Теорема. Если гипотеза Гольдбаха верна, то есть бесконечно много простых чисел.
Доказательство: предположим, что число простых чисел конечно, и P - самое большое среди них. Но тогда 2P+2 не может быть представлено в виде суммы двух простых чисел. Мы пришли к противоречию с гипотезой Гольдбаха.
Мне оно понравилось, но все-таки немного мешает то, что надо предполагать гипотезу Гольдбаха верной. После определенных усилий мне удалось снять это требование. Моя версия доказательства:
Теорема: Есть бесконечно много простых чисел.
Доказательство: Предположим, что число простых чисел конечно, и P - самое большое среди них. Согласно теореме Грина-Тао, существует арифметическая прогрессия, состоящая из P+1 простых чисел. Применяя принцип Дирихле, мы видим, что эти P+1 простых чисел невозможно уместить среди P чисел от 1 до P, поэтому наибольшее из них будет больше P, и это противоречит нашему предположению.
Липтон называет такие доказательства первоапрельскими; в его записи и комментариях есть еще несколько примеров, среди них есть поинтереснее того, что я процитировал. Особенно мне понравилось доказательство того, что в любой достаточно большой компании людей найдутся либо двое дружащих между собой, либо двое недружащих между собой.
Хоть это и не совсем тот жанр, мне кажется, стоит также упомянуть топологическое доказательство бесконечного количества простых чисел Фюрстенберга.
Если у вас есть идеи других первоапрельских доказательств, предлагайте в комментариях!
