October 11th, 2006

moose, transparent

о доказательствах, часть 2

Эта запись продолжает предыдущую; прочитайте предыдущую перед этой, если вы ее еще не читали.

В предыдущей записи мы разобрали логическую тождественность прямого и косвенного доказательств (A → B и ¬B → ¬A соответственно), и, как важный пример этой тождественности - эквивалентность принципа математической индукции и принципа бесконечного спуска. В своей заметке о том, что он считает устаревшей терминологией, Дейкстра предлагает отнестись к этой тождественности со всей серьезностью и прекратить считать "косвенное" доказательство чем-то отличающимся от прямого, а принцип бесконечного спуска - чем-то отличающимся от принципа математической индукции. Я пообещал подкрепить аргументами свое утверждение о том, что Дейкстра неправ, и что, несмотря на формальную тождественность с точки зрения логики, в реальной математической практике это разные подходы: некоторые доказательства "естественным" образом укладываются в один из них, другие - в другой, и важно знать и понимать оба, потому что тривиальным образом перейти от одного к другому не получится.

Для того, чтобы показать это на примере, и одновременно, возможно, получше понять, откуда берется эта разница в подходах, и почему математики в одном случае решают задачу так, а в другом - по другому, хотя с логической точки зрения это одно и тоже - для всего этого я предлагаю разобрать одно простое и красивое доказательство методом бесконечного спуска, которое кстати и так заслуживает, чтобы его знали. Посмотрим на доказательство того, что число √2 - квадратный корень из 2 - иррациональное число. Не обычное известное доказательство этого факта, а другое, методом бесконечного спуска.

Итак, мы хотим доказать, что √2 не является рациональным числом, т.е. что его нельзя представить в виде дроби a/b, где a и b - целые положительные числа. "Нельзя представить" означает здесь, что дробь a/b, возведенная в квадрат, не может быть равна 2; это то, что мы понимаем под утверждением a/b ≠ √2. Для того, чтобы использовать метод бесконечного спуска, сформулируем это в качестве утверждения P(b), верного для любого потенциального знаменателя b: итак, P(b) гласит, что не существует такого a, чтобы a/b было равно √2. Мы хотим доказать, что P(x) верно для всех x, и это докажет, что √2 - иррациональное число.

Предположим, что есть такое b, Collapse )

moose, transparent

набоков

С тех пор, как я прослушал в исполнении Набокова его "An Evening of Russian Poetry", две строки оттуда постоянно возвращаются, звучат, и не хотят уходить. Первая, вполне сама по себе афористичная -

...most rivers use a kind of rapid Russian...

а вторая вообще казалось бы ни о чем, и выдернута из ткани стихотворения, почти бессмысленна -

The birch tree, Cynthia, the fir tree, Joan.

Почти наваждение. В конце июля в Норвегии на яхте, в фьордах и заливах, то и дело повторял про себя ни с того ни с сего: "the birch tree, Cynthia, the fir tree, Joan".

Давайте, что ли, вспомним романы Набокова? Какой у вас самый любимый из русских и какой - из английских? Мои ответы - "Дар" и "Пнин".

moose, transparent

и завтра кто-нибудь поможет

Подборка старых (неопубликованных?) стихов Кушнера в "Звезде".




* * *

"Страданье занимает в нас
Не больше места, чем мы сами
Ему отводим каждый раз" -
Такими жесткими словами
Я утешался целый день,
И, слава богу, был он прожит.
Так пригодился мне Монтень.
И завтра кто-нибудь поможет.

1971

moose, transparent

справочная служба сообщает

Вопрос № 203447

Добрый день! Уважаемые господа, в интернете много лет существует онн-лайн игра, законами которой запрещено использование мата, а также слов, буквосочетаний, словосочетаний, являющихся завуалированным матом. Один из персонажей использует в названии рыбной лавки словосочетание "Уху евший карась". Скажите, пожалуйста, соответствует ли это словосочетание нормам русского языка и является ли это завуалированным матом? Заранее благодарим за ответ.

Смутный Сергей Сергеевич

Ответ справочной службы русского языка

Считаем, что приведенное Вами сочетание (с пробелом между словами уху и евший) не содержит слов, характерных для нецензурной лексики.

[по ссылке от lleo]

moose, transparent

видео-ссылки

За все эти ссылки спасибо kobak'у - загляните в его неизменно интересный журнал!

moose, transparent

математика, о биссектрисах

Биссектриса —
Это такая крыса,
Которая бегает по углам
И режет угол пополам.

На уроках математики в школе больше всего не любил геометрию. У меня всегда плохо было с геометрическим (а после выяснилось, что еще хуже - именно с пространственным) воображением.

С биссектрисами вышло так. Если треугольник равнобедренный, то у него два угла равны между собой, и биссектрисы из этих двух углов равны по длине. С другой стороны, если в треугольнике биссектрисы двух углов равны, то равны и сами эти углы, и треугольник равнобедренный. Одно из этих двух утверждений тривиально, а другое довольно сложно доказать, но я никак не мог запомнить, какое! Не говоря уж о том, чтобы запомнить это "довольно сложное" доказательство (кажется, его не было в школьной проргамме, но во время подготовки к какой-то олимпиаде я его учил).

Может, я не один был такой с этой путаницей? Короче, вот мне попалось вчера красивое и не очень сложное доказательство, с готовой картинкой. Перепишу его по-русски.

Collapse )