February 1st, 2007

moose, transparent

числа

Вот некоторые из моих ощущений насчет чисел (то, что сейчас пришло в голову, это неполный список):

Четные числа - неправильные, в них ощущается изъян. Из них 2 лучше всех, но все равно неправильное.

Нечетные числа - правильные, заостренные. Четные числа - полированные, нечетные - шероховатые, и это лучше. Среди нечетных простые числа - самые правильные, они привлекают к себе внимание, они внушительнее и весомее других нечетных чисел.

Четные числа двуличны, они могут обмануть, им нельзя доверять. Нечетные числа честные, чувствуешь, что на них можно положиться.

Какие у вас отношения с числами?

moose, transparent

об абстрактном

(эта запись - примерный перевод моей же записи в англоязычном блоге)

В новом и довольно интересном блоге математика Джона Армстронга (The Unapologetic Mathematician) появилась запись, объясняющая начала теории групп для широкой публики.

Конечно, подавляющее большинство читателей, не знакомых с математикой на университетском уровне, не смогут понять это введение. Это само по себе довольно очевидно; что менее очевидно - почему Джон Армстронг искренне считает, что написал что-то простое и понятное любому нематематическому читателю (и тут я не пытаюсь как-то его выделить или обидеть: со мной тоже такое случалось в прошлом, да и у множества других людей я наблюдал такое отношение). Желание автора блога объяснить начала "настоящей" математики широкой публике понятно и похвально, но вместе с тем затея обречена на неудачу.

Есть что-то в устройстве нашего разума, что мешает нам понять, насколько другим людям тяжело справиться с какой-то абстракцией, которую мы как следует усвоили, привыкли к ней и пользуемся ей не задумываясь. Вообще говоря, мы постоянно строим у себя в голове модели, "картинки" мыслительного процесса других людей. Это происходит по самым разным поводам постоянно, сотни раз каждый день; без этого процесса невозможно никакое понимание и реальное общение. Но почему-то именно когда речь идет о какой-то сложной абстрактной идее, которую мы сами хорошо понимаем, наша способность построить у себя в голове адекватную картинку того, как другие люди ее не понимают, буксует. Это не невозможно сделать, но заметно тяжелее, чем другие виды моделирования чужих мыслей и размышлений.

Почему? Понятия не имею.

Раз у меня нет понятия, попробую обойтись несколькими ассоциациями и примерами. Запись про теорию групп напомнила мне два похожих по сути запомнившихся примера, оба из области программирования.

Вчера я прочитал интереснейшую запись в блоге Coding Horrors, в которой обсуждается недавняя научная статья, авторы которой изучали студентов-первокурсников на компьютерном факультете. Авторы статьи утверждают, что они смогли сформулировать очень простой тест, который позволяет отделить тех студентов, которые научатся программировать, от тех, которые не научатся, еще до того, как они начали учиться. Пример вопроса из этого теста, который приводится в записи, настолько абсурдно простой, что в комментариях к записи многие протестуют и не доверяют утверждению, что вообще хоть кто-нибудь мог не ответить на него правильно через три недели после начала учебы (а в статье описывается в том числе и такая проверка). Программистам кажется странным, нелепым, невозможным, чтобы разумный, неглупый человек не смог на него ответить - порому что мы до такой степени усвоили определенные основные понятия - переменные, значения, присваивание - что не представляем, как можно пытаться их усвоить и не смочь.

Второй пример приведу из блога Джоэля Спольского, запись "The Perils of JavaSchools" годичной давности (есть также русский перевод), которая тогда вызвала жаркие дебаты (в целом я, кстати, совершенно согласен с высказанными в ней мыслями). Многим показалось странным, что Джоэль привел указатели (pointers) в качестве жизненно важного понятия для любой академической программы изучения Computer Science. Конечно, верно то, что во многих областях и на многих языках сегодня можно писать вполне "настоящие", сложные программы, которые никак не пользуются указателями. Но тем не менее, говорит Джоэль,

"Но даже вдали от задач, где важность указателей и рекурсии очевидна, их реальная значимость в том, что создание больших систем требует той гибкости мозга, которую вы получаете при их изучении, и тех способностей мозга, которые были вам необходимы для того, чтобы не вылететь с курса во время обучения. Указатели и рекурсия требуют от человека определённых способностей: рассуждать, абстрактно мыслить, и, что особенно важно, видеть проблему на нескольких уровнях абстракции одновременно. Поэтому способность понимать указатели и рекурсию напрямую связана со способностью быть настоящим программистом."

Однако тем из нас, кто знает и понимает указатели, не так уж легко понять, в чем, собственно, проблема, как кто-то может не просто, скажем, ошибаться в их применении, но вообще не понять саму идею, даже после многих попыток объяснить. Указатели - абстрактная идея, которую мы усвоили, переварили, сделали частью своего ментального аппарата. Так и математик, усвоивший алгебраические структуры, не понимает, что сам язык, которым он пытается "просто" и "не требуя предварительных знаний" объяснить их широкой публике все равно полон определенных допущений, способов рассуждать, понимания того, что такое множества и алгебраические операции, способности достаточно уверенно манипулировать в уме этими понятиями - итд. итп. - и всего этого у представителя широкой публики просто нет. Я лично считаю очень полезным для себя опыт преподавания начал программирования (языка C) студентам-первокурсникам на компьютерном факультете много лет назад - именно тогда мне пришлось как следует понять и осознать тот факт, что нелегко приобрести понимание того, как другие не понимают, но без него не может быть качественного преподавания.

Не стоит забывать и тот факт (гм, это уже третий пример), что в университетских математических программах обычно изучают абстрактную алгебру (группы, кольца итд.) после линейной алгебры. Каким бы простым не казалось нам определенее группы, даже первокурсники на математическом факультет обычно не готовы к тому, чтобы его усвоить и свободно им пользоваться. У них нет достаточной тренировки в математическом мышлении. Им нужно пройти через линейную алгебру с ее матрицами и векторами и полями и векторными пространстами - более конкретными, более близкими к непосредственному опыту объектами. Им нужно пройти через анализ, и картинку с производной функции, и определение предела через дельта-эпсилон. И только после этого им обычно преподают концептуально более простые начала теории групп.

... В конечном итоге, мне кажется невозможным объяснить начала теории групп читателю, у которого нет достаточно опыта математического мышления, нет того, что в предисловиях к учебникам называют математической зрелостью (mathematical maturity). Почему без этого - невозможно? Не думаю, что у кого-либо есть ответ на этот вопрос.

moose, transparent

мимоходом

Неожиданная "дырка" в Microsoft Vista (новой версии Windows): она поддерживает команды голосом, и кто-то сделал эксперимент, доказывающий, что можно на вебсайт выложить аудио-файл, который начнет автоматически играть при заходе на страницу и управлять вашим компьютером от вашего имени. Ну там, файлы поудалять, скажем, все такое.

moose, transparent

израильская политика

Почитал вердикт в деле Рамона (не полностью - стало слишком противно в какой-то момент).

Конечно, стыд и позор все это дело.

Вердикт написан очень небрежно и не выдерживает критики. Например, несколько раз повторяется, по поводу беседы между Рамоном и девушкой, в которой она его в шутку пригласила лететь с ней в Коста-Рику, что мол, "в этом не было даже малейшего элемента флирта, потому что все присутствующие, кто слышал эту беседу, подтвердили, что это предложение не было сделано всерьёз". Такое впечатление, что у судей кто-то замкнул какие-то проводки в голове. Да, конечно, она не всерьез, а в шутку говорила "полетели со мной в Коста-Рику", но как из этого следует, что это не было флиртом?! Следует совершенно противоположное!

P.S. Вот мое мнение. Поцелуй был либо по обоюдному согласию, либо по инициативе Рамона, неверно проинтерпретировавшего флирт девушки. То, что поведение девушки можно было без натяжек понять, как флирт - несомненно (даже если она его таковым не считала, во что я не верю). Считать это "сексуальным преступлением" - тяжелый бред. Учитывая ее дальнейшее поведение, о тяжелой травме говорить не приходится (в вердикте долго рассуждают о том, что то, что минуту спустя она охотно улыбаясь еще раз сфотографировалась с Рамоном и написала ему по его просьбе свой телефонный номер, ни о чем не говорит, что она это делала "машинально в травматическом состоянии". Это крайне неубедительно).

То, что это вообще дошло до суда, само по себе скандально. Правильным поведением судей было бы обязать Рамона извиниться за неправильно понятые намерения девушки и хамское поведение, вынести оправдательный приговор, обязать полицию временно отстранить от работы следователей, давивших на девушку с целью заставить ее подать жалобу, и немедленно начать независимое от самой полиции расследование действий этих следователей.