Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Categories:

об оптимальных пожертвованиях

Экономист Стивен Ландзбург написал несколько лет назад колонку в журнале Slate, в которой он доказывает довольно неинтуитивное, на первый взгляд, утверждение, связанное с пожертвованиями благотворительным организациям. Ландзбург пишет (англ.), что практически всегда лучше все деньги, которые вы решили пожертвовать, дать одной организации - той, которая по вашему мнению наиболее эффективна, приносит больше всего пользы.

Разделить свои деньги между несколькими организациями - хуже, принесет меньше пользы; и это верно даже в том случае, когда вы не уверены, какая из них "лучше" в этом смысле - все равно, пишет он, следует выбрать наиболее вероятную согласно той информации, что у вас есть, и весь бюджет отдать ей. Единственное исключение - когда вы жертвуете столько денег (скажем, вы Билл Гейтс), что они реально могут изменить баланс, например, решить заметную часть всей проблемы, которой занимается данная организация.

Ландзбург предлагает два доказательства своего утверждения - неформальное, и математическое (на отдельной странице, чтобы не пугать читателей так уж сразу). Но мне это математическое кажется неверным, или как минимум нерезонно упрощенным. Однако я не уверен в этом, и среди моих читателей много людей, понимающих и в математике, и в экономике куда больше меня. Я внизу попробую вкратце разобрать его так, как я понимаю, а вы поправьте меня, если не согласны, или добавьте, если видите что-то еще, ладно? Заранее большое спасибо.

Неформальное доказательство Ландзбурга можно вкратце пересказать так.
Предположим, взвесив всю известную информацию, оценив риски итд., вы ожидаете, что организация А принесет больше пользы в результате того, что вы дадите ей $100, чем организация B. Скорее всего, однако, эти $100, хоть и принесут пользу, решат только крохотную часть всей проблемы, которой занимается A; поэтому после этого пожертвования ваш анализ не должен измениться, и следующие $100 вам опять следует дать A. Эта ситуация отличается, от, скажем, выбора, какие акции покупать для инвестиции; там действительно стоит разнообразить, но это потому, что, скажем, купив какое-то количество технологических акций, вы уже решили для себя в значительной мере эту проблему, и можно теперь (анализ изменился) сбалансировать ее другим видом акций.
Более подробное объяснение см. в статье.

Меня же больше заинтересовал математический анализ. Пересказ анализа Ландзбурга:
Если все, что вы хотите добиться своими пожертвованиями - это принести как можно больше пользы, то можно описать это как стремление максимизировать некую функцию пользы
U(X+Δx, Y+Δy, Z+Δz), где - беря для примера три благотворительные организации - X, Y, Z это деньги, которые у них есть сейчас, а Δx, Δy, Δz - деньги, которые вы жертвуете. Но значение этой функции, "в случае, если ваш вклад намного меньше текущей суммы" - слова Ландзбурга - хорошо приближается выражением

(*) U(X, Y, Z) + ∂U(X)/∂x*Δx + ∂U(Y)/∂y*Δy + ∂U(Z)/∂z*Δz,

а чтобы максимизировать это значение при фиксированной сумме Δx+Δy+Δz (ваш бюджет), ясно, что нужно все деньги вложить в ту организацию, у которой больше всего частная производная в данный момент.

Кроме того, если вы не уверены в эффективности той или иной благотворительной организации, это не меняет анализ: просто считайте U не функцией пользы, а - для данного значения Δx, Δy, Δz - случайной переменной над некоторым пространством событий, выражающей известную вам информацию; и пытайтесь максимизировать матожидание E(U). В таком случае все равно E(U) окажется функцией, к которой применяется аргумент выше, и наибольшее матожиданые выходит при вкладе всех денег в одно место.


Но мне это кажется странным. Главное - непонятно, что дает Ландзбургу право предполагать (*) хорошим приближением, и почему он говорит "в случае, если ваш вклад намного меньше текущей суммы". При чем тут вообще текущая сумма (X, Y или Z)? Она играет роль точки, в которой мы считаем значение функции пользы или ее производных, но сама ее величина не играет никакой роли. Если кто-то понимает, почему малая величина Δx/X оправдывает этот анализ, объясните мне, потому что я не понимаю.

Что я понимаю - это что можно разложить по теореме Тейлора для нескольких переменных. В таком случае кроме уже приведенного в (*), величина остатка ограничена суммой слагаемых вида

∂U2(X', Y', Z')/∂x2*(Δx)2

и

∂U2(X', Y', Z')/∂x∂y*(ΔxΔy)

где X' лежит где-то между X и X+Δx, и так далее. Если эти слагаемые очень малы, то приближение хорошее. Функция пользы, скорее всего, имеет какой-то вид типа U1(X)+U2(Y)+U3(Z), предполагая, что благотворительные организации действуют в разных областях и не мешают друг другу. В таком случае смешанные производные сразу равны нулю, и нам надо минимизировать только слагаемые с вторыми производными по X, Y, Z. Если вторая производная очень близка к нулю, то даже при относительно большом Δx итд. линейное приближение все равно будет хорошим. Именно это условие, близкой к нулю второй производной, а вовсе не "ваш вклад намного меньше текущей суммы", кажется мне ключевым тут. Когда это случится? Первая производная оценивает эффективность организации в данный момент: сколько она приносит пользы на доллар. Если эффективность не меняется или почти не меняется от добавления долларов, то условие соблюдается. Это верно, например, если ваши деньги идут на приобретение чего-то (например, продуктов для нуждающихся) с каким-то фиксированным overhead'ом. Если же ваши деньги могут идти на инфраструктуру самой благотворительной организации, то они вполне могут поднять эффективность, и тогда вторая производная не будет настолько мала, чтобы игнорировать остаток. Ну и сама сумма пожертвований, если она растет, тоже увеличивает остаток.

Наверное, можно предположить, что если речь идет о благотворительных организациях, уже состоятельных и устоявшихся, то их инфраструктура уже построена, и вторая производная от их функции пользы очень близка к нулю, и тогда аргумент Ландзбурга срабатывает. А если речь идет об относительно небогатых организациях, в которых ваши деньги могут заметно изменить их эффективность, то это не так. Так что косвенным образом это коррелирует с текущим количеством денег X,Y,Z, но отношение Δx/X тут ни при чем. Так мне кажется.

Еще одна вещь остается мне тут непонятной, и она связана с неформальным аргументом Ландзбурга, и тем, почему, как он объясняет, аргумент о благотворительности не проходит, когда речь идет об инвестициях. Попросту говоря, мне непонятно, почему математический аргумент, который я разбираю выше, не работает в точности в случае акций. Там тоже можно представить себе функцию дохода U(X, Y, Z), у которой мы хотим максимизировать матожидание E(U), выбрав, сколько акций X,Y,Z покупать. Если мы не вкладываем много миллионов, состояние на бирже от одного нашего вклада не меняется, эффективность каждой компании не меняется, и вторая производная очень близка к нулю. Ландзбург пишет (неформально):
So why is charity different? Here's the reason: An investment in Microsoft can make a serious dent in the problem of adding some high-tech stocks to your portfolio; now it's time to move on to other investment goals.
Но мне это кажется нечестным: почему это я должен заранее делить свои цели на high-tech stocks и какие-то другие stocks, почему я должен заранее решить диверсифицировать? Математический анализ, на первый взгляд, показывает, что мне как раз не следует этого делать. Так может, дело совсем не в этом, а в risk aversion, в том, что я готов получить меньшее матожидание прибыли, но минимизировать риск потерять очень много денег? Мне кажется, именно это стоит за рекомендацией диверсификации инвестиций, а не то, что пишет Ландзбург - я прав?
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 98 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →