Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Category:

об одной замечательной мысли (математическое)

Несколько дней назад поучаствовал в одной дискуссии по-английски, о теоремах о неполноте Гёделя. Всплыли некоторые старые мысли и впечатления из этой области... несколько лет об этом не думал.

В частности, зашел разговор об учебниках логики, и меня искренне поразила чья-то рекомендация учебника Манина. Учебник логики Манина - для меня в каком-то смысле анти-книга: она написана в таком стиле, и составлена в таком порядке, который вызывает у меня отвращение. Она эклектична там, где эклектичность противопоказана, прыгает беспорядочно от темы к теме, пропускает самое интересное во многих темах, а в других местах погружается в скучные и ненужные технические подробности, которых можно было бы избежать. Если бы я по ней учил логику, то в голове образовался бы полный конфуз, убежден. При этом я понимаю, конечно, что есть люди, которые ее любят и считают ее лучшим учебником. И многие из этих людей наверняка все знают и понимают лучше меня. Это можно как-то объяснить, если постараться (в смысле, я могу себе это психологически объяснить), но все равно остается ощущение того, что это очень странно.

Моя идеальная книга для изучения мат. логики - A Mathematical Introduction to Logic Эндертона. Она не очень много покрывает материала; если надо больше, то Shoenfield хорош. Конкретно по теме теорем о неполноте - Goedel's Incompleteness Theorems Smullyan'а.

Именно у Смаллиана в свое время я отметил аргумент, который регулярно с тех вспоминаю как образец блестящей мысли, задним умом совершенно, казалось бы, очевидной, но до тех пор мне нигде не встречавшейся (и сам конечно до этого не додумался).

Вторая теорема о неполноте говорит, что любая достаточно сложная аксиоматическая система, если она непротиворечива, не может доказать собственную непротиворечивость. Если в системе есть противоречие, то она может доказать вообще все угодно, включая собственную непротиворечивость, только толку в этом мало. Просто противоречивая система доказывает любое утверждение, истинное или ложное, включая утверждение о своей непротиворечивости. Но если система непротиворечива, то вторая теорема о неполноте говорит, что этот факт о себе она доказать не может.

Смаллиан пишет, что его раздражает то, как эту теорему часто представляют в виде чего-то, что лишает нас возможности убедиться в непротиворечивости. Возьмем для примера теорию множеств. Согласно второй теореме Геделя теория множеств не может доказать свою непротиворечивость, и часто именно об этом сокрушаются, рассуждая о том, как результаты Геделя определили предел тому, что мы можем надеяться доказать.

Но - тут начинается главная мысль Смаллиана - это на самом деле совершенно нелогичная точка зрения. С какой стати нам сокрушаться о том, что теория множеств не может доказать свою непротиворечивость? Поставим вопрос так: предположим, теория множеств может доказать свою непротиворечивость. Сейчас мы знаем, что из этого по теореме Геделя следует ее противоречивость, но предположим, что теоремы Геделя бы не было, и мы доказали с помощью теории множеств ее собственную непротиворечивость. Добавляет ли это нам уверенности в непротиворечивости теории множеств? Конечно, нет! Ведь все равно остается верным тот факт, что если в ней есть противоречие, она доказывает что угодно, включая собственную непротиворечивость!

Если задуматься, то доказательство непротиворечивости системы внутри самой системы в любом случае - и в отсутствие теорем Геделя - не добавляет нам никакой уверенности в том, что система непротиворечива. Потому что в этом конкретном вопросе доверять самой системе нельзя. Она соврет - недорого возьмет.

Значит ли это, что вторая теорема о неполноте бесполезна? Разумеется, нет. Кроме применений ее собственно в математической логике, и с философской точки зрения она важна. Просто надо понять, что важен не тот факт, что теория множеств, например, не может доказать свою непротиворечивость, а то, что из этого следует, что более слабыми финитарными методами тем более нельзя доказать непротиворечивость теории множеств. Достаточно сложные системы включают в себя то, что мы понимаем под финитарными методами: грубо говоря, вся математика, которую можно сделать, манипулируя только конечными объектами. Вторая теорема о неполноте показывает, что мы никогда не сможем доказать непротиворечивость этих систем, пользуясь только такими методами (если эти системы действительно непротиворечивы), и это действительно хоронит программу Гильберта и лишает нас возможности когда-либо доказать строго и несомненно, что здание нашей математики построено не на песке.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 51 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →