February 15th, 2007

moose, transparent

абстрактное и эпсилон-дельта

Все размышляю об этой записи. Благо материал все время новый попадается. Вот в наборе записей "Basic Concepts in Science", о котором я писал позавчера, очень многие - математические из блога Good Math, Bad Math. Но практически все они, хоть и написаны специально для людей без всякого математического образования, совершенно для этой цели бесполезны. То он пишет об алгебраических структурах, вводя формальное определение группы, но ничего в нем не объясняя. То рассказывает о понятии предела, вываливая на несчастного читателя определение через эпсилон-дельта, совершенно не подозревая, насколько оно ему будет непонятно. В результате все это получается, мне кажется, довольно бессмысленным занятием.

Но я вот еще о чем подумал: к списку примеров в той записи стоит добавить определение предела через эпсилон-дельта. Сейчас, перечитав ее, вижу, что я упомянул его в конце, но только в списке того, что обычно проходят математики в первый год учебы, до теории групп. Этот пример заслуживает отдельного рассмотрения. Всякий, кто преподавал анализ в университете, особенно не студентам-математикам, студентам с других факультетов, знает, как тяжело студентам понять формальное определение предела через эпсилон-дельта, и непосредственно связанные с ним понятия (непрерывность функции, определение производной итд.). Я подумал вдруг, что можно представить это определение в виде некоторой совершенно необходимой ступени на пути к пониманию математики, подобно тому, как Джоэль Спольский предлагает считать понимание указателей и рекурсии (см. ту запись) необходимым шагом на пути к настоящему пониманию программирования. На эту тему есть две интересные заметки Кита Девлина: Letter to a calculus student и Will the real continuous function please stand up? Обе советую, но не буду пытаться их пересказывать, замечу только, что в обоих заметках Девлин рассуждает о том, почему восприятие идей предела и непрерывности оказывается сложным для студентов. В частности, обсуждая понятие предела:

The subtlety that appears to have eluded Bishop Berkeley is that, although we initially think of h as denoting smaller and smaller numbers, the "lim" term in formula (*) asks us to take a leap (and it's a massive one) to imagine not just calculating quotients infinitely many times, but regarding that entire process as a single entity. It's actually a breathtaking leap.

А теперь сравним это с тем, что Джоэль Спольский пишет об указателях и рекурсии:

Указатели и рекурсия требуют от человека определённых способностей: рассуждать, абстрактно мыслить, и, что особенно важно, видеть проблему на нескольких уровнях абстракции одновременно.

Не правда ли, похоже? На нескольких уровнях абстракции одновременно. Не в этом ли заключается секрет способности к абстрактному мышлению? Умение держать в уме несколько разных абстрактных понятий, нетривиальным образом между собой связанных (как в случае эпсилон-дельта: для каждого эпсилон существует дельта итд.); умение переходить с одного уровня абстракции на другой, не теряя из виду сами абстрактные понятие и связи между ними.

Если в этом суть, то, может быть, именно это надо пытаться как-то развивать и тренировать? Действительно ли все эти студенты неспособны понять указатели (или даже простое присваивание, как в другом примере в старой записи - обратите внимание, опять речь о том, чтобы держать в голове одновременно несколько абстрактных объектов - переменных в данном случае), или эпсилон-дельта? Или есть способы объяснить это им лучше, чем обычно это объясняют? Это, кстати, не риторический вопрос, я вовсе не уверен в том, что есть.

Пока все; может, еще через неделю еще что-то придумается...