Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Categories:

о вещественных числах (математическое)

Небольшая статья с интересным названием "Какие числа лучше всего подходят для описания эмпирической реальности?"

Which number system is “best” for describing empirical reality?

Автор задается вопросом, действительно ли необходимо использовать вещественные числа для описания физической реальности. Ведь мы не воспринимаем их непосредственно, и все наши измерения имеют лишь определенную конечную точность, так что, казалось бы, может быть достаточно, скажем, рациональных чисел для того, чтобы описать все, что происходит в природе. Но такой "экономичный" подход сталкивается с двумя сложностями:

- во-первых, со времен Пифагора известно, что простейший прямоугольный треугольник со сторонами длиной в единицу выходит за рамки рациональных чисел - длина его гипотенузы равна √2. Если мы отказываем корню из двух в 'физическом' существовании, значит, мы заранее смиряемся с тем, что треугольник не может существовать в физическом мире. С другой стороны, можно счесть треугольник всего лишь приближением к тому, что существует в мире (собственно, поскольку наше пространство неэвклидово, так оно и есть).

- во-вторых, те физические теории, которые лучше всего описывают реальность до сих пор, основаны на дифференциальном и интегральном исчислении, требующем вещественных чисел (точнее, они требуют возникающих благодаря вещественным числам понятий пределов, производных, интегралов итд.). Наверное, можно построить приближения к этим теориям, опирающиеся только на рациональные числа, но кажется, что они будут куда более громоздкими и несуразными, а возможно и принципиально ущербными.

Автор статьи занимается только первой из этих двух сложностей, предлагая возможные "промежуточные" варианты между рациональными и действительными числами (например, числа, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; или алгебраические числа); ни один из них не кажется мне особенно привлекательным. С другой стороны, хочу порекомендовать гораздо более подробную запись akuklev об этих материях, которая больше говорит о необходимости (по утверждению автора) вещественных чисел для описания реальности:

О бесконечности и о точке

Я немного думал об этих вопросах несколько с другой стороны, нежели автор первой статьи. Его интересует вопрос: какие числа лучше всего отражают то, что мы наблюдаем в реальности? Я к тому же вопросу подходил немного с другой стороны. Представьте себе, что мы встречаем-таки инопланетян, находим их или они находят нас, и начинаем пытаться понимать друг друга. В научной фантастике не раз и не два авторы обсуждали вопрос о том, будет ли у нас "одна и та же математика", и это вопрос философский, вопрос философии математики, собственно. Большинство профессиональных математиков являются - иногда бессознательно, иногда осознанно - "платонистами", т.е. они считают, что математические формулы, гипотезы и теоремы суть не бессмысленные закорючки на бумаге, которые придуманы человеческим мозгом и только к нему имеют отношение, а отражают некую фундаментальную реальность, независимую от нас, "платонический" мир математических идей, который один и тот же для всех: теорема Ферма верна и на Земле, и у инопланетян, и она была бы верна, даже если бы никакого человечества никогда не возникло. Мы "открываем" математические истины, а не "создаем" их - в этом суть платонизма. Так вот, предположив, что платонизм верен, и что как мы, так и инопланетяне "видим" ту же математическую реальность, все равно можно задать вопрос: насколько их математика будет похожа на нашу? Если предположить, что счет отдельных объектов - нечто совершенно фундаментальное для всех, то у них, наверное, будут те же натуральные, целые, и рациональные числа, что у нас - но будут ли вещественные числа? Возможно, они понимают, что это такое математически, но не считают их важными, потому что для развития теорий о том, как устроен физический мир, им хватило рациональных? Возможно, то, что нам кажется излишне громоздким и неэлегантным описанием в терминах рациональных чисел, для них приемлемо, потому что мозги у них устроены по-другому, и понятия громоздкости и элегантности совсем другие?
Tags: математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 64 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →