Anatoly Vorobey (avva) wrote,
Anatoly Vorobey
avva

Categories:

математическая всячина

1. Gauss's Day of Reckoning. Историю про Гаусса, который складывал числа от 1 до 100 в семь лет, видимо, надо считать мифом. Очень жаль, я поражен и огорчен. Что-то там было, возможно, связанное с вычислением - и то, первое упоминание уже после смерти Гаусса, не факт, что достоверное. А конкретная задача с числами от 1 до 100 появляется впервые в 1938 (!!) году.

2. На первый взгляд очень интересная статья об истории пустого множества, синглетона и упорядоченной пары в теории множеств. Но собственно прочитать ее еще не успел.

3. Математический скандал: статья о том, как Эрдеш и Сельберг полу-совместно и почти одновременно нашли элементарные доказательства теоремы о распределении простых чисел, и что из этого вышло. Включает в себя подробный разбор ключевых событий лета 1948 года, по дням и иногда даже по часам.

4. Любопытное обсуждение того, как мотивировать студентам изучение комплексного анализа. Красивый пример предлагает Keith Conrad: посмотреть на радиус сходимости рядов Тейлора. Например, у функции 1/(1+x) в нуле радиус сходимости равен единице, и понятно, почему; а у функции 1/(1+x^2) он тоже равен единице, несмотря на то, что она хорошо себя ведет, гладкая на всей действительной прямой. Но вот если посмотреть на комплексную плоскость, немедленно становится ясно, откуда выскочила эта единица...

5.
On April 9, 1975, Congressman Robert Michel brandished a list of new NSF grants on the floor of the House of Representatives and selected a few that he thought might represent a waste of the taxpayers’ money. One of them (on which I happened to be one of the investigators) was called “Studies in Complex Analysis.” Michel’s comment was, ” ‘Simple Analysis’ would, hopefully, be cheaper.” I shudder to think of what might happen if certain members of the current Congress discover that the NSF is supporting research on perverse sheaves.”

6. Красивое доказательство иррациональности квадратных корней из целых чисел (не являющихся полными квадратами), приписывается Конвею. Мы доказываем, что если √n рациональное число, то оно целое число.

Сначала нам нужна элементарная (и интуитивно очевидная) лемма о дробях. Среди всех возможных представлений данного рационального числа в виде дроби A/B всегда можно выбрать такое, в котором B минимальное положительное (по сути дела, это представление - сокращенная дробь, но нам этот факт не нужен). Утверждение: если C/D другое представление того же числа, A/B = C/D, то D делится на B. Доказательство: перепишем A/B = C/D в виде D/B = C/A, и оставим у каждой дроби только дробную ее часть: d/B = c/A, где 0 <= d < B. Если d не равно 0, то отсюда следует A/B = c/d и это противоречит минимальности B; значит, d=0 и D делится нацело на B.

Теперь пусть √n = A/B, выберем такое представление, в котором B минимальное положительное. Поскольку √n = n/√n, мы видим, что A/B = n*B/A, и немедленно заключаем из вышесказанного, что A делится на B; ввиду минимальности B из этого следует B=1.
Tags: математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 24 comments