June 24th, 2011

moose, transparent

математическое, о корнях

Предположим, мы взяли квадратный корень из какого-то натурального числа, которое не является целым квадратом: например, √7. Добавим к нему еще какой-нибудь такой корень, например, √6, потом еще √15, может быть еще раз √7, и так далее и так далее. Сможем ли мы когда-нибудь "вернуться" к натуральному числу в сумме?

Мне интуитивно кажется ясным, что нет (но не все, кому я предложил эту задачу, соглашаются). Когда мы берем корень , мы как бы уходим из рациональных чисел в огромную пустыню иррациональных, и обратно дорогу уже не найти. Так мне это интуитивно представляется.

Эта задача мне кажется любопытной тем, что на ее примере легко продемонстрировать пользу некоторых начал высшей математики. Если знать, что такое "поле", "расширение полей", "векторное пространство" итд., то доказать, что действительно невозможно вернуться к натуральному числу, очень просто и естественно. А совсем элементарное доказательство, которое использует только числа, найти гораздо труднее, и оно выглядит менее естественным и более запутанным.

Вот эти доказательства, для тех, кому любопытно:
Collapse )