Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Categories:

немного геометрии (математическое)

Вот, попалось мне сегодня простое и красивое доказательство того малоизвестного (но полезного) факта, что любой треугольник равнобедренный.



Пусть ABC - произвольный треугольник. Проведем в нем биссектрису угла A (она делит угол A пополам), отметим середину стороны BC точкой D, и проведем в ней перпендикуляр к BC.

Биссектриса A и перпендикуляр к BC либо параллельны, либо пересекаются. Если они параллельны, то легко видеть, что треугольник равнобедренный (собственно, тогда биссектриса и перпендикуляр совпадают друг с другом). Если же не паралелльны, то пусть они пересекаются в точке P, и проведем из нее перпендикуляры к двум другим сторонам, как на рисунке.

Осталось уже немного. У треугольников AEP и AFP (помечены "альфа" на рисунке) все углы равны и одна сторона общая, так что они полностью равны. Отсюда PE=PF. Треугольники PDB и PDC (помечены "гамма" на рисунке) прямоугольные с равными катетами, так что гипотенузы тоже равны: PB=PC. Наконец, треугольниким, помеченные "бета" на рисунке, тоже прямоугольные, и мы только что доказали, что у них равны гипотенузы и один из катетов, так что и второй равен: BE=CF. Добавляя к этому равенству также равные стороны треугольников "альфа", мы видим BE+EA = CF+FA, т.е. AB=AC, и треугольник равнобедренный, что и требовалось доказать.

(источник)
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 48 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →