Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Category:

об интересных доказательствах (математическое)

У Ричарда Липтона в блоге наткнулся на простое и красивое доказательство того, что есть бесконечно много простых чисел; правда, оно опирается на недоказанную пока гипотезу:

Теорема. Если гипотеза Гольдбаха верна, то есть бесконечно много простых чисел.
Доказательство: предположим, что число простых чисел конечно, и P - самое большое среди них. Но тогда 2P+2 не может быть представлено в виде суммы двух простых чисел. Мы пришли к противоречию с гипотезой Гольдбаха.

Мне оно понравилось, но все-таки немного мешает то, что надо предполагать гипотезу Гольдбаха верной. После определенных усилий мне удалось снять это требование. Моя версия доказательства:

Теорема: Есть бесконечно много простых чисел.
Доказательство: Предположим, что число простых чисел конечно, и P - самое большое среди них. Согласно теореме Грина-Тао, существует арифметическая прогрессия, состоящая из P+1 простых чисел. Применяя принцип Дирихле, мы видим, что эти P+1 простых чисел невозможно уместить среди P чисел от 1 до P, поэтому наибольшее из них будет больше P, и это противоречит нашему предположению.

Липтон называет такие доказательства первоапрельскими; в его записи и комментариях есть еще несколько примеров, среди них есть поинтереснее того, что я процитировал. Особенно мне понравилось доказательство того, что в любой достаточно большой компании людей найдутся либо двое дружащих между собой, либо двое недружащих между собой.

Хоть это и не совсем тот жанр, мне кажется, стоит также упомянуть топологическое доказательство бесконечного количества простых чисел Фюрстенберга.

Если у вас есть идеи других первоапрельских доказательств, предлагайте в комментариях!
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 45 comments