Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Category:

о разновидностях математического знания, а также о сизигиях

Любопытная статья математика Филипа Дэвиса:

What Do I Know? A Study of Mathematical Self-Awareness

Подробный разбор, какие разновидности знания о математическом утверждении P могут быть у математика. С примерами. Не все разновидности там одинаково интересны, и некоторые имеют отношение лишь к прикладной математике. Список выходит эклектичный и недо-систематизированный, но все равно интересный, и дает пищу для размышлений.

Переведу только названия основных "states of knowledge" - подробное описание того, что они значат, и примеры см. в статье.

Итак, у нас есть некоторая математическая проблема P. Примеры того, что мы можем о нем знать (необязательно взаимоисключающие):

1. P - проблема, у которой есть математический смысл.
2. Я не знаю, как решить P, но если подумаю, то возможно решу.
3. Я не знаю решение P, но может быть, оно уже известно.
4. Я не знаю, есть у P вообще решение или нет.
5. Я могу доказать, что у P есть ответ.
6. Я могу доказать, что у P нет ответа.
7. Я могу доказать, что у P нет ответа, но если мы расширим контекст проблемы, у P появится ответ в расширенном контексте (частая и полезная ситуация в математике).
8. Я могу доказать, что у P есть ответ, но я не знаю, какой он.
9. У P есть ответ. Вот он (в некотором представлении). Я могу его проверить. Я могу доказать, что он единственен в некотором смысле.
10. Проблема P обсуждается. A заявляет, что у него есть ответ и предлагает его. B оспаривает это утверждение.
11. Я не знаю ответ на P. У меня есть алгоритм, который ищет ответ. Если алгоритм остановился, значит, он нашел правильный ответ.
12. Я не знаю ответ на P. Но P содержит в своем определении параметр, скажем P(n), и я знаю ответ в частных случаях P(1)...P(N). Если бы я знал ответ на все P(n), я знал бы ответ на P.

И так далее (есть еще более десятка разновидностей, но они все связаны с алгоритмами и не так значительно отличаются друг от друга, как уже перечисленные).

Еще процитирую оттуда то, что понравилось, когда автор обсуждает нетривиальность состояния "это уже известно", и как в общем случае мы можем или не можем это проверить:
With regard to buried concepts and altered contexts, consider this example. In one of the first issues of the American Journal of Mathematics (1879), Arthur Cayley, world-renowned British mathematician, works out the number of asyzygetic covariants of degorder (Θ, μ) for the binary seventhic. I do not know what these words mean. I have a vague feeling of what kind of mathematics this is likely to be, and I would suspect that whatever it means, it would be said differently today. How can an information system be devised that will make Cayley's result comprehensible to me quickly and cheaply?
Tags: математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 20 comments