?

Log in

No account? Create an account
о противоречивости арифметики пеано (математическое) - По делам сюда приплыл, а не за этим [entries|archive|friends|userinfo]
Anatoly Vorobey

[ website | Website ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| English-language weblog ]

о противоречивости арифметики пеано (математическое) [сент. 28, 2011|11:48 am]
Anatoly Vorobey
Эдвард Нельсон, профессор Принстонского университета, объявил, что он доказал противоречивость арифметики Пеано (PA) (Update: если страница не открывается, то вот кэш-версия). Он выложил эскиз своего доказательства; полное и строгое доказательство он все еще пишет, и собирается выкладывать его по частям вместе с формальной проверкой с помощью программы, которую он сам написал.

Нельсон - не сумасброд, а настоящий математик. Его доказательство в принципе несложно, и опирается не недавно найденное новое доказательство второй теоремы Геделя о неполноте (той, которая утверждает, что достаточно сложная система аксиом не может доказать свою непротиворечивость, если она непротиворечива).

Я достаточно помню в этой области, чтобы понять его основные идеи, но недостаточно, чтобы строго их проверить. Мне кажется очень вероятным, что где-то у него есть ошибка. Думаю, в ближайшие пару дней это станет ясно.

P.S. Можно помечтать о том, что будет, если ошибки нет. Конечно, это тогда автоматически самый знаменитый и важный результат в логике за последние сто лет, и немедленный кризис в основаниях математики. Если PA противоречива, то и теория множеств, на которую опирается вся современная математика, тоже противоречива. Будет кризис в основаниях математики, похожий на тот, что случился с открытием парадокса Расселла. Нужно будет заменить теорию множеств на такую, которая все еще достаточно мощна, чтобы поддерживать современную математику, но не доказывает полную неограниченную индукцию в арифметике. Не факт, что это будет просто сделать. "Обычные" математики, не связанные с логикой, конечно, особенно волноваться не будут, как не волновались они и 100 лет назад. Но все равно, если это верно, то гигантской важности результат.

P.P.S. Обсуждение в блоге Джона Баэза.
СсылкаОтветить

Comments:
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>
[User Picture]From: potan
2011-09-28 09:22 am
Когда бог создавал натуральные числа, он где-то напутал.
Во что же теперь верить...
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: Александр Гаврилов
2012-12-14 05:18 pm
Натуральные числа были созданы не Богом, а человеком в его воле/следствии блуждающих законов данной/данными ему создателем Вселенной/Природой/Богом/Аллахом/Архитектором/Макаронным Монстром/Ктулху... Мы, люди, частично виновны в парадоксальности своих же утверждений. А кто сказал что природа отображается на сознание следуя законам логики созданными лишь по некоторому набору предыдущих отображений? Логика лишь наука о формах правильного мышления, но как вне начала логики определить правильное мышление? Объясняя что-о вне логики мы считаем это неправильным, но определяя логику мы закладываем в неё о, что ранее логически не было обработано и, следовательно, нам необходимо строить логику для построения логик и вы сами понимаете...
What if God smoked cannabis?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: blacklion
2011-09-28 09:56 am
Кажется, сайт университета не выдержал :)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2011-09-28 10:14 am
Ничего себе :) добавил ссылку на кэш-версию.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: vic_gorbatov
2011-09-28 09:58 am
Да, интересно, как отреагирует математическое сообщество. Ждем с нетерпением...
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: p_govorun
2011-09-28 09:59 am
Мне понравился робот, выдавший 23 мегабайта доказательств, которые любой может проверить, просто просмотрев ("can quickly check
simply by inspection"). Кажется, в математике тоже встаёт проблема спама :-)
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: metamage
2011-09-28 10:22 am
недавно найденное новое доказательство второй теоремы Геделя о неполноте

Не могли бы вы дать ссылку на это доказательство?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: alexey_rom
2011-09-28 10:56 am
Теренс Тао считает, что нашёл ошибку: http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/09/the_inconsistency_of_arithmeti.html#c039531
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: avva
2011-09-28 11:02 am
Ага, видел, выглядит логично, но судить трудно пока.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: (Anonymous)
2011-09-28 12:45 pm
Нельсон решил потроллить ядерщиков.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: alaev
2011-09-28 03:10 pm
- Эдвард Нельсон ... объявил, что он доказал ...; полное и строгое доказательство он все еще пишет

Вообще, сочетание двух таких утверждений считается не очень-то хорошим тоном. Но можно считать, что матанщик, который неожиданно решил заняться логикой, заслуживает снисхождения.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2011-09-28 03:53 pm
Ситуация не совсем такая. Нельсон изложил неформальную идею доказательства и выложил сгенерированное машиной формальное доказательство. В принципе, в этих двух формах (в каждой из них!) всё уже есть - никаких незаделанных мест в доказательстве не видно, можно ограничиться уже выложенным и больше ничего не писать. Поскольку Нельсон нормальный математик, а не фрик от computer-aided proofs, он обещает написать некий текст, который облегчит проверку доказательства людьми, а самое главное - позволит развивать новые основания математики. Это последнее и будет важнейшей проверкой доказательства.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: niobium0
2011-09-28 04:40 pm
покруче всяких нейтрин.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: os80
2011-09-28 04:41 pm
Вот интересно, все обсуждают теорию множеств, арифметику и т.п.
Но ни разу не слышал, чтобы кто-то ругался на исчисление предикатов.
А с виду, это самая кривая конструкция в основаниях.
Но я, конечно, не настоящий сварщик.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: melkore
2011-09-28 08:15 pm
нейтрино обгоняет свет, арифметика врёт... что дальше?
(Ответить) (Thread)
From: tr1gger
2011-09-29 12:28 am
Значит, и на наш век выпадут великие открытия, слава человеку.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
[User Picture]From: airatburganov
2011-09-28 08:31 pm
по поводу обсуждения в блоге Баэза, получается, что рассуждения, доказывающие теорему Гудстейна, некорректны?
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2011-09-28 09:24 pm
Пф. Завтра обнаружат нарушение законов Менделя.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: plutoid_id
2011-09-29 12:35 am
Ну вообще-то они нарушаются сплошь и рядом.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: bespechnoepero
2011-09-29 12:50 am
"достаточно сложная система аксиом не может доказать свою непротиворечивость, если она непротиворечива"

это как понимать? живое существо является системой аксиом?
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: kirenenko
2011-09-29 05:30 pm
> это как понимать?

Формализация натуральных чисел, арифметических действий с ними, логических связок и, возможно, еще чего-то, в виде символов, записанных на языке, подчиняющемся определенным правилам.

> живое существо является системой аксиом?

Интерпретировать формалную логику вне математического контекста до того, как вы осилили ее в математическом контексте - не нужно. И после того - тоже не нужно.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
From: (Anonymous)
2011-09-29 08:21 am
Статья из Википедии не вызывает никакого доверия, там написано, что "парадокс" брадобрея является популярной формулировкой парадокса Рассела, что очевидным образом неверно и опровергалось самим Расселом. Удивительно, но и английская Википедия утверждает то же самое, хотя опровержение цитируется на страничке обсуждений.
(Ответить) (Thread)
From: (Anonymous)
2011-09-29 10:25 am
А можно ссылку на Рассела, где он это опровергал? Потому что то, что парадокс брадобрея является переформулировкой парадокса Рассела, очевидным образом верно, и обнаружение этой аналогии не требует практически никаких усилий.
(Ответить) (Parent) (Thread) (Развернуть)
Страница 1 из 2
<<[1] [2] >>