January 11th, 2015

moose, transparent

о тривиальном

(математическое)

Когда я пытаюсь понять какой-то математический материал, мне часто помогает прием, который можно назвать "подробный разбор тривиального примера".

Скажем, когда я старался уложить в голове ковариантные и контравариантные векторы, математический и физический взгляд на них, я подробно разобрал тривиальный пример в одном измерении, чтобы увидеть, что в какую сторону и как изменяется при смене базиса (даже написал об этом запись как-то).

Если бы я преподавал мат. анализ студентам, то наверное попросил бы их проработать правило сложной функции (chain rule) на тривиальном примере, что-то вроде g(x) = (3x)^2 в точке x=4. Преимущество тривиального примера в том, что можно параллельно просто раскрыть скобки, взять производную напрямую, и проверить, что результат сходится. Это сразу дает обратную связь изучающему: правильно ли понял все формулы и как их применять; если сошлось, то приятно, если не сошлось, то отлично, важная информация, вскрылось ключевое непонимание чего-то. Сравните это со статьей в википедии, где предлагается разбор примера g(x) = (3x^2-5x)^7.

Третий пример: сейчас я читаю учебник дифференциальной геометрии и разбираюсь в дифференциальных формах, внешних производных, теореме Стокса на многообразиях итд. Чтобы проверить, что я хорошо понимаю определение касательного пространства, 1-формы на нем, интеграла от n-формы итд., я проверяю себя на тривиальном примере - многообразии R^2, у которого в точке (0,0) я рассматриваю две карты в атласе: скажем, (x,y)->(2x,3y) и еще одна в таком же духе, но с другими коэффициентами. Это достаточно для того, чтобы сделать дифференциалы нетривиальными и показать мне, как меняются, скажем, компоненты дифференциальных форм или базисные векторы касательного пространства при переходе от карты к карте. Когда в учебнике написано, что интегрируют n-формы, а не гладкие функции на многообразии, потому что иначе интеграл менялся бы в зависимости от выбранной карты, я могу это сразу наглядно проверить в моем тривиальном примере, и это укрепляет понимание в голове.

Если бы я писал математические учебники, то постоянно бы в них использовал разборы тривиальных примеров. Меж тем, в тех учебниках, что я читал, мне такие разборы почти никогда не попадались, причем даже в учебниках, которые особенно хорошо с моей точки зрения объясняют какую-то тему. Можно придумать несколько объяснений их отсутствия:

1. Большинство читателей хорошо понимают материал и так, этот прием им просто не нужен.
2. У меня нетипично устроены мозги в том смысле, что подробный разбор тривиального примера помогает мне что-то понять, но большинству читателей он будет только мешать и раздражать своей тривиальностью.
3. Авторы книг не видят нужды в таком разборе, потому что недооценивают, насколько тяжело читателю привыкнуть и освоиться с новыми для него понятиями. Или им жаль тратить место в книге на подробный разбор тривиальностей и они предпочитают демонстрировать новые понятия и техники на чем-то более серьезном и нетривиальном.