке

Вот набросок доказательства Крипке первой теоремы о неполноте Гёделя, о котором я писал несколько дней назад. К сожалению, дать полностью законченное доказательство, не предполагающее знание формальной логики, выше моих сил (нет времени и терпения на это). Поэтому это доказательство, скорее всего, будет непонятно тем, кто не знает, что такое: формальная логика, структура, модель, формальная теория, язык арифметики, PA (формальная теория арифметики Пеано), стандартная модель PA, нестандартная модель PA.

Мы начинаем с формальной системы T, насчёт которой известно:
1) Она расширяет арифметику Пеано PA (в частности возможно T=PA)
2) У неё есть рекурсивная аксиоматизация
3) Она Σ2 - корректна. Это значит, что все Σ2 утверждения, которые она доказывает, истинны.

Collapse )

Исходя из этих условий, мы докажем следующее: T неполна. То есть, существует утверждение φ такое, что T не доказывает его и не опровергает (т.е. не доказывает ¬φ).

Collapse )
moose, transparent

знак равенства

dyak поведал, что Роберт Рекорд, английский математик 16-го века, о котором я писал пару дней назад, оказывается, придумал знак равенства = и первым его использовал. И действительно, в его книге “The Whetstone of Witte” («Точильный камень разума») он вводит их ближе к концу книги, когда разбирает уравнения.

Следовательно, вот первый в истории человечества знак равенства:



Расшифровка текста, с пояснениями в квадратных скобках:
Nowbeit, for easy alteratiõ [alteration] of equations. I will propounde a fewe exãples [examples], bicause the extraction of their rootes, maie [may] the more aptly bee wroughte. And to auoide [avoid] the tediouse repetition of these woordes : is equalle to : [of these words: “is equal to”] I will sette [set] as I doe often in woorke vse [work use], a paire of paralleles, or Gemowe [“двойных”; исчезнувшее с тех пор из английского языка слово] lines of one lengthe, thus: ====, bicause noe .2. thynges [no 2 things] can be moare equalle. And now marke these nombers.

Странные знаки в уравнениях соответствуют тому, что мы сегодня называем переменными и обозначали бы x, y итп. Рекорд называет их "коссическими числами", Cossic numbers; это слово, тоже с тех пор исчезнувшее, было образовано от итальянского cosa “вещь”; его использовали для обозначения алгебраических понятий и идей, то есть “cossic” означало примерно “алгебраический”, а “Rule of Coss” называли алгебру. Позже, слово “алгебра” и производные от него вытеснили “cossic” из языка, примерно к концу 17-го века (согласно OED).
  • Current Mood
    happy happy