В частности, зашел разговор об учебниках логики, и меня искренне поразила чья-то рекомендация учебника Манина. Учебник логики Манина - для меня в каком-то смысле анти-книга: она написана в таком стиле, и составлена в таком порядке, который вызывает у меня отвращение. Она эклектична там, где эклектичность противопоказана, прыгает беспорядочно от темы к теме, пропускает самое интересное во многих темах, а в других местах погружается в скучные и ненужные технические подробности, которых можно было бы избежать. Если бы я по ней учил логику, то в голове образовался бы полный конфуз, убежден. При этом я понимаю, конечно, что есть люди, которые ее любят и считают ее лучшим учебником. И многие из этих людей наверняка все знают и понимают лучше меня. Это можно как-то объяснить, если постараться (в смысле, я могу себе это психологически объяснить), но все равно остается ощущение того, что это очень странно.
Моя идеальная книга для изучения мат. логики - A Mathematical Introduction to Logic Эндертона. Она не очень много покрывает материала; если надо больше, то Shoenfield хорош. Конкретно по теме теорем о неполноте - Goedel's Incompleteness Theorems Smullyan'а.
Именно у Смаллиана в свое время я отметил аргумент, который регулярно с тех вспоминаю как образец блестящей мысли, задним умом совершенно, казалось бы, очевидной, но до тех пор мне нигде не встречавшейся (и сам конечно до этого не додумался).
Вторая теорема о неполноте говорит, что любая достаточно сложная аксиоматическая система, если она непротиворечива, не может доказать собственную непротиворечивость. Если в системе есть противоречие, то она может доказать вообще все угодно, включая собственную непротиворечивость, только толку в этом мало. Просто противоречивая система доказывает любое утверждение, истинное или ложное, включая утверждение о своей непротиворечивости. Но если система непротиворечива, то вторая теорема о неполноте говорит, что этот факт о себе она доказать не может.
Смаллиан пишет, что его раздражает то, как эту теорему часто представляют в виде чего-то, что лишает нас возможности убедиться в непротиворечивости. Возьмем для примера теорию множеств. Согласно второй теореме Геделя теория множеств не может доказать свою непротиворечивость, и часто именно об этом сокрушаются, рассуждая о том, как результаты Геделя определили предел тому, что мы можем надеяться доказать.
Но - тут начинается главная мысль Смаллиана - это на самом деле совершенно нелогичная точка зрения. С какой стати нам сокрушаться о том, что теория множеств не может доказать свою непротиворечивость? Поставим вопрос так: предположим, теория множеств может доказать свою непротиворечивость. Сейчас мы знаем, что из этого по теореме Геделя следует ее противоречивость, но предположим, что теоремы Геделя бы не было, и мы доказали с помощью теории множеств ее собственную непротиворечивость. Добавляет ли это нам уверенности в непротиворечивости теории множеств? Конечно, нет! Ведь все равно остается верным тот факт, что если в ней есть противоречие, она доказывает что угодно, включая собственную непротиворечивость!
Если задуматься, то доказательство непротиворечивости системы внутри самой системы в любом случае - и в отсутствие теорем Геделя - не добавляет нам никакой уверенности в том, что система непротиворечива. Потому что в этом конкретном вопросе доверять самой системе нельзя. Она соврет - недорого возьмет.
Значит ли это, что вторая теорема о неполноте бесполезна? Разумеется, нет. Кроме применений ее собственно в математической логике, и с философской точки зрения она важна. Просто надо понять, что важен не тот факт, что теория множеств, например, не может доказать свою непротиворечивость, а то, что из этого следует, что более слабыми финитарными методами тем более нельзя доказать непротиворечивость теории множеств. Достаточно сложные системы включают в себя то, что мы понимаем под финитарными методами: грубо говоря, вся математика, которую можно сделать, манипулируя только конечными объектами. Вторая теорема о неполноте показывает, что мы никогда не сможем доказать непротиворечивость этих систем, пользуясь только такими методами (если эти системы действительно непротиворечивы), и это действительно хоронит программу Гильберта и лишает нас возможности когда-либо доказать строго и несомненно, что здание нашей математики построено не на песке.
← Ctrl ← Alt
Ctrl → Alt →
← Ctrl ← Alt
Ctrl → Alt →